Unité 1 – Les Nombres Entiers Naturels L`approximation (estimation

Unité 1 – Les Nombres Entiers Naturels
L'approximation (estimation) du résultat d'une opération
Approximer un résultat d’une opération signifie que l’on ignore la réponse exacte, mais que l’on doit en
trouver une toute proche.
L'approximation de l'addition
L'approximation de la soustraction
: 800
: 750
800 – 750 = 50
50
L'approximation de la multiplication
L'approximation de la division
entre
Additionner & Soustraire
Pour résoudre un problème additif, on cherche donc la somme de deux ou plusieurs quantités.
On dit qu’un problème est soustractif quand on doit le résoudre en effectuant une soustraction.
On doit alors calculer une différence.
Multiplier
Le résultat d’une multiplication est appelé « produit ». Un problème se résout par une multiplication
quand il concerne la répétition.
Mon grand-père aime jardiner. Dans son potager, il a planté 8 rangs de carottes. Dans chaque rang, il a
disposé 5 carottes. Combien a-t-il planté de carottes en tout ?
Mon grand-père a planté 8 fois 5 carottes. Il a donc répété 8 fois la même chose. Pour résoudre ce
problème, il faut donc faire une multiplication : 8 x 5 = 40
Diviser
La division est une des quatre opérations élémentaires. Elle permet de faire des partages ou des
répartitions. Le résultat d'une division s'appelle le quotient. La division est la réciproque de la
multiplication (le contraire d'une multiplication). Attention, on ne peut pas diviser par 0 !
1635
6
272
3
=
=
=
=
dividende
diviseur
quotient
reste
3
Règles de divisibilité
Par 2
Un nombre est divisible par 2 s’il se termine par un nombre pair (0, 2, 4, 6, 8).
Ainsi 961853154 se termine par 4 qui est pair, donc il est divisible par 2.
En revanche, 45387612836459 se termine par 9 qui est impair, il n’est donc pas divisible par 2.
Par 4
Un nombre est divisible par 4 s'il est 2 fois divisible par 2.
On divise donc le nombre par 2, et on regarde si on peut le diviser encore une fois par 2.
Exemple : 860 et 622.
860/2 = 430, et 430 est divisible par 2, donc 860 est divisible par 4.
622/2 = 311 mais 311 n'est pas divisible par 2 !
Donc 622 n'est pas divisible par 4...
Petit truc : pour un grand nombre de plusieurs chiffres, il suffit de regarder si ses 2 derniers chiffres sont
divisibles par 4.
Exemple : 6259824
Il suffit de regarder si 24 est divisible par 4.
1653698689456 : il suffit de regarde si 56 est divisible par 4.
Par 3
Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
Pour 14635, on fait 1+4+6+3+5 = 19, et on recommence : 1+9 = 10, et on recommence 1+0 = 1.
Or 1 n’est pas divisible par 3 donc 14635 n’est pas divisible par 3.
En revanche, pour 4569 : 4+5+6+9 = 24, 2+4 = 6, or 6 est divisible par 3, donc 4569 est divisible par 3.
Par 9
Pour 9 c’est la même chose, Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
Pour 936, 9+3+6 = 18, et 1+8 = 9, or 9 est divisible par 9, donc 936 est divisible par 9.
Par 5
Pour 5 : un nombre est divisible par 5 s’il se termine par 0 ou 5.
5360 et 5645 se terminent par 5, donc sont divisibles par 5, mais pas 45869 qui se termine par 9.
Par 6
Un nombre est divisible par 6 s’il est divisible par 2 ET par 3 (voir ci-dessus).
828 est divisible par 2 car il se termine par 8 qui est pair, et par 3 car 8 + 2 + 8 = 18 qui est divisible par 3.
828 est donc divisible par 2 et 3 donc par 6.
Par 10
Un nombre est divisible par 10 s’il se termine par 0, comme 156320 par exemple.
Les nombres premiers et les nombres composés
Un nombre premier est un nombre qui n’a que 2 facteurs différents, c’est-à-dire 1 et lui-même.
Un nombre composé est un nombre qui a 3 facteurs ou plus.
Crible d’Ératosthène (pour trouver les nombres premiers inférieurs à 100)
 Entoure 2 et biffe tous les multiples de 2
 Entoure 3 et biffe tous les multiples de 3
 Entoure 5 et biffe tous les multiples de 5
 Entoure 7 et biffe tous les multiples de 7
 Entoure les nombres qui restent
Les nombres biffés sont des nombres composés. Les nombres entourés sont des nombres premiers.
