série 3

Nombres complexes
. Exercice n°1 : On considère l'équation : 2 Z² - 4 i Z – 3- i
Série Maths
3 =0
1- Montrer que cette équation possède deux solutions complexes distinctes Z1 et Z2.
2- On désigne par M1 et M2 les points du plan complexes d'affixes respectives Z1 et Z3.
Placer les points M1 et M2 dans le plan complexe rapporté à l'origine 0.
3- Soit I le milieu du segment [M1 M2]. Calculer d'affixe Z3 de I.
4- Calculer les modules de Z3,
Z3 - Z1 et Z3 - Z2.
5- Quelle est la nature du triangle OM1 M2.
Exercice n°2 : Soit dans ℂ la fonction f définie par :
f(Z) = Z3 - (1 + 3 i) Z² - (2 - 7i) Z + 10.
1- Montrer qu'il existe un réel unique b tel que "bi" soit solution de l'équation f (Z) = 0.
2- Factoriser la fonction f.
3- Résoudre dans C l'équation : f (Z) = 0.
Exercice n°4 :  et  sont deux constantes réelles.
1- résoudre dans C l'équation :
Z² - 2 ( cos  + i sin ) Z + ² - 1 = 0.
2- Préciser suivant  le module et un argument de chaque solution.
Exercice n°5 : 1- Résoudre dans ℂ l'équation :
(1) : Z² - 2 Z cos  + 1 = 0
où   ℝ. Donner les solutions sous forme trigonométrique. En déduire la résolution
dans C de l'équation (2) : Z4 - 2 Z² cos  + 1 = 0.
2- On désigne par M1, M2 et M4 les points d'affixes Z1 , Z2 , Z3 et Z4 , solutions de (2). Pour quelles valeurs de ,
(0 <  < ) ces quatre points sont-ils les sommets d'un carré.
3- Décomposer en un produit de deux facteurs du second degré à coefficients réels le polynôme :
F (x) = x4 - 2 x2 cos  + 1
Exercice n°6 : Soit dans ℂ l'équation : Z4 + 4 Z3 + 6 Z² + (6-2i) Z + 3 -2 i = 0.
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Nombres complexes
Série Maths
1- Montrer que l'équation admet (-1) et (i) comme solution.
En déduire la résolution de l'équation.
1- On désigne par Z1 Z2 et Z3 les solutions non réelles de l'équation. On désigne par M0, M1 M2 et M3 les points
d'affixes - 1, Z1, Z2 et Z3. Montrer que M1M2M3 est équilatéral de centre M0.
Exercice n°7 : Soit a un nombre complexe non nul, soit l'équation :
(E) : 2 Z² - a (7 + i
3 ) z + 2 a² (3 + i
3 ) = 0.
1- Trouver les racines carrées de u 
1
3
i
.
2
2
2- Calculer les racines Z1 et Z2 de (E).
3- Vérifier que Z2 - a = u (Z1 - a), (Z1 est la racine de la forme a). En déduire la nature du triangle AM1M2, où
A(a), M1 (Z1) et M2 (Z2).
4- Dessiner le triangle dans le cas où a = 1 + i.
Exercice n°8 : 1- Résoudre dans ℂ l'équation P (Z) = 0. Où P (Z) = (Z²+3Z)² + (3Z+5)².
2- Montrer que P(Z) est le produit de deux polynômes du second degré à coefficients réels.
Exercice n°9 : 1- Déterminer les racines carrées de -3 + 4i.
2- Soit dans ℂ l'équation:
Z² - (3+4i) Z + 5i -1 = 0 (1) résoudre cette équation.
3- Soit l'équation (2) : Z3 - (3+7i) Z² + (-13 + 14i) Z+15+3i = 0.
Montrer que l'équation (2) admet une solution imaginaire pour que l'on précisera. Achever alors la résolution de
(2).
 
