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Mécanique-Thermodynamique
Samedi 9 avril
DEVOIR DE PHYSIQUE N°9
Durée : 3 h
Instructions générales :
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•
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•
•
Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 8 pages.
Les candidats sont invités à porter une attention toute particulière à la qualité de la
rédaction, de l’orthographe et des justifications.
Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons
des initiatives qu’il est amené à prendre.
L’usage d’une calculatrice est autorisé pour cette épreuve.
Les exercices sont indépendants. Elles peuvent être traitées dans l’ordre choisi par le
candidat.
Questions courtes
Toutes les notations introduites dans les réponses et qui ne sont pas précisées
dans l’énoncé devront être explicitées.
On note n la quantité de matière, R la constante des gaz parfaits, C p la
capacité thermique à pression constante, T
la température, U
l’énergie
interne.
1. Définir les mots suivants :
a. volume mésoscopique
b. variable intensive
c. système fermé
d. énergie interne
2. On considère un gaz parfait constitué de particules de masse m * dont la
vitesse quadratique moyenne est u ∗ .
a. Donner la relation entre la pression cinétique p et u ∗ .
b. Donner la relation entre T et u ∗ .
c. Donner l’expression de U dans le cas d’un gaz parfait monoatomique, puis
dans le cas d’un gaz parfait diatomique aux températures usuelles.
3. Déterminer la densité particulaire n ∗ d’un gaz parfait dans les CNTP.
4. Dans les CNTP, la vitesse quadratique moyenne de l’hélium, de masse
molaire
M = 4, 0 g mol−1 ,
est
u ∗ = 1, 3 km s−1 .
Déterminer
sa
densité
particulaire n ∗ .
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5. Déterminer la vitesse quadratique moyenne u ∗ de l’hélium, de masse molaire
M = 4, 0 g mol−1 , dans les CNTP.
6. On considère une masse m = 1, 0 kg d’eau liquide, de capacité thermique
massique à volume constant c = 4, 2 J g−1 K−1 , qui passe de la température
T1 = 25 °C à la température T2 = 35 °C . Déterminer la variation ∆U de son
énergie interne.
Problème 1 : Nature de la gravitation (Mines-Ponts MP
2015)
Un aspect fondamental de la gravitation est le principe d'équivalence. Introduit par
GALILÉE au début du XVIIe siècle alors qu'il étudiait la chute des corps, il fut le
point de départ du développement de la théorie de la gravitation. Un peu moins d'un
siècle plus tard. NEWTON fut le premier à décrire l'interaction gravitationnelle par
une formule. Il en déduisit la version la plus élémentaire du « principe
d'équivalence faible » : la trajectoire d'un corps tombant en chute libre ne dépend ni
de sa structure, ni de sa composition.
Si l'on sait aujourd'hui que la gravitation régit la dynamique des composantes de
l'Univers (planètes, étoiles, galaxies, ...), l'observation récente de l'expansion de
l'Univers a conduit à se poser des questions fondamentales sur les théories de la
gravitation classique. L'introduction dans la théorie cosmologique de l'énergie noire,
qui serait la contribution énergétique majoritaire de l'Univers, permet d'expliquer
certaines observations mais sa nature et ses propriétés restent principalement
théoriques. Certaines extensions de la théorie de la gravitation suggèrent même
l'existence d'une répulsion gravitationnelle entre matière et antimatière, nommée
antigravité.
Le problème propose une description de l'expérience d'EÔTVÔS ayant permis, dès la
fin du XIXe siècle, de valider une version réduite du principe d'équivalence avec une
grande précision pour l'époque.
Q 1 — Qu'appelle-t-on « principe d'inertie » en mécanique ? Énoncer le principe
fondamental de la mécanique dans un référentiel galiléen. La grandeur caractéristique
du mobile étudié dans cette expression porte, ici et dans la suite, le nom de masse
inerte mi.
Q 2 - Expliciter la force de gravitation entre deux points matériels. On introduira le
paramétrage nécessaire sur un schéma. La grandeur caractéristique du mobile
intervenant dans cette expression porte le nom de masse grave ou masse pesante.
