3ème Chapitre G3 I) ESPACE : SPHERE ET SECTIONS DE SOLIDES 1 Sphère et boule : 1) Définitions : Df : La sphère ( S ) de centre O et de rayon r est l’ensemble de tous les points de l’espace dont la distance à O est égale à r. Si M ( S ) alors OM = r Si OM = r alors M ( S ) Df : La boule ( B ) de centre O et de rayon r est l’ensemble de tous les points de l’espace dont la distance à O est inférieure ou égale à r. Si M ( B ) alors OM r Si OM r alors M ( B ) B F Sur la figure ci-contre : OM = r OF < r A M r O donc donc M ( B ) et M ( S ) F ( B ) et F ( S ) OB > r donc B ( B ) et B ( S ) OA = r donc A ( B ) et A ( S ) OO = 0 < r , donc O ( B ) et O ( S ) 2) Aire et volume d’une boule ou sphère. Soit une sphère de rayon r Formules : Asphère = 4 r ² et Vsphère = 4 r3 3 3ème Chapitre G3 ESPACE : SPHERE ET SECTIONS DE SOLIDES 3) Section par un plan. Prop : En coupant une sphère ( boule ) par un plan passant par le centre O, on obtient un cercle ( un disque ) de même rayon que celui de la terre. Prop : En coupant une sphère ( boule ) par un plan ne passant pas par le centre O, on obtient un cercle ( un disque ) de rayon inférieur à celui de la terre. N O' G M A r O H S 2 3ème Chapitre G3 ESPACE : SPHERE ET SECTIONS DE SOLIDES 4) Sphère terrestre . a) Vocabulaire. La terre peut être considérée comme une sphère d’environ 6370 km de rayon. N K O' G P M r H O A S Df : L’équateur est un cercle imaginaire, contenu dans le plan perpendiculaire à l’axe des pôles et dont le centre et le rayon sont ceux de la terre. Sur la figure ci-dessus, l’équateur est le cercle de centre O passant par M, H et A. La longueur de l’équateur peut donc se calculer en utilisant la formule de la longueur d’un cercle : Léquateur = 2 r = 2 6370 = 12740 40 023 km 40 000 km 3 3ème Chapitre G3 ESPACE : SPHERE ET SECTIONS DE SOLIDES Df : Un méridien est un demi - cercle imaginaire contenu dans un plan perpendiculaire à celui de l’équateur, ayant pour origine et extrémité les pôles, dont le centre et le rayon sont ceux de la terre. La longueur d’un méridien est donc égale à la moitié de celle de 40023 l’équateur : Lméridien = 20011 20000 km 2 Df : Un parallèle est un cercle imaginaire, contenu dans un plan parallèle à celui de l’équateur, dont le centre est celui de la terre, et le rayon inférieur à celui de la terre. Sur la figure ci-dessus, le parallèle à l’équateur dessiné est le cercle de centre O’ passant par K, G et P. Pour calculer la longueur d’un parallèle, il faut calculer son rayon en utilisant soit le théorème de Pythagore, soit la trigonométrie dans un triangle rectangle que l’on précisera. ! Remarque : Sur la figure ci-dessus, le rayon de la terre apparaît souvent : OM = OK = OH = OA = OG = OP = ON = OS = r b) Coordonnées géographiques d’un point situé à la surface de la terre. Repère géographique. On a imaginé de considérer un repère avec deux axes perpendiculaires, « plaqués » sur la surface de la terre. Ces axes deviennent alors des courbes : L’axe des abscisses correspond à l’équateur, c’est à dire un cercle qui décrit des angles de sommet O de 180 ° vers l’ouest et 180° vers l’est. L’axe des ordonnées correspond à un méridien particulier appelé le méridien « origine ». C’est celui qui passe par la ville de Greenwitch en Angleterre. C’est donc un demi-cercle qui décrit des angles de sommet O de 90° vers le sud et 90° vers le nord. 4 3ème Chapitre G3 5 ESPACE : SPHERE ET SECTIONS DE SOLIDES Coordonnées géographiques. La longitude d’un point correspond à son abscisse. On la lit sur l’équateur , partagé en arcs de cercle correspondant à des angles de 1 °. L’unité est donc le degré. La longitude d’un point va de 180 ° ouest à 180° est. La latitude d’un point correspond à son ordonnée. On la lit sur le méridien de Greenwitch partagé en arcs de cercle correspondant à des angles de 1°. L’unité est donc le degré. La latitude d’un point va de 90° nord à 90° sud. ! Remarque : Moyen mnémotechnique : La longitude se lit le long de l’équateur qui plus long que le méridien.