En mathématiques, deux nombres premiers jumeaux sont deux nombres premiers qui ne diffèrent que
de 2.
L'ensemble des nombres premiers jumeaux jusqu'à 1000 :
(3, 5)
(5, 7)
(11, 13)
(17, 19)
(29, 31)
(41, 43)
(59, 61)
(71, 73)
(101, 103) (107, 109)
(137, 139) (149, 151) (179, 181) (191, 193) (197, 199)
(227, 229) (239, 241) (269, 271) (281, 283) (311, 313)
(347, 349) (419 , 421) (431 , 433) (461 , 463) (521 , 523)
(569 , 571) (599 , 601) (617 , 619) (641 , 643) (659 , 661)
(809 , 811) (821 , 823) (827 , 829) (857 , 859) (881 , 883)
Les Multiples
Un multiple d'un nombre naturel est le produit de ce nombre entier et de n'importe quel autre nombre
entier naturel. (Par contre, pour cette leçon, nous n'utiliserons que les nombre entier naturel non nuls
comme multiplicateurs pour trouver nos multiples). Par exemple, pour trouver les multiples de 4,
multiplie 4 par 1, 4 par 2, 4 par 3, et ainsi de suite. Pour trouver les multiples de 5, multiplie 5 par 1, 5
par 2, 5 par 3, et ainsi de suite. Les multiples sont les produits de ces multiplications.
Exemple 1 :
Trouve les multiples du nombre entier naturel 4.
Multiplication :
4 x 1 4 x 2 4 x 3 4 x 4 4 x 5 4 x 6 4 x 7 4 x 8 4 x 9 4 x 10 4 x 11
Multiples de 4 :
4
Solution :
Les multiples de 4 sont: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44...
Exemple 2 :
Trouve les multiples du nombre entier naturel 5.
Multiplication :
5 x 1 5 x 2 5 x 3 5 x 4 5 x 5 5 x 6 5 x 7 5 x 8 5 x 9 5 x 10 5 x 11
Multiples de 5 :
5
Solution :
Les multiples de 5 sont: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55...
Exemple 3 :
Trouve les multiples du nombre entier naturel 7.
Multiplication :
7 x 1 7 x 2 7 x 3 7 x 4 7 x 5 7 x 6 7 x 7 7 x 8 7 x 9 7 x 10 7 x 11
Multiples de 7 :
7
Solution :
Les multiples de 7 sont: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77...
8
10
14
12
15
21
16
20
28
20
25
35
24
30
42
28
35
49
32
40
56
36
45
63
40
50
70
44
55
77
Plus Petit Commun Multiple (PPCM)
PPCM est un acronyme de Plus Petit Commun Multiple.
Le PPCM de nombres que l’on compare entre eux est le plus petit nombre qui est un multiple de ces
nombres.
Deux hommes complètent plusieurs fois le tour d’une piste. Le premier prend 30 minutes pour réaliser
un tour de piste, alors que le second prend 45 minutes. S’ils sont partis en même temps, à quel moment
vont-ils se rencontrer pour la première fois?
On imagine les deux hommes parcourant la piste…
Le premier revient au point de départ après : 30, 60, 90, 120, … minutes.
Le deuxième revient au point de départ après : 45, 90, 135, … minutes.
Donc, ils vont se retrouver au point de départ après 90 minutes. Pendant ce temps le premier homme
aura parcouru 3 tours et le deuxième, 2 tours. Dans cet exemple, on a trouvé le PPCM de 30 et 45. Il
s'agit de 90. On a aussi trouvé par combien il faut multiplier chacun des nombres comparés pour
obtenir le PPCM de 90 : il faut multiplier 30 par 3 et 45 par 2.
Trouver le PPCM – Méthode 1 : les multiples des nombres
On peut trouver le PPCM en dressant tout simplement la liste des multiples de chacun des nombres
comparés. Cette méthode convient surtout pour les petits nombres.
On cherche le PPCM de 6, 8, 12.
Listes des multiples de chacun des nombres comparés :
6 {6, 12, 18, 24, 30, 36, 48, …}
8 {8, 16, 24, 32, …}
12 {12, 24, …}
Le plus petit commun multiple (qui se retrouve dans chaque ensemble) est 24
On écrit la réponse ainsi : PPCM (6, 8, 12) = 24
On peut arrêter les listes quand on trouve un multiple commun à tous les nombres comparés.
