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Enoncés
Diérentielle
Exercice 6 [ 00036 ] [Correction]
Soit f : E → F diérentiable vériant f (λx) = λf (x) pour tout λ ∈ R et tout
x ∈ E . Montrer que l'application f est linéaire.
Exercice 1 [ 00035 ] [Correction]
Montrer que l'application
Z
P 7→
1
P (t)2 dt
0
dénie sur E = Rn [X] est diérentiable et exprimer sa diérentielle.
Exercice 2 [ 00028 ] [Correction]
Justier que la fonction f : C∗ → C dénie par f (z) = 1/z est diérentiable et
calculer sa diérentielle.
Exercice 3
[ 00032 ]
1
[Correction]
Exercice 7 [ 03502 ] [Correction]
Soient E = C ∞ (Rn , R), E ∗ le dual de E et
D = d ∈ E ∗ | ∀(f, g) ∈ E 2 , d(f g) = f (0)d(g) + g(0)d(f )
(a)
(b)
(c)
(d)
Montrer que D est un sous-espace vectoriel de E ∗ .
Montrer que D est non réduit à {0}.
Soit d ∈ D et h une fonction constante. Que vaut d(h) ?
Soit f ∈ E . Montrer
n
(a) Justier que l'application det : Mn (R) → R est diérentiable.
(b) Calculer sa diérentielle en In puis en toute matrice M inversible.
(c) En introduisant la comatrice de M , exprimer la diérentielle de l'application
det en tout M ∈ Mn (R).
Exercice 4 [ 00029 ] [Correction]
Soient E et F deux R-espaces vectoriels de dimension nies et ϕ : E × E → F une
application bilinéaire.
Établir que ϕ est diérentiable et calculer sa diérentielle dϕ.
∀x ∈ R , f (x) = f (0) +
n
X
Z
xi
0
i=1
1
∂f
(tx) dt
∂xi
∂f
(tx) dt est dans E .
Vérier que l'application x 7→ 01 ∂x
i
(e) Soit d ∈ D. Établir l'existence de (a1 , . . . , an ) ∈ Rn tel que
R
∀f ∈ E, d(f ) =
n
X
i=1
ai
∂f
(0)
∂xi
(f) Déterminer la dimension de D.
Exercice 5 [ 02904 ] [Correction]
Si p ∈ N, soit
fp : (x, y) ∈ R2 \ {(0, 0)} 7→ (x + y)p sin p
1
x2 + y 2
(a) Condition nécessaire et susante pour que fp se prolonge par continuité en
(0, 0) ?
(b) La condition de a) étant remplie, condition nécessaire et susante pour que
le prolongement obtenu soit diérentiable en (0, 0) ?
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Corrections
Corrections
2
Soit M inversible.
Exercice 1 : [énoncé]
R
R
R
Posons f (P ) = 01 P (t)2 dt. f (P + H) = f (P ) + 2 01 P (t)H(t) dt + 01 H(t)2 dt.
R1
Posons `(H) = 2 0 P (t)H(t) dt ce qui dénit ` forme linéaire sur E .
munissant
En
E de la norme k.k = k.k∞ , on observe
R 1
2
2
0 H(t) dt ≤ kHk∞ = o(kHk).
Ainsi, la relation précédente donne f (P + H) = f (P ) R+ `(H) + o(kHk) ce qui
assure que f est diérentiable en P et df (P ) : H 7→ 2 01 P (t)H(t) dt.
Exercice 2 : [énoncé]
Soient a ∈ C∗ et h ∈ C.
On peut écrire
−h
= `(h) + α(h)
f (a + h) − f (a) =
a(a + h)
det(M + H) = det M det(I + M −1 H) = det M + det M tr(M −1 H) + o(H)
donc
d(det)(M ) : H 7→ det M tr(M −1 H)
(c) En M inversible
d(det)(M ) : H 7→ det M tr(M −1 H) = tr(t Com M .H)
Les applications M 7→ d(det)(M ) et M 7→ tr(t Com M × .) sont continues et
coïncident sur la partie dense GLn (R), elles sont donc égales sur Mn (R).
Exercice 4 : [énoncé]
On a
ϕ(a + h, b + k) = ϕ(a, b) + ϕ(h, b) + ϕ(a, k) + ϕ(h, k) = ϕ(a, b) + ψ(h, k) + o (k(h, k)k)
avec ` : h 7→ − ah2 linéaire et
h
h2
−h
+ 2 = 2
= O(h2 ) = o(h)
α(h) =
a(a + h) a
a (a + h)
avec ψ : (h, k) 7→ ϕ(h, b) + ϕ(a, k) linéaire et ϕ(h, k) = o (k(h, k)k) car
|ϕ(h, k)| ≤ M khk kkk.
