ENTRAINEMENT 2 Étude d`un lieu géométrique et utilisation

ENTRAINEMENT 2
Étude d'un lieu géométrique et utilisation des nombres complexes - Correction
On considère un cercle (C) de diamètre [AB] , de centre O.
Soit M un point de (C) ; on construit les carrés directs MANP et MQRB, et on note S le milieu de [PQ].
On se propose d'étudier le lieu géométrique du point S lorsque M décrit le cercle (C).
Partie A – Figure et conjectures
On appelle E le point image de A par le quart de tour direct de centre O.
Cas 1 : M appartient au grand arc d'extrémités E et B.
Cas 2 : M appartient au petit arc d'extrémités E et B.
Conjectures :
• le lieu de S est le cercle de centre E et de même rayon que le cercle (C) ;
• la droite (NR) passe par le point E.
Partie B – Démonstration géométrique
1. Une diagonale d'un carré est aussi bissectrice des angles ; le triangle AMB est rectangle en M, car
M appartient au cercle de diamètre [AB].
Cas 1 : 
AMN=
AMR , donc M, N et R sont alignés.


Cas 2 : RMB= AMN=45° et 
AMB=90 ° , donc en ajoutant : 
RMN =180 ° , donc les
points R, M et N sont alignés.
2. Par les mêmes arguments qu'à la question précédente :
dans le cas 1, 
EMB=45° ; on a donc 
EMB=
RMB , ce qui entraîne que E, R et M sont
alignés, c'est-à-dire que E appartient à la droite (MR) (qui est aussi la droite (NR) ).
dans le cas 2, 
EMB=45°90 °=135° ; on a donc 
EMB=
NMB , ce qui entraîne que E, N
et M sont alignés, c'est-à-dire que E appartient à la droite (MN) (qui est aussi la droite (NR) ).
On a donc prouvé la seconde conjecture : la droite (NR) passe par le point E.
3. D'après les propriétés des carrés, la symétrie axiale s d'axe (NR) transforme A en P et B en Q.
s conserve le milieu, donc l'image par s du milieu de [AB] est le milieu de [PQ], soit : s(O)= S.
Puisque O et S sont symétriques par rapport à la droite (NR), cette droite (NR) est la médiatrice
de [OS], donc tout point de cette droite est équidistant de O et de S, donc EO = ES.
On en déduit que S appartient au cercle de centre E et de même rayon que le cercle (C).
Le quadrilatère OMSE est un losange car ses quatre côtés ont la même longueur.
Donc 
MS=
OE et S est l'image de M par la translation t de vecteur 
OE .
M décrit le cercle (C) privé des points A et B (car si M est confondu avec A ou B, les carrés
n'existent pas), donc S décrit l'image par t du cercle (C) privée des points A' = t(A) et B' = t(B) ;
Finalement, le lieu de S est le cercle de centre E et de même rayon que (C), privé des points
A' et B'.
Partie C – Démonstration utilisant les complexes
Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct d'origine O tel que l'affixe de A soit 1.
1. On a OA = 1, donc (C) est le cercle de centre O et de rayon 1, donc OM = ∣z M∣ =1.
z M est un complexe de module 1, donc il existe un réel  tel que : z M=e i  .
2. O est l'origine du repère et z A=1 , donc z B=−1 .
En utilisant des quarts de tour, on obtient :
i
i
i
i
i
i
z N=−i e i1 ; z P=i−i e e ; z Q =iie e ; z R =i e i−1 ; z E=i
z z
z S = P Q =ie i  .
2
i
i
i
Le vecteur 
MN a pour affixe Z 1= z N −z M =−ie i1−e =1i1−e  .
i
i
i
Le vecteur 
MR a pour affixe Z 2 =z R −z M =i e i−1−e =i−11e  .
Pour montrer que M, N et R sont alignés, on montre que les vecteurs 
MN et 
MR sont
colinéaires, c'est-à-dire que le quotient de leurs affixes est réel.
Z 1 1i1−e i  
=
.
Z 2 i−11e i  
On transforme ce quotient en multipliant le numérateur et le dénominateur par le conjugué du
dénominateur ; le nouveau dénominateur est le carré du module du dénominateur initial, donc un
réel.
Pour montrer que le quotient est réel, il suffit donc de montrer que le nouveau numérateur n est
réel ; le conjugué de e i  est e−i  .
n=1i1−e i −i−11e−i =−1i2 1e−i  −ei  −1
n=−12 i−1cos −i sin −cos −i sin =−2 i×−2 i sin =−4sin 
Z1
Donc n est réel ; le quotient
des affixes de 
MN et 
MR est réel, ces deux vecteurs sont
Z2
colinéaires, ce qui entraîne que les points M, N et R sont alignés.
i
Le vecteur 
NR a pour affixe z R −z N=2 i e −2 .
i
Le vecteur 
NE a pour affixe z E−z N=ie −1 .
On en déduit que 
NR=2 
NE ; N, R et E sont alignés, la droite (NR) passe par E.
De manière plus précise : E est le milieu de [NR].
ES = ∣z S −z E∣=∣ie i −i∣=∣e i ∣=1 , donc S appartient bien au cercle de centre E et de rayon 1
(rayon du cercle (C) ).