Trouver le PPCM – Méthode 2 : le tableau des diviseurs
Étape 1 : Prenons deux nombres, 12 et 108. On place chacun d’eux dans un tableau.
Étape 2 : Ensuite, on divise ces deux nombres par des nombres premiers, en commençant par 2, puis, si
cela ne fonctionne pas avec 2, en continuant avec 3, 5, 7, 11, 13 et ainsi de suite, jusqu’à ce que cela
fonctionne.
Étape 3 : On poursuit les divisions jusqu’à ce que les nombres soient devenus 1 dans chaque colonne.
Pour trouver le PPCM, il faut ensuite multiplier ensemble tous les diviseurs premiers de la colonne de
gauche.
Dans ce cas-ci : 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 108
On écrit la réponse ainsi : PPCM (12, 108) = 108
Trouver le PPCM – Méthode 3 : l’arbre de facteurs et le diagramme
Quand on cherche le PPCM de deux ou plusieurs nombres, on trouve d’abord le plus petit multiple de
ces nombres.
Pour trouver le PPCM, on peut construire un arbre de facteurs.
Les Facteurs (ou Diviseurs)
Le résultat d’une multiplication s’appelle un produit et les nombres que l’on multiplie entre eux
s’appellent les facteurs. Un diviseur est un nombre qui peut en diviser un autre sans qu'il n'y ait de
reste. Si on veut énumérer les facteurs ou diviseurs d’un nombre, on se questionne sur les diviseurs
possibles en ordre croissant…
Quand on se rend compte que les deux nombres qui sont côte à côte se multiplient ensemble pour faire
24, il ne reste qu’à compléter les paires de facteurs.
Parmi la liste de diviseurs, il y a des nombres premiers.
Parmi les diviseurs de 24 {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}, les nombres premiers sont : {2,3}.
La factorisation d’un nombre
La factorisation d’un nombre est son écriture sous la forme d'une multiplication de deux ou plusieurs
facteurs. Les facteurs sont les termes qui interviennent dans une multiplication.
56 = 2 x 28
= 4 x 14
2 est un diviseur de 56.
28 est un diviseur de 56.
2 et 28 sont des facteurs de 56.
Les multiplications ne sont pas uniquement composées de nombres premiers, mais aussi de nombres
composés.
X2
X2
Méthode : Arbre des facteurs
La factorisation première d’un nombre
La factorisation première d’un nombre est sa décomposition en facteurs premiers. Autrement dit, c'est
son écriture sous forme d'une multiplication de facteurs qui sont uniquement des nombres premiers. On
y parvient en construisant un arbre des facteurs.
Le PPCM et le PGCD (ou PGFC)
PPCM (Plus petit commun multiple); PGCD (Plus grand commun diviseur); PGFC (Plus grand facteur
commun).
Lorsqu’on veut connaître le PGCD (PGFC) et le PPCM de deux nombres, il est inutile de faire deux fois le
travail, car on peut le faire en même temps. Il existe deux méthodes qui nous permettent de trouver le
PGCD et le PPCM en même temps.
Méthode 1 : le tableau des diviseurs
Si on cherche le PPCM et le PGCD de deux nombres, on peut utiliser un tableau de diviseurs. La colonne
de gauche sera celle des diviseurs : on doit y inscrire des diviseurs qui sont de nombres premiers en
commençant par 2, 3, 5 et ainsi de suite. Ces diviseurs divisent l’un ou les deux nombres. On inscrit la
réponse de la division vis-à-vis le facteur et vis-à-vis le nombre divisé. Le tableau est terminé lorsqu’on
retrouve un 1 dans chaque colonne.
On cherche le PPCM et le PGCD (PGFC) des nombres 30 et 54.
Pour trouver le PPCM, on multiplie tous les diviseurs de la colonne de gauche. Pour trouver le PGCD
(PGFC), on multiplie les diviseurs qui ont des résultats dans les deux colonnes.
Méthode 2 : l’arbre des facteurs et diagramme
Pour trouver le PPCM et le PGCD (PGFC), on peut aussi construire un arbre de facteurs. Pour construire
un arbre de facteurs, on trouve tout d’abord deux facteurs au nombre. Ensuite, on trouve deux facteurs
à ces nouveaux facteurs sauf s’ils sont premiers. L’arbre est terminé quand toutes les branches sont des
nombres premiers.
