15 Prisme droit et cylindre de révolution

Maths 5e
15
15. Prisme droit et cylindre de révolution
2012-2013
Prisme droit et cylindre de révolution
15.1
Dessin en perspective (rappel)
Règles du dessin en perspective cavalière :
1 Les arêtes de l’objet qui sont parallèles, sont représentés par des segments parallèles.
!
2 Ce qui est vu de face est représenté en vraie grandeur (ou à l’échelle) et les angles
!
sont conservés.
3 Les arêtes fuyantes sont représentées avec une échelle plus petite que celle de la vue
!
de face (par exemple la moitié) ;
les mesures des angles des faces fuyantes ne sont pas conservées.
Exemples : cube et empilements de cinq cubes
Remarque : Les arêtes cachées peuvent être représentées en trait interrompu pour la
compréhension du dessin.
15.2
Prisme droit
Définition : Un prisme droit est un solide constitué de deux faces parallèles identiques
reliées entre-elles par des rectangles. Les deux faces parallèles s’appellent les bases et les
faces rectangulaires qui les relient s’appellent les faces latérales. La distance entre les
deux bases s’appelle la hauteur : c’est aussi la longueur commune à deux faces latérales
contiguës.
bases hexagonales
bases triangulaires
bases rectangulaires
Remarque : Le pavé droit est un prisme droit particulier dont les bases sont des rectangles ;
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15. Prisme droit et cylindre de révolution
2012-2013
deux faces opposées quelconques du pavé droit sont des bases de ce prisme droit.
Remarques : Un prisme droit dont les bases sont des polygones à n côtés il y a :
• n faces latérales, soit n + 2 faces au total (en comptant les 2 bases) ;
• 3n arêtes (n côtés pour chacune des deux bases et n arêtes reliant chacun des n sommets
d’une base à son homologue de l’autre base) ;
• 2n sommets (n sommets pour chacune des deux bases).
15.3
Patron d’un prisme droit
Patron : Le patron d’un solide est une figure plane constituée de toutes les faces du solide
assemblées entre-elles par des arêtes.
Exemples : On coupe le pavé droit ABCDEF GH suivant un plan passant par les diagonales de face [AC] et [EG] : on obtient ainsi deux prismes droits à bases triangulaires
identiques (ABCEF G et ADCEHG) dont un patron est dessiné ci-dessous.
G
H
E
D
A
15.4
G
G
E
F
G
C
A
B
C
F
C
B
Cylindre de révolution
C
Définition : Un cylindre de révolution est un solide constitué de deux disques parallèles,
appelés bases, reliés entre-eux par un rectangle constituant la face latérale du cylindre.
La distance entre les deux bases s’appelle la hauteur.
Exemples : Les figures ci-dessous montrent deux dessins en perspective cavalières de
cylindres de révolution.
15.5
Patron d’un cylindre de révolution
Le patron d’un cylindre de révolution est constitué des deux disques de base et d’un
rectangle dont la longueur de l’un des côtés est la hauteur du cylindre de révolution et
la longueur de l’autre est égale au périmètre du disque de base.
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15.6
15. Prisme droit et cylindre de révolution
2012-2013
Volume du prisme droit et du cylindre de révolution
Solution : La base est un pentagone pouvant être décomposé en un rectangle de 7 m sur 4 m et un triangle
isocèle de base 7 m et de hauteur 3 m par rapport à
7×3
=
cette base. Son aire est donc B = 4 × 7 +
2
2
38, 5 m .
alors le volume du prisme droit est V = 38, 5 × 12 = 462 m3 . !
4m
Exemple : Une maison à la forme d’un prisme
(voir schéma). Calculer le volume de cette maison.
7m
Le volume d’un prisme droit ou d’un cylindre de révolution est V = B × h ,
où B est l’aire de la base et h la hauteur du solide.
7m
12 m
Dans le cas d’un cylindre de révolution la base est un disque. L’aire d’un disque de rayon
r est B = πr 2 , où π ≈ 3, 141592653589 . . . ≈ 3, 14
(utiliser la touche π de la calculatrice).
Exemple : Un rouleau de papier essuie-tout est un cylindre de 11 cm de diamètre percé
d’un trou de 36 mm de diamètre en son centre et de hauteur 23,5 cm. Calculer le volume
de papier.
Solution : L’aire de disque de base est de B = π × 5, 52 − π × 1, 82 = π(5, 52 − 1, 82 ) ≈ 84, 85 cm2 ;
volume de papier V = 84, 85 × 23, 5 ≈ 1 994 cm2 (arrondi à l’unité).
15.7
Aire du prisme droit et du cylindre de révolution
L’aire d’un solide est la somme des aires de toutes les faces de ce solide.
Pour un prisme droit ou un cylindre de révolution c’est la somme des aires des deux bases
et de l’aire latérale (somme des aires des faces latérales).
Aire latérale : A = p × h , où p est le périmètre d’une base et h la hauteur de ce solide.
Exemple : L’aire d’un cylindre de révolution de 10 cm de diamètre et de hauteur 40 cm,
vaut : A = 2 × π52 + 10π × 40 = 450π ≈ 1414 cm2
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