Par suite ϕ est diérentiable en (a, b) et dϕ(a, b) = ψ .
La diérentielle de f en a est donc
` : h 7→ −
Exercice 5 : [énoncé]
h
a2
(a) En polaires, x = r cos θ, y = r sin θ,
Exercice 3 : [énoncé]
(a) det est diérentiable (et même de classe C ∞ ) car polynomiale en vertu de
l'expression générale dénissant le déterminant
det M =
X
ε(σ)
σ∈Sn
n
Y
aσ(i),i
i=1
(b) det(I + H) = 1 + ϕ(H) + o(kHk) avec ϕ = dI (det).
Pour H = λEi,j , on obtient
det(In + λEi,j ) = 1 + λδi,j = 1 + λϕ(Ei,j ) + o(λ)
donc ϕ(Ei,j ) = δi,j puis
ϕ = tr
fp (x, y) = (cos θ + sin θ)p rp sin
1
r
Si p ≥ 1 alors |fp (x, y)| ≤ 2p rp −−−−−−−→ 0 et on peut prolonger f par
continuité en (0, 0).
Si p = 0 alors f0 (x, y) = sin √
(x,y)→(0,0)
1
x2 +y 2
diverge car le sinus diverge en +∞.
(b) On suppose p ≥ 1.
Pour p = 2 :
f2 (x, y) = (x + y)2 sin p
1
x2
+ y2
2
= O(k(x, y)k )
ce qui s'apparente à un développement limité à l'ordre 1 en (0, 0).
La fonction f2 est donc diérentiable en (0, 0) de diérentielle nulle.
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Pour p > 2 :
fp (x, y) = (x + y)
p−2
Corrections
3
(d) Soit x ∈ Rn , puisque la fonction ϕ : t ∈ [0 ; 1] 7→ f (tx) est de classe C 1 , on a
f2 (x, y)
La fonction fp est diérentiable par produit de fonctions diérentiables.
Pour p = 1 :
Quand h → 0+ ,
1
1
(f1 (h, 0) − f1 (0, 0)) = sin
h
h
diverge. Ainsi f n'est pas dérivable en (0, 0) selon le vecteur (1, 0), elle ne
peut donc y être diérentiable.
Exercice 6 : [énoncé]
Remarquons
f (0) = f (0.0) = 0.f (0) = 0
et notons ` = df (0).
D'une part
0
ce qui donne
Z
f (x) = f (0) +
n
1X
0
d(f ) =
n
X
d(pi fi ) =
n
X
d(pi )fi (0)
i=1
car d(f (0)) = 0 et pi (0) = 0.
En posant ai = d(pi ) et sachant
λ`(x) + o(λ kxk) = λf (x)
Z
fi (0) =
+
Exercice 7 : [énoncé]
(a) immédiat.
(b) L'application dh : f 7→ dh f (0) fait l'aaire pour n'importe quel h ∈ Rn non
nul.
(c) Si h est constante égale à λ alors pour toute fonction f ∈ E on a par linéarité
i=1
∂f
(tx) dt
∂xi
Soit K un compact de R .
∂f
(tx) sont continues sur
Toutes les dérivées partielles en x de (x, t) 7→ ∂x
i
K × [0 ; 1] donc bornées.
Par domination
R 1 ∂f sur tout compact, on∞ peut armer que la fonction
fi : x 7→ 0 ∂x
(tx) dt est de classe C .
i
(e) Notons pi : x 7→ xi .
Par linéarité de d, on a
et d'autre part
En simpliant par λ et en faisant λ → 0 , on obtient f (x) = `(x).
Ainsi, l'application f est linéaire.
xi
n
i=1
On en déduit
ϕ0 (t) dt
ϕ(1) = ϕ(0) +
f (λx) = f (0) + `(λx) + o(λ kxk)
f (λx) = λf (x)
1
Z
0
1
∂f
∂f
(0) dt =
(0)
∂xi
∂xi
on obtient
∀f ∈ E, d(f ) =
n
X
i=1
ai
∂f
(0)
∂xi
(f) L'application qui à h ∈ Rn associe dh est donc une surjection de Rn sur D.
Cette application est linéaire et aussi injective (prendre f : x 7→ (h | x) pour
vérier dh = 0 =⇒ h = 0) c'est donc un isomorphisme et
dim D = n
d(f h) = λd(f )
et par dénition des éléments de D,
d(f h) = f (0)d(h) + λd(f )
En employant une fonction f ne s'annulant pas en 0, on peut armer
d(h) = 0.
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