On veut connaître le PGCD et le PPCM de 48 et 40.
Une fois que l’on a trouvé tous les facteurs premiers, on peut trouver le PPCM et le PGCD (PGFC). Pour
le PPCM, on multiplie ensemble tous les facteurs : si un facteur se répète dans les deux séries, on le
multiplie une seule fois. Pour le PGCD (PGFC), on multiplie seulement les facteurs communs aux deux
séries.
Après avoir fait l’arbre des facteurs premiers, on peut placer ces facteurs dans un diagramme pour que
ce soit plus facile:
Exposants
Examinons maintenant les facteurs et produits du tableau ci-dessous :
Facteurs
Produit
Description
2x2=
4 2 est 2 fois un facteur
2x2x2=
8 2 est 3 fois un facteur
2x2x2x2=
16 2 est 4 fois un facteur
2x2x2x2x2=
32 2 est 5 fois un facteur
2x2x2x2x2x2=
64 2 est 6 fois un facteur
2x2x2x2x2x2x2=
128 2 est 7 fois un facteur
2x2x2x2x2x2x2x2=
256 2 est 8 fois un facteur
Un meilleur moyen d'aborder cette situation est d'utiliser les exposants. La notation exponentielle est
un moyen plus facile d'écrire un nombre résultant du produit de plusieurs facteurs.
BaseExposant
L'exposant nous dit combien de fois la base est utilisée comme facteur.
Forme exponentielle
Forme de facteurs
Forme standard
22 =
2x2=
4
23 =
2x2x2=
8
24 =
2x2x2x2=
16
25 =
2x2x2x2x2=
32
26 =
2x2x2x2x2x2=
64
27 =
2x2x2x2x2x2x2=
128
28 =
2x2x2x2x2x2x2x2=
256
Exemple 1 :
Écris chacune des suites de facteurs sous forme exponentielle puis lis-la :
3x3x3x3x3
6x6x6x6
8x8x8x8x8x8x8
3x3x3x3x 5
3
3=
Solution :
6x6x6x6= 6
4
8x8x8x8x 7
8
8x8x8=
¨3 exposant
5¨
¨6 exposant
4¨
¨8 exposant
7¨
Exemple 2 : Écris chaque nombre sous forme de facteurs puis sous forme standard :
9
6
10 , 3 , 1
Solution :
8
Forme exponentielle Forme de facteurs
9
10 =
10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 =
6
3x3x3x3x3x3=
8
1x1x1x1x1x1x1x1=
3 =
1 =
Forme standard
1 000 000 000
729
1
Voici certaines règles mathématiques concernant les exposants 0, 1, 2 et 3:
Règle
Exemple
Tout nombre (sauf 0) élevé à la puissance zéro est toujours égal à 1.
1490 = 1
Tout nombre élevé à la puissance un est toujours égal à lui-même.
81 = 8
Si un nombre est élevé à la puissance deux, on le dit ¨au carré¨.
32 se lit ¨3 au carré¨
Si un nombre est élevé à la puissance 3, on le dit ¨au cube¨.
43 se lit ¨4 au cube¨
Les lois des exposants
Ces lois s'appliquent si tous les termes de l'opération ont la même base.
Produit de puissances
On additionne les exposants lors d’une multiplication.
am x an = a m + n
Quotient de puissances
On soustrait les exposants lors d’une division.
am = a m - n
an
Exemples:
34 x 35 = 34+5 = 39
39 = 39-5 = 34
35
Attention :
34 x 3 = 34+? = 3?
39 = 39-? = 3?
3
Les racines carrées
Le symbole √ se nomme radical. Si l'on voit ce symbole, il s'agit habituellement de la racine carrée.
Cependant, s'il y a un chiffre au-dessus du radical, cela modifie le type de racine.
Le nombre sous le radical s’appelle le radicande. Dans l’exemple suivant, il s'agit du x.
Une racine carrée principale d'un nombre « x » correspond à un autre nombre qui, élevé au carré, nous
donne « x ».
Exemple:
3 x 3 = 3 2 = 9.
On souhaite effectuer l'opération inverse à celle d’élever le chiffre 3 au carré. Pour ce faire, on se
demande par quel chiffre, multiplié par lui-même, pouvons-nous obtenir 9.
La réponse est 3.
Donc,
√9 = 3
Quelle est la racine carrée de 900?