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Quantifier les déviations possibles au principe d'équivalence faible suppose que l'on
puisse considérer les masses inertielle et grave (ou pesante) m comme pouvant être
différentes. Les premières mesures précises des écarts relatifs entre masses inertielle et
grave, ont été obtenues par comparaison des périodes de deux pendules simples de
masse et de composition différentes ; cette méthode, d'abord décrite par GALILÉE, a
été menée par NEWTON (1686) ou encore BESSEL (1826) et a conduit à des
valeurs d'écarts relatifs compris entre 10-3 et 10-5. L'invention du pendule de torsion
par EÔTVÔS autour de 1888, permit d'augmenter fortement la sensibilité.
L'expérience d'EÔTVÔS utilise un pendule de torsion. Dans le dispositif simplifié,
représenté sur la figure suivante, deux sphères appelées S1 et S2, homogènes de nature
différente et de même masse pesante m ont leurs centres d'inertie placés aux
extrémités
d'une
barre
rigide,
de
masse
M
et
de
longueur
2L, suspendue en son centre à un fil de quartz très fin, de constante de torsion C. On
note mi1 et mi2 les masses inertielles respectives de S1 et de S2. La barre est libre de
tourner autour de l'axe Oz en tordant plus ou moins le ruban de suspension. On
suppose que la barre reste tout le temps de l'expérience dans le plan orthogonal à
l'axe Oz.
Le dispositif est placé de sorte qu'à l'équilibre, la barre soit normale au plan méridien
à la latitude λ. Sa position est alors repérée par réflexion d'un faisceau lumineux sur
un miroir plan, fixé au milieu de la barre, à l'aide d'une lunette. On note R le
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référentiel du laboratoire centré sur O et supposé galiléen dans ce problème
où
l'objectif est la détermination de la constante de torsion C du pendule.
On note Jo le moment d'inertie de la barre par rapport à l'axe vertical (Oz) et J le
moment d'inertie du système S = {barre + sphères} par rapport à (Oz). On repère la
position de la barre à l'instant t par l'angle de torsion θ(t). On fait tourner le
système d'un angle θm puis on le lâche sans vitesse initiale. Le fil exerce alors sur la
barre
un
couple
de
rappel
dont
le
moment
en
O
a
pour
intensité
M0 = - C(θ(t) - θ0) , l'angle θ0 repère la position de la barre en l'absence de torsion.
1
Q 3 - Montrer que ce couple dérive de l’énergie potentielle C(θ(t) - θ0)2. Déterminer
2
l'énergie cinétique Ec,S du solide S. En déduire l'expression de l'énergie mécanique de S
dθ
en fonction de C. J, θ, θ0 et θɺ =
.
dt
Q 4 - On fait l'hypothèse que la puissance totale des forces de frottement peut se
mettre sous la forme Pfrot = −αθɺ 2 où α est une constante positive. Etablir l'équation
différentielle vérifiée par θ(t).
Q 5 - On observe des oscillations très faiblement amorties. Quelle est la condition
satisfaite par les constantes J, C et α ? Préciser la forme de la solution sans
déterminer l'expression exacte des deux constantes d'intégration. Quelle est la valeur
θ∞ de θ(t) lorsque t → ∞ . Exprimer la pseudo-période T du mouvement en fonction
α
de la période propre T0 et de la constante ε =
≪ 1 . A quelle condition sur ε,
2 JC
l'erreur relative introduite par l'approximation T ≃ T0 est-elle inférieure à 1% ?
Cette condition sera supposée vérifiée par la suite.
On note J1 les moments d'inertie, considérés égaux, de chacune des deux sphères par
rapport à l'axe vertical passant par leurs centres respectifs. On admettra que si le
principe d'équivalence faible s'applique alors J = Jo + 2J1 + 2mL2. On mesure la
période T des oscillations pour différentes valeurs de la longueur L avec des sphères
de masse pesante m = 0,2 kg. Les résultats sont consignés dans le tableau ci-dessous :
Q 6 — En utilisant les résultats précédents, écrire la relation entre T2, L2, J0, J1 et C.
À partir des résultats de mesure donner une estimation de la valeur de la constante
de torsion C. Compte-tenu des ordres de grandeurs des différents termes intervenant
dans l'expression de T montrer que l'on peut écrire : m ≈
CT 2
8π 2 L2
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Problème 2 : Atterrissage du module Philae (E3A MP 2015)
Rosetta est une mission spatiale de l'Agence spatiale européenne dont l'objectif
principal est de recueillir des données sur la composition du noyau de la comète
67P/Tchourioumov-Guérassimenko et sur son comportement à l'approche du Soleil.