( L’équateur est un cercle et le méridien un demi-cercle.) II) Section de solides autres que la sphère. 1) Solides vus dans les classes antérieures. G B F H F I A O J A E E B D C NATURE DU SOLIDE : prisme droit pentagonal NATURE DU SOLIDE : cylindre de révolution NOMBRE DE BASES ( IDENTIQUES ET PARALL7LES ) : 2 NOMBRE DE BASES ( IDENTIQUES ET PARALLELES ) : 2 NATURE DES BASES : pentagones NATURE DES BASES : disques NOMBRE DE FACES LATERALES : 5 NATURE DES FACES LATERALES : rectangles Le cylindre est créé ( généré par un rectangle en rotation autour d’un de ses côtés [BO] Les faces latérales sont perpendiculaires aux bases GENERATRICE DU CYLINDRE : [ BO ] 3ème Chapitre G3 6 ESPACE : SPHERE ET SECTIONS DE SOLIDES S O F I A H S B E G F NATURE DU SOLIDE : cône de révolution NATURE DU SOLIDE : pyramide régulière à base hexagonale. NOMBRE DE BASES : 1 NOMBRE DE BASES : 1 NATURE DE LA BASE : disque SOMMET : S SOMMET : S NATURE DES BASES : hexagone Le cône est créé ( généré par le triangle rectangle FOS en rotation autour d’un de des côtés de son angle droit [SO] GENERATRICE DU CÖNE : [ FS ] NOMBRE DE FACES LATERALES : 6 NATURE DES FACES LATERALES : triangles isocèles ! Remarque : Le cube et le pavé droit sont des prismes droits. 3ème Chapitre G3 ESPACE : SPHERE ET SECTIONS DE SOLIDES 7 2) Section d’un solide par un plan. G B J A G B F K H C I HO D E K E S F O R I F A H G B E P R F S a) Section par un plan parallèle à la base. Prop : Si on coupe un prisme ou un cylindre par un plan parallèle à la base, on obtient une figure identique à la base. Prop : Si on coupe une pyramide ou un cône par un plan parallèle à la base, on obtient une figure de la même nature que la base, mais réduite. ( Le coefficient de réduction est donné par la propriété de Thalès ) 3ème Chapitre G3 ESPACE : SPHERE ET SECTIONS DE SOLIDES b) Section d’un prisme par un plan parallèle aux arêtes latérales. Prop : Si on coupe un prisme par un plan parallèle à ses arêtes latérales, on obtient un rectangle. c) Section d’un cylindre par un plan parallèle à l’axe de rotation . Prop : Si on coupe un cylindre par un plan parallèle à son axe, on obtient un rectangle. 3) Agrandissement et réduction. Sur les figures 3 et 4, la section de pyramide et de cône par un plan parallèle à la base est une figure de même nature que la base mais réduite. Pour trouver le coefficient de réduction, on utilise le théorème de thalès. Dans la figure 4 : Le coefficient de réduction k ( <1 ) est donné par le SP SR O rapport ou SO SF On peut ainsi calculer le rayon du petit cône, connaissant celui du grand. F P Le grand rayon est multiplié par k, alors le grand disque de base est multiplié par k² et le grand cône est multiplié par k3 . R S Prop : Dans un agrandissement ou une réduction de rapport k, Les longueurs sont multipliées par k Les aires sont multipliées par k² Les volumes sont multipliés par k3. ! Remarque : Dans un agrandissement, le rapport k est supérieur à 1 Dans une réduction, le rapport k est inférieur à 1. 8