ELEMENTS DE CALCUL DES PROBABILITES

Principes et Méthodes de la Biostatistique
Chapitre 1
ELEMENTS DE CALCUL DES PROBABILITES
La théorie des probabilités, née au XVIIème siècle, est devenue un domaine important,
et fort compliqué, des mathématiques. Dans ce qui suit sont présentés quelques éléments,
disons même quelques rudiments, utiles à la compréhension des méthodes de la biostatistique.
Nous rencontrons l’aléatoire dans les situations où une expérience, répétée de façon
apparemment identique, conduit d’une fois à l’autre, à des résultats différents. Les exemples
les plus simples, et les plus anciens, sont les jeux de hasard : si je jette une pièce de monnaie,
des fois elle montrera pile et des fois face ; un dé peut donner n’importe quel nombre de 1 à
6 ; la distribution des cartes au bridge conduit à un nombre immense de donnes possibles.
Mais d’innombrables autres exemples plus intéressants se rencontrent dans tous les domaines
de la science : deux malades atteints de la même maladie et traités de façon identique peuvent
l’un guérir et l’autre pas, la mesure de la pression artérielle d’un groupe de sujets conduit à
des valeurs différentes, etc… Bref, le calcul des probabilités est sous-jacent à toutes les
situations dans lesquelles il y a variabilité.
Epreuves et événements
En langage des probabilités, l’expérience est désignée sous le nom d’épreuve (jet d’un
dé, examen d’un sujet d’une population, etc…) et les résultats possibles de l’épreuve sont
appelés événements élémentaires (pile ou face, 1 à 6 pour le dé, valeurs possibles de la
pression artérielle, etc…). Nous supposons pour l’instant que ces événements élémentaires
sont en nombre fini (ou dénombrable1) ; nous ignorons donc les cas tels que celui où le
résultat de l’épreuve peut être n’importe quel nombre compris entre 0 et 1, une situation qui
sera abordée au chapitre 3. Les événements élémentaires sont désignés par e1, e2, e3,… et
l’ensemble de ces événements élémentaires est désigné par E.
De façon générale, on appelle événement A tout sous-ensemble de E ; A est donc la
réunion de certains événements élémentaires. Exemple, l’événement « multiple de 3 » d’un jet
de dé est A=(3,6). Il est normal de dire que l’événement A est réalisé, si l’un des événements
élémentaires qui le constituent est réalisé. Notons qu’il y a équivalence entre la notion
d’événement et la notion d’ensemble. On a alors les résultats suivants qui sont évidents.
Si l’on considère un événement A, deux éventualités existent, soit A se produit, soit A
ne se produit pas ; dans cette deuxième éventualité, on dit que c’est le complémentaire A de A
qui s’est produit ; à cet événement A correspond l’ensemble qui est le complémentaire de A
dans l’ensemble E.
1
Un ensemble dénombrable est un ensemble dont les éléments, en nombre infini, peuvent être énumérés.
Un exemple est l’ensemble des nombres entiers : 0, 1, 2,…
Calcul des Probabilités
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Principes et Méthodes de la Biostatistique
Si A et B sont deux événements, à l’événement (A ou B) correspond l’ensemble
(A ∪ B) , à l’événement (A et B) correspond l’ensemble (A ∩ B) .
Si les ensembles A et B sont disjoints (A ∩ B = ∅) , ensemble vide, les événements A et
B sont dits incompatibles.
L’événement E se produit certainement, l’événement E = ∅ ne se produit certainement
pas.
Définition de la probabilité
Par une convention absolument naturelle nous dirons que l’événement E qui se produit
certainement a une probabilité de 1, tandis que l’événement ∅ a une probabilité de 0. La
probabilité d’un événement quelconque A est définie comme un nombre compris entre 0 et 1,
satisfaisant à certaines règles logiques.
Nous considérons le cas où les événements élémentaires e1, e2, e3,… sont en nombre fini
ou infini dénombrable ; nous attachons à chaque événement un nombre pi (sa probabilité),
compris entre 0 et 1 tel que la somme des pi soit égale à 1. Maintenant, la probabilité d’un
événement quelconque A est la somme des probabilités des événements élémentaires qui
composent A (ceci s’appelle l’axiome d’additivité). Prenant l’exemple d’un dé ; si on suppose
que le dé est parfait, toutes les faces doivent avoir la même probabilité, ce qui conduit à
1
attribuer la probabilité
à chacun des 6 événements élémentaires. La probabilité de « pair »
6
1
est p(2)+p(4)+p(6)= .
2
Un cas où les événements élémentaires sont en nombre infini non dénombrable (par
exemple toutes les valeurs possibles d’un intervalle) est étudié au chapitre 3.
Propriétés fondamentales des probabilités
Elles découlent de ce qui précède :
1) P(E)=1
2) P( ∅ )=0
3) Si A et B sont incompatibles, alors P(A ou B)=P(A)+P(B).
Si A1, A2,…Ai, sont des événements deux à deux incompatibles, c’est-à-dire si
P(Ai et Aj)=0, P(A1 ou A2 …ou Ai ou..)=P(A1)+P(A2)+…P(Ai)+…
4) De façon plus générale P(A ou B)=P(A)+P(B)-P(A et B).
5) P( A )=1-P(A). En effet P(E)=P(A ou A )=1.
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Interprétation concrète de la probabilité
Soit un événement A dont la probabilité est par exemple p=30 %. Pour le sens commun,
ceci signifie qu’en moyenne A se réalisera dans 30 % des cas. Comme nous le verrons plus
loin cette interprétation est tout à fait correcte à condition de la préciser : si nous
recommençons l’épreuve qui peut conduire à A (ou A ) un très grand nombre n de fois, et si
f
nous observons la fréquence f de fois où A est réalisée, alors
est très voisin (tend vers)
n
0.30. Le modèle de la pièce de monnaie exacte est que les probabilités de pile et face sont
1
égales à . Si, sur un très grand nombre de jets, le pourcentage de pile n’est pas cette valeur,
2
c’est que le modèle est faux.
A SAVOIR
P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A et B)
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