4- Placer dans le plan complexe rapporté à un r.o.n. (o, i , j ) les points A (1+i), B (2+3i) et C (3i).
Déterminer l'affixe du point D pour que ABDC soit un parallélogramme. Montrer que ABDC est un losange.
1i 3 et 3i 3 .
2
2
Exercice n°10 : On considère les nombres complexes  
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Nombres complexes
Série Maths
1- Ecrire  et  sous forme exponentielle.
2- Soit   ]0, [
a) Résoudre dans C : Z² - 2Z + 1 - e2i = 0.
Z1 étant ls solution ayant une partie imaginaire positive et Z2 l'autre solution.
b) Ecrire Z1 et Z2 sous forme trigonométrique.
3- déterminer  pour que l'on ait Z1 =  et Z2 = .
Exercice n°11 :1- Résoudre dans ℂ l'équation : (1+i) Z² - 2Z + 1-i = 0.
2- Soit m  ℂ et |m| =
2.
Résoudre dans c l'équation : m Z²-2Z + m = 0 (E);
3- Dans la suite de l'exercice on prend m =
2 ei;   IR.
a) Montrer que les racines z' et z'' de (E) s'écrivent sous la forme
z'  e

i(  )
4
et z' '  e

i (  )
4
.
 
b) Dans le plan complexe rapporté à un r.o.n. (o, i , j ) on désigne par M' et M'' les pointss d'affixes respectives z'
et z'' et M le point d'affixe z' + z''.
Montrer que


z'
= i. En déduire que les vecteurs OM ' et OM ' ' sont orthogonaux.
z' '
c) Montrer que le quadrilatère OM'MM'' est un carré.
Exercice n°12: 1- Résoudre dans ℂ l'équation :
Z² - (2+1 cos ) Z + 22 = 0 ; où   [0, 2[.
Mettre les solutions sous forme trigonométrique.
2°) dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on désigne par A et B les points images de ces deux solutions.
Déterminer  pour que le triangle OAB soit rectangle.
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Nombres complexes
Série Maths
  
, .
 2 2
Exercice n°13: Soit    
On considère l'équation d'inconnue complexe Z :
(E) (1+iZ)3 . (1-i tan ) = (1 - i Z)3 . (1+ i tan ).
1- Soit Z0 une solution de (E)
a) Montrer que |1+ i Z0| = |1 - i Z0|.
b) En déduire que Z0 est réel.
2-a) Exprimer
1  itan 
en fonction de ei.
1  itan 
b) Soit Z un réel. On pose Z = tg  , où 


 .
2
2
Ecrire l'équation portant sur , traduisant (E). La
résoudre.
c) Déterminer alors les solutions Z1, Z2 et Z3 de (E);
Exercice n°14: Soit Z0  cos
2
2
 i sin
5
5
1- On pose  = Z0 + Z04 et  = Z02 + Z03.
a) Montrer que 1 + Z0 + Z02 + Z03 + Z04 = 0
En déduire que  et  sont solutions de l'équation (1) suivante :
X² + X - 1 = 0
b) Déterminer  en fonction de cos
2
5
b) Résoudre (1). En déduire la valeur de cos
Exercice n°15:
2
5
Soit A(1) et B(-1). Deux points N et M d’affixes z et Z varient de manière :
Z 1 (z 1) .
2
z
2
1°/Démontrer que (MN) est la bissectrice de ()
MA, MB et que MN =MA .MB.
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Nombres complexes
 
Z1 z1
2°/ Démontrer que Z1 z1 . En déduire que :
2
 NB
 MB  2 
(
NA , 
MA , )
Série Maths
2 
3°/Quel est l’ensemble des points M lorsque N décrit un cercle passant par A et B.
Exercice n°16: Soit a un complexe non nul et n ∈ℕ ; n≥2.
1°/On suppose que z et z’ sont deux racines n-ièmes de a. Démontrer qu’alors z’ =ukz , où uk est l’une des n
racines n-ièmes de l’unité ,avec 0≤k≤n-1.
2°/Réciproquement, supposons que z soit une racine n-ième de a, démontrer qu’alors ukz en est également une.
3°/a-Déterminer sous forme trigonométrique les solutions de l’équation : z3 4 21i  .
b-En utilisant les racines cubiques de l’unité, écrire les solutions de cette équation sous forme algébrique.
c-En déduire les valeurs de cos 11 et de sin 11 .
12
12
Résoudre dans ℂ l'équation (1): z 3=-1.
Exercice n°17:
En déduire une méthode de résolution dans ℂ de l’équation : (z-1) 3+(z+2) 3=0 ;(2).
Résoudre l’équation (2) par une autre méthode.
Exercice n°18: 1°/Résoudre dans ℂ l'équation (1): z 5=1.Montrer que les racines de cette équation sont :z0=1,
2i
z1  e
5
, z2= z12 , z3= z13 , z4= z14 .
En déduire que :
a-Les images de z0, z1, z2, z3 et z4 sont les sommets d’un pentagone régulier convexe inscrit dans le cercle
trigonométrique.
b- z0+ z1+z2+ z3 + z4=0. Interpréter géométriquement cette égalité.
Exercice n°19: 1°/Résoudre dans ℂ l'équation (1): z 5=-i.On écrira les racines sous forme trigonométrique
2°/Calculer la somme des racines et interpréter géométriquement ce résultat
3°/ Résoudre dans ℂ l'équation :1+iz- z 2-i z 3 +z 4=0.
Exercice n°20:
On se propose de résoudre dans ℂ l'équation (1): z 6=117+44i.
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Nombres complexes
Série Maths
a- Vérifier que 1+2i est une solution de l’équation (1).
b- Résoudre dans ℂ l'équation u 6=1.On exprimera les solutions sous forme trigonométrique et sous forme
algébrique.
c- En déduire les solutions de l’équation (1).
Exercice n°21:

1°/Le plan complexe P étant rapporté à un repère orthonormé O,u,v .
Au nombre complexe a, on associe le point A(a).
a- Représenter dans le plan P l’ensemble (S) des points A tels que : |a-1|=|a|.
b- Montrer que si A∈ (S), on a : a1a . En déduire la relation : arg(a)arg(a 1)2 .
2°/On se propose de résoudre dans ℂ, l'équation (E) : z 3=i( z-1 )3.
a- Montrer que si z est solution de (E) , on a : |z-1|=|z|. A quel ensemble appartient alors l’image de z ?
b- On pose arg(z)= θ. Pour quelles valeurs de θ, z est-il solution de l’équation (E) ?
c- Construire dans P, les images des solutions de (E) puis écrire sous forme trigonométrique ces solutions.

Exercice n°22: Le plan complexe P étant rapporté à un repère orthonormé O,u,v .
1°/Soit dans P les points M1,M2,M3 d’affixes respectives les complexes z1, z2, z3.
Soit j=  1 i
2
3 . Montrer que le triangle M M M est équilatéral si, et seulement si :
1 2 3
2
z1+j z2+j2z3=0 ou z1+ j2 z2+jz3=0 .
2°/Soit dans l’ensemble ℂ des nombres complexes l’équation (E) :
z 3-(1+a+ia) z 2+a(1+i+ia)z-ia2=0;où a ∈ ℂ.
a- Vérifier que (E) admet une solution réelle pure γ. Achever la résolution de (E) .
On notera α et ß,les deux autres solutions.
b- Soit dans P les points A,B,C d’affixes respectives α , ß et  . Déterminer a de manière que ABC soit
équilatéral.
Exercice n°23:
Soit θ un paramètre réel de ]0,  [ et (E) l’équation dans ℂ définie par :
z 3 -4 z 2 +(5- e2i )z -2 +2 e2i =0.
1°/a- Vérifier que z0=2 ,est une solution de l’équation (E).
b- Trouver alors les deux autres solutions z1et z2 de (E) ; avec Im(z1)＞0.
c- Ecrire sous forme trigonométrique z1et z2.
2°/Soit A, M1,M2 les points d’affixes respectives les complexes 2, z1, z2 dans Le plan P muni d’un repère

orthonormé O,u,v .
a- Montrer que M1et M2 sont symétriques par rapport à un point fixe I que l’on déterminera.
b- Trouver l’ensemble (γ1) décrit par le point M1 lorsque θ varie. En déduire l’ensemble (γ2) décrit par le point
M2.
c-En utilisant les résultats précédents, montrer que OM1A M2 est un rectangle. Dans quel cas OM1A M2 est un
carré ?
3°/On considère l’application
f : P →P
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Nombres complexes
Série Maths
M(z)  M’(z’)
tel que z’=2z-z2.
Soit () le cercle de centre I et de rayon 1.Montrer que f()=().
4°/Soit M un point de (γ1) et M’ un point du segment [MO] tel que MM’=AM.
a- Placer M et M’ dans un cas de figure.
b- Déterminer l’affixe z’ de M’.
c-En déduire l’ensemble des points M’ lorsque θ varie.
Exercice n°24:

Dans le plan complexe P rapporté à un repère orthonormé direct O,u,v , on considère les points A, B,
C et D d'affixes respectives  
3i
1 i 3
, 
,
2
2
a=   
et
b=    .

sous forme trigonométrique. En déduire la nature du triangle ABO.