La sonde spatiale s'est placée en orbite autour de la comète puis, après une période
d'observation de plusieurs mois, a envoyé le 12 novembre 2014 Philae, un petit
atterrisseur, se poser sur sa surface pour analyser la composition de son sol et sa
structure.
Le problème traite de la descente du module Philae vers la comète.
Données :
• masse de la comète :
• masse volumique de la comète :
• période de rotation propre de la comète :
• constante gravitationnelle :
• distance
de
largage
par
rapport
au
centre :
• masse de la sonde Rosetta :
• masse de l’atterrisseur Philae :
• vitesse de la lumière dans le vide :
La comète est modélisée par une boule homogène de masse
volumique
. La distance entre un point
et le centre
et de masse
de la comète est notée
.
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On étudie la chute libre de l’atterrisseur Philae, dans un référentiel dont l’origine est le centre
de la comète et qui tourne avec Rosetta, de sorte que le vecteur
vers l’atterrisseur (accélération
pointe constamment
). Ce référentiel peut être considéré comme galiléen.
1°) Etablir l’équation du mouvement de l’atterrisseur Philae, une fois séparé de
Rosetta, en projection sur l’axe radial.
Cette équation peut être résolue numériquement. L’évolution temporelle de la distance
est représentée sur la figure 1, à partir de la distance initiale
différentes vitesses verticales initiales
2°) Déterminer la durée
, pour
.
de la chute de Philae s’il est abandonné par Rosetta avec
une vitesse verticale nulle.
3°) La durée réelle de la chute est
. En déduire la vitesse verticale initiale
communiquée à l’atterrisseur.
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Différentes trajectoires de phase sont représentées sur la figure 2, en fonction de la
vitesse verticale initiale.
4°) Déterminer, par lecture graphique, la vitesse verticale atteinte par Philae au
moment du contact avec la comète.
Approche énergétique
L’objectif est de retrouver la vitesse atteinte par l’atterrisseur au moment du contact
avec la comète.
5°) Etablir l’expression de l’énergie potentielle gravitationnelle
matériel de masse
situé à la distance
de
(on fixe
,
,
et
d’un point
du centre de la comète, en fonction
).
6°) Lors de la chute de Philae, préciser comment évolue l’énergie mécanique de
l’atterrisseur.
7°) En déduire, littéralement puis numériquement, la vitesse atteinte par
l’atterrisseur lors du contact avec la comète.
On s’intéresse à présent au module Philae, une fois celui-ci posé sur la surface de la
comète.
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8°) Lors du largage de Philae, le 12 novembre 2014, plusieurs journalistes
commentent l’événement : « Philae pèse
sur la comète ». Qu’en pensez-vous ?
Avant de larguer l’atterrisseur Philae, la sonde Rosetta s’est rapprochée par paliers de
la comète. Le 10 septembre 2014, elle se situe sur une orbite circulaire de rayon
.
9°) Donner les expressions en coordonnées polaires de la vitesse et de l’accélération
d’un point matériel
en mouvement circulaire.
10°) Exprimer la vitesse
comète, en fonction de
de la sonde en orbite circulaire de rayon
,
11°) En déduire sa période
et
autour de la
. Effectuer l’application numérique.
. Effectuer l’application numérique.
La sonde parcourt, à partir du 8 octobre 2014, une orbite elliptique avec un apocentre
situé à la distance
caractérisé par
du centre
de la comète et un péricentre
. Le 15 octobre, la propulsion est utilisée pour placer
la sonde sur une orbite circulaire de rayon
.
12°) Représenter sur un schéma l’orbite elliptique, en faisant apparaître le centre
de la comète, ainsi que les distances
et
.
13°) Exprimer l’énergie mécanique de la sonde sur l’orbite elliptique.
14°) Sur cette orbite, en déduire la vitesse
,
et
de Rosetta en
, en fonction de
,
. Effectuer l’application numérique.
15°) Pour placer la sonde en orbite circulaire de rayon
, la propulsion est utilisée
lorsque Rosetta est au péricentre. Préciser numériquement la variation de vitesse
nécessaire.
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