Suite de nombres
Une suite consiste à placer les nombres en suivant un ordre logique. Voici une suite de nombre
1, 3, 5, 7, 9, …
Dans cet exemple, la règle de la suite est « les nombres impairs ». Dans une suite, chacun des nombres
est appelé un terme. Chaque terme est associé à un rang qui indique sa position dans la suite.
Régularité
Une suite est composée d’éléments dont la succession dépend d’une régularité. La régularité est la règle
d’une suite de nombres. C’est donc la règle qui permet de déterminer quels nombres se trouvent dans
la suite et dans quel ordre.
Soit la suite suivante
50, 45, 40, 35, 30,...
Ici, la régularité est de -5 entre les nombres.
Soit la suite suivante:
La régularité est : chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par 2.
Suite arithmétique
On appelle suite arithmétique, une suite de nombres où la différence entre deux termes qui se suivent
est constante.
Exemple de suite arithmétique
Exemple de suite non arithmétique
On appelle nombres carrés les nombres correspondants aux figures suivantes:
Quel est le nième nombre carré?
On appelle nombres triangulaires les nombres correspondants aux figures suivantes:
Quel est le nième nombre triangulaire?
Combien aurons-nous de cercles bleus et de cercles rouges dans la prochaine figure?
Ordre des opérations
On veut calculer 5 + 3 x 8 – 6
Marc fait les calculs dans l'ordre, il fait ainsi :
8 x 8 - 6 = 64 - 6 = 58
Laura commence par la multiplication et continue dans l'ordre :
5 + 24 - 6 = 29 - 6 = 23
Christophe commence par l'addition et la soustraction :
8 x 2 = 16
On trouve donc trois réponses différentes, mais il n'y a qu'une seule réponse possible pour un calcul.
On a donc créé des règles de priorité des opérations pour que tout le monde calcule dans le même
ordre.
La priorité des opérations est une convention qui établit un ordre à respecter pour effectuer les calculs
dans une chaîne d'opérations.
Voici l'ordre à suivre:
1. Les parenthèses.
2. Les exposants
3. Les divisions ou multiplications (de la gauche vers la droite)
4. Les additions ou les soustractions (de la gauche vers la droite)
Pour se souvenir de l'ordre, on peut prendre les premières lettres de chacune des étapes et former un
mot: PEDMAS (ou PEMDAS).
Dans le calcul précédent, c'est Laura qui avait raison. Elle a commencé par la multiplication et a terminé
par les additions et soustractions.
Exemple 1:
6 x (4 - 2) + 5 x 7 = 6 x 2 + 5 x 7 (La parenthèse en premier.)
= 12 + 35 (Les multiplications ensuite.)
= 47 (On finit par l'addition.)
Exemple 2:
9 - 4 + 6 x 7 = 9 - 4 + 42 (La multiplication en premier, car il n'y a pas de parenthèse.)
= 5 + 42 = 47 (On finit par la soustraction et l'addition dans l'ordre.)
Prendre des raccourcis dans les calculs
Nous allons détailler quelques astuces pour additionner rapidement certains nombres. Il faut tout
d’abord penser à regrouper de manière INTELIGENTE les nombres.
Calculons 4 + 3 + 6 + 1 + 5 + 9 + 5 + 7 + 2
Se termine par 0
Et bien on va regrouper les nombres de telle manière que cela se finisse par 0 ! Ainsi on met ensemble
les nombres se terminant par :
1 et 9
2 et 8
3 et 7
4 et 6
5 et 5
Ainsi :
4 + 3 + 6 + 1 + 5 + 9 + 5 + 7 + 2 = (4+6) + (3+7) + (1+9) + (5+5) +2
= 10 + 10 + 10 + 10 + 2
= 42
Bien sûr on peut faire pareil quand on a des gros nombres, c'est le dernier chiffre (le chiffre des unités)
qui est important :
13 + 25 + 21 + 46 + 17 + 19 + 35 + 24 = (13+17) + (25+35) + (21+19) + (46+24)
= 30 + 60 + 40 + 70
= (30 + 70) + (60 + 40)
= 100 + 100
= 200
Tu as vu qu’à la fin, on a encore regroupé 30 et 70, et 60 et 40, pour donner 100, ça rend le calcul
d'après encore plus rapide.
Se termine par 5
Pour calculer 3 + 6 + 9 + 12, on ne peut pas regrouper de telle sorte que ça se termine par 0...