1°/ Ecrire  ,  et
2°/ Placer les points A, B, C et D dans le plan et montrer que OACB est un carré.
3°/ En déduire la forme trigonométrique de a et b.
4°/ Déterminer alors les valeurs de cos
5
5
11
11
, sin
, cos
et sin
.
12
12
12
12
Exercice n°25: Soit  un réel de l'intervalle ]0,

[.
2
1°/a)Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes suivants:
z1=1- e i et z2=1- e 3i .
b) En déduire le module et un argument du nombre complexe z3=1+ e i + e 2 i .
2°/ Résoudre dans ℂ l'équation ( E  ): z2-(2+ e 2 i )z+1- e 3i =0. On donnera les solutions sous forme
exponentielle.
Exercice n°26: Soit  un réel de l'intervalle ]0,  [. et l'équation dans ℂ :
(E): z3 + 4z2 + (5- e 2 i )z - 4isin  . e i = 0.
1°/a) Prouver que e i est une racine carrée de 1+2isin  . e i .
b) Montrer que z0=-2 est une solution de (E) puis la résoudre.
2°/ On donne les points A, M1 et M2 d'affixes respectives -2, z1= -1+ e i et z2= -1- e i .
z1
.
z2
a) Mettre sous forme exponentielle z1 et
b) Montrer que les points M1 et M2 sont symétriques par rapport à un point fixe I.
c) Déterminer l'ensemble ( 1 ) des points M1 lorsque  varie et en déduire l'ensemble ( 2 ) des points M2 et
les construire.
d) Montrer que OM1AM2 est un rectangle puis déterminer la valeur de  pour laquelle on obtient un carré.
Exercice n°27: 
étant un réel de ]0,  [ et z un nombre complexe.
3
On pose P(z)=z -(1-2sin  )z2+(1-2sin  )z-1.
1°/a) Calculer P(1).
a) Résoudre dans ℂ l'équation P(z)=0. et écrire les solutions sous forme exponentielle.
2°/ Résoudre dans ℂ l'équation U3= e

i( )
2
.

2
i

i
3°/ Vérifier que pour tout réel  , on a: 1+ e = 2cos ( ) . e 2 .
4°/ Résoudre dans ℂ l'équation
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(z-1)6 + 2sin  (z-1)3 + 1 = 0.
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Nombres complexes
Exercice n°28: Soit le nombre complexe u=1+i et
1)a- Mettre u= et
Série Maths
son conjugué.
sous forme trigonométrique
.Déduire que Sn = n cos(
b- Soit n un entier naturel. On pose Sn =
n
) où  n est un réel
4
à préciser en fonction de n.
c-Pour quelles valeurs de n a-t-on Sn =0 ?
d- Prouver que si n est pair, Sn est un entier relatif.
2) On suppose que n est un entier naturel pair et on pose n=2m.
a- Ecrire, par la formule du binôme, les développements de (1+i)2m et de (1-i)2m à l’aide des puissances de i ,
puissances que l’on ne cherchera pas à simplifier dans cette question.
i2p+1 + (-i)2p+1
b- Pour p, entier naturel, simplifier :
et
i2p + (-i)2p .
c- Application : pour n=24 (donc m=12). En utilisant ce qui précède, montrer que :
12
 (1)
p 0
p
2p
C24
 212
Exercice n°29:
On considère le plan complexe rapporté à un repère orthonormé (O, u , v ).  désigne un nombre réel de
l’intervalle ]-π,+π[. Pour tout  , on définit le nombre complexe z(  )=
1)a-Calculer (1+ei  ). e
 i
2
1
(1+ei  )2.
2
; en déduire que le nombre complexe (1+ei  ) a pour argument

.
2
b-Calculer le module et un argument de z(  ).
c-Représenter dans le plan complexe z(

).
6
2) Soit M le point d’affixe z(  ) et A le point d’affixe 1. On projette orthogonalement A en P sur la droite (OM).
Quel est l’ensemble des points P quand  varie dans ]-π,+π[ ?
Calculer la distance PM. (On discutera suivant  ).
3) Donner une construction géométrique de l’ensemble des points M (construction point par point).
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