Chapitre 2 : Arithmétique et fractions

2008-2009
Classe de troisième
Chapitre 2 : Arithmétique et fractions
Le mot arithmétique vient du grec « arithmos » = nombre. En effet,
l’arithmétique est la science des nombres.
I. Divisibilité
a. Division euclidienne
Propriété : Dans une division euclidienne, on a toujours :
dividende = (diviseur  quotient entier) + reste
a=b×q+r avec r<b
Si r=0 alors le dividende prend le nom de multiple : a=b×q
Exemple :
690=15×46
690 est un multiple de 15
15 est un diviseur de 690
690 est divisible par 15
b. Critères de divisibilité :
Un nombre entier est divisible :
- par 2, si son chiffre des unités est pair,
- par 5, si son chiffre des unités est 0 ou 5,
- par 10, si son chiffre des unités est 0,
- par 3, si la somme de ses chiffres est divisible par 3,
- par 9, si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
Exemples : 30 est divisible par 2, 5, 10 et 3.
1071 est divisible par 3 et 9
c. Nombres premiers
Définition : Un nombre entier est premier s’il a exactement deux diviseurs 1 et lui-même.
Exemples : 1 n’est pas un nombre premier
3 est un nombre premier (il a exactement deux diviseurs : 1 et 3)
6 n’est pas un nombre premier (il a d’autres diviseurs que 1 et 6 : 2 et 3)
Le crible d’Eratosthène est une méthode qui permet d’extraire les nombres premiers de
la liste des nombres entiers.
On barre le nombre 1 car il n’est
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
pas premier.
11 12
13
14 15
16
17 18
19
20
22
23
24 25
26
27 28
29
30
31 32
33
34 35
36
37 38
39
40
41 42
43
44 45
46
47 48
49
50
51 52
53
54 55
56
57 58
59
60
61 62
63
64 65
66
67 68
69
70
71 72
73
74 75
76
77 78
79
80
81 82
83
84 85
86
87 88
89
90
91 92
93
94 95
96
97 98
99 100
21
On entoure le nombre 2 car il est
premier et on barre tous les
nombres pairs car ils ne sont pas
premiers (2 est un autre diviseur en
plus de 1 et du nombre lui-même)
On entoure le nombre 3 car il est
premier et on barre tous les
multiples de 3.
Quand un nombre est barré, on
passe au suivant.
On procède de même avec les
nombres suivants.
Liste des nombres premiers : cette liste est infinie
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
d. Diviseurs communs à deux entiers ou plusieurs entiers
Tous les diviseurs de 60 sont : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60
Tous les diviseurs de 100 sont : 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100
Les diviseurs communs à 60 et 100 sont : 1, 2, 4, 5, 10, 20
e. Plus Grand Commun Diviseur (PGCD)
Définition : Le PGCD de deux ou plusieurs nombres entiers est le Plus Grand Commun
Diviseur de ces entiers
Exemple : Le PGCD de 60 et 100 est donc 20, on note PGCD(60,100) = 20
Remarque : Certaines calculatrices ont une fonction PGCD qui permet de trouver
directement le PGCD de deux nombres entiers.
f. Algorithme de calcul du PGCD de deux nombres entiers
Le mot « algorithme » vient d’une déformation du nom du mathématicien perse al
Khawarizmi (IXème siècle).
Un algorithme est une succession de manipulations sur les nombres qui s’exécutent
toujours de la même façon.
Méthode 1 : L’algorithme d’Euclide
Déterminons PGCD(252,360)
- on divise le plus grand par le plus petit :
360
252
108
1
- on divise le diviseur précédent par le reste précédent
252
108
36
2
- on divise le diviseur précédent par le reste précédent
108
36
0
3
- le reste est nul, on arrête.
PGCD(252 , 360) = 36 (dernier reste non nul)
Solution sous forme d’un tableau :
Dividende
360
252
108
Diviseur
252
108
36
Reste
108
36
0
Méthode 2 : Soustractions successives
Déterminons PGCD(252,360) :
- on soustraie le plus grand par le plus petit :
360 – 252 = 108
- on soustraie les plus petits entre eux :
252 – 108 = 144
- on soustraie les plus petits entre eux :
144 – 108 = 36
- on soustraie les plus petits entre eux :
108 – 36 = 72
- on soustraie les plus petits entre eux :
72 – 36 = 36
- on soustraie les plus petits entre eux :
36 – 36 = 0
- la différence est nulle, on arrête.
PGCD(252,360) = 36 (dernière différence non nulle)
TP info sur l’algorithme d’Euclide.
II.
Nombres premiers entre eux
Définition : Si le pgcd de deux nombres entiers vaut 1, alors ces deux nombres entiers
sont dits premiers entre eux.
Exemple :
Tous les diviseurs de 10 sont : 1, 2, 5, 10
Tous les diviseurs de 7 sont : 1, 7
III.
donc PGCD(10,7) = 1
On dit que 10 et 7 sont premiers entre eux.
Application aux fractions
Définition : On dit qu’une fraction est irréductible, lorsque son numérateur et son
dénominateur sont premiers entre eux
Méthode : Pour rendre une fraction irréductible, on divise son numérateur N et son
dénominateur D, par le pgcd de N et de D.
Exemple :
Les fractions Error! et Error! sont-elles irréductibles ? Si non, les rendre
irréductible.
1) PGCD(10,7) = 1 donc Error! est irréductible.
2) PGCD(252,360) = 36 donc Error! = Error! = Error!