Mais ce n'est pas grave, on va regrouper de telle sorte que ça se termine par 5 !! Donc les nombres qui
se terminent par :
1 et 4
2 et 3
6 et 9
7 et 8
Ici on regroupe donc le 3 et le 12, et le 6 et 9 !
3 + 6 + 9 + 12 = (3 + 12) + (6 + 9)
= 15 + 15
= 30
Autre exemple :
12 + 16 + 94 + 53 + 7 + 63 = (16 + 94) + (53 + 7) + (12 + 63)
= 110 + 60 + 75
= 170 + 75
= 245
Pareil pour les multiplications
Fais cela dans n’importe quel calcul, y compris les multiplications !!
Il faut surtout multiplier les nombres se terminant par 5 avec des nombres pairs, pour avoir ainsi un 0 à
la fin.
Par exemple : 6 x 2 x 3 x 5 = (2x5) x (6x3) = 10 x 18 = 180
Si on fait dans l'ordre : (6 x 2) x (3 x 5) = 12 x 15 = ????
Là tout de suite c'est beaucoup moins évident que ça fait 180, alors que 10x18 on voit tout de suite que
ça vaut 180.
Autres trucs…
Multiplication par 5 : on multiplie par 10 (facile) et on divise par 2 (facile aussi). Exemple : 39 × 5 = 390
÷ 2 = 195.
Division par 2 : je décompose le nombre. Ainsi pour diviser 396 par 2, je compte 396 ÷ 2 = (300+90+6) ÷
2 et là c'est très simple, ça fait 150 + 45 + 3 = 198.
Multiplication par 25. On sait que 25, c'est 100/4. Donc on multiplie par 100 et on divise par 4.
Exemple : 128 × 25 = 12800/4 = (12000 + 800) ÷ 4 = 3000 + 200 = 3200.
Multiplication par 11. Un nombre à deux chiffres multiplié par 11 est ce nombre avec entre les deux
chiffres, la somme des deux chiffres. Exemple : 11 × 13 = 143 car 4 = 1+3 (les 1 et 3 proviennent du 13).
Un autre : 11 × 72 = 792.
Multiplication par 9 : on sait que 9 = 10 - 1. On multiplie par 10 le nombre et on le soustrait une fois.
Ainsi 9 × 15 ça fait 150 - 15 = 135.
Le calcul mental et l’addition
Lorsqu’on effectue mentalement une addition, on peut d’abord arrondir les nombres à additionner. Par
la suite, il ne nous reste qu’à additionner les nombres arrondis, puis à ajuster le résultat obtenu.
Mentalement, trouver la somme de 139 et 48.
Solution
1) Arrondir.
139 arrondi à la dizaine près donne 140 ;
48 arrondi à la dizaine près donne 50.
2) Additionner les nombres arrondis.
La somme de 140 et 50 est 190.
On peut ignorer les zéros et les ajouter seulement à la fin.
Par exemple, 14 + 5 = 19. On ajoute ensuite le ou les zéros ignorés à la fin, ce qui nous donne 190.
3) Ajuster.
Il ne nous reste qu’à ajuster le résultat, car on a modifié les nombres du départ. Voici comment on
procède :
140 représente 1 unité de plus que 139 : 140 – 139 = 1 ;
50 représente 2 unités de plus que 48 : 50 – 48 = 2.
On a donc ajouté 3 unités de trop dans notre estimation. On doit donc enlever ces 3 unités au résultat
de l’estimation (190) pour obtenir le résultat exact : 190 – 3 = 187.
La réponse finale est donc 139 + 48 = 187.
Le calcul mental et la soustraction
Lorsque l’on effectue mentalement une soustraction, on peut d’abord arrondir les nombres à soustraire
et par la suite, ajuster le résultat.
Mentalement, trouver la différence de 112 et 90.
Solution
1) Arrondir.
112 arrondi à la dizaine près donne 110 ;
90 arrondi à la dizaine près donne 90.
2) Soustraire les nombres arrondis.
La différence entre 110 et 90 est 20.
On peut ignorer les zéros et les ajouter seulement à la fin.
Par exemple, 11 – 9 = 2. On ajoute ensuite le ou les zéros ignorés à la fin, ce qui nous donne 20.
3) Ajuster.
Il ne nous reste qu’à ajuster le résultat, car on a modifié les nombres du départ. Voici comment on
procède :
110 représente 2 unités de moins que 112 : 110 – 112 = -2.
On a donc enlevé 2 unités dans notre estimation. On doit donc ajouter ces 2 unités au résultat de
l’estimation pour obtenir le résultat exact : 20 + 2 = 22.
La réponse finale est donc 112 – 90 = 22
Le calcul mental et la multiplication
Tu trouveras ci-dessous 2 trucs qui pourraient t’être utiles pour trouver mentalement le résultat d’une
multiplication.
Si l’on effectue une opération avec des nombres se terminant par des zéros, on peut les ignorer pendant
le calcul et les ajouter seulement à la fin de l’opération.
Trouver mentalement le produit de 200 x 70.
Solution
Si l’on ignore les zéros, la multiplication deviendra 2 x 7 = 14. On doit ensuite ajouter le ou les zéros
ignorés au début. Puisqu’on a ignoré 3 zéros (200 x 70), il nous faut les ajouter à 14.
La réponse est donc 14 000.
Trouver mentalement le produit de 300 x 7.
Solution
On ignore les 2 zéros afin d’obtenir l’opération simplifiée suivante : 3 x 7 = 21. On ajoute ensuite les 2
zéros ignorés (300 x 7). La réponse est donc 2 100.
Pour trouver mentalement le résultat de multiplications dont les nombres ne se terminent pas par des
zéros, on peut procéder selon la démarche suivante :
1) On remplace le chiffre des unités par un zéro.
2) On effectue la multiplication avec les nombres modifiés en ignorant d’abord les zéros, puis en les
ajoutant au résultat obtenu (voir le truc 1 ci-dessus).
3) On multiplie le chiffre qui occupait initialement la position des unités par le multiplicateur de
l’opération demandée.
4) On additionne les réponses obtenues aux étapes 2 et 3.
Trouver mentalement le produit de 21 x 6.
Solution
On applique la démarche suggérée ci-dessus :
1) On remplace le chiffre des unités par un zéro : 21 x 6 devient 20 x 6
2) On effectue la multiplication avec les nombres modifiés en ignorant d’abord les zéros, puis en les
ajoutant au résultat obtenu : 2 x 6 = 12 → 120
3) On multiplie le chiffre qui était à la position des unités par le multiplicateur de l’opération initiale :
Le chiffre à la position des unités est 1.
Le multiplicateur est 6.
On doit alors effectuer l'opération suivante : 1 x 6 = 6
4) On additionne les deux réponses (étapes 2 et 3) : 120 + 6 = 126
L’opération de multiplication 21 x 6 = 126 est donc équivalente à celle effectuée à l’étape 4.
Le calcul mental et la division
Tu trouveras ci-dessous 2 trucs qui pourraient t’être utiles pour trouver mentalement le résultat d’une
division.
Tout comme pour la multiplication, il y a un truc pour diviser les nombres qui se terminent par des
zéros. Ce truc consiste à vérifier si, par cette division, on obtient une réponse sans décimale.
1) On ignore d’abord les zéros, puis on observe si le nouveau nombre est divisible par l’autre.
2) Si c’est le cas, on effectue la division en ignorant les zéros.
3) Finalement, on ajoute le ou les zéros ignorés à la réponse.
Trouver mentalement le quotient de 720 ÷ 9.
Solution
On applique la démarche en 3 étapes :
1) On ignore d’abord les zéros, puis on observe si le nouveau nombre est divisible par l’autre :
Si on ignore le zéro (720), la division devient 72 ÷ 9
2) Si c’est le cas, on effectue la division en ignorant les zéros.
Puisque cette division ne donne pas de réponse décimale, on peut affirmer que 72 est divisible par 9 : 72
÷9=8
3) Finalement, on ajoute le ou les zéros ignorés à la réponse.
On ajoute à la réponse le zéro ignoré : 80
Si les deux nombres de la division se terminent par un ou plusieurs zéros, il est possible de les éliminer
pour faciliter la division.
Il suffit de choisir le plus petit nombre de zéros parmi les 2 nombres représentés par la division et de les
enlever.
Trouver mentalement le quotient de 200 ÷ 50.
Solution
Comme les deux nombres ont des zéros à la fin, on choisit le nombre qui possède le moins de zéros :
Il y a 1 zéro dans 50.
Il y a 2 zéros dans 200.
Puisqu’il n’y a qu’un seul zéro dans 50, on enlèvera seulement un zéro à chacun des nombres.
200 ÷ 50 → 20 ÷ 5 = 4
La réponse de 200 ÷ 50 est donc 4.