Université “François Rabelais” de Tours L2 Sciences de la Matière 2016–2017

Université “François Rabelais” de Tours
L2 Sciences de la Matière 2016–2017
Modélisation, Simulations, Outils Informatiques
TD1 : Intégration numérique : Le mouvement hyperbolique et la structure de
l’atome selon Rutherford
On cherche à comprendre le raisonnement derrière l’expérience de Rutherford. La modélisation
consiste à étudier le mouvement d’une sonde chargée, avec masse m et charge q, lorsque celle-ci
est déviée par une cible de charge Q et masse M . On travaille dans le référentiel où la cible est
au repos et la sonde est tellement plus légère que la cible que l’on pourra assimiler la masse
réduite à celle de la sonde et prendre la masse de la cible comme infinie.
Alors la sonde bouge dans le potentiel “effectif”, Veff (r)
Veff (r) =
L2
qQ
+
4πε0 r 2mr2
(1)
où L = ||L|| est la norme du moment cinétique, que l’on représente comme L = mv∞ b, où v∞
est la vitesse de la cible à l’infini, reliée à l’énergie de celle-ci par la relation
1 2
E = mv∞
2
(2)
et b le “paramètre d’impact”. On cherchera à exprimer les résultats en termes de E et de b.
Alors l’on montre que la trajectoire de la sonde peut être déduite par le calcul suivant :
r
r Z r
2
dr
dr
2
m
du
1
p
+ Veff (r) ⇔
=
(E − Veff (r)) ⇔ t − t0 =
E= m
2
dt
dt
m
2 r0
E − Veff (u)
dφ
L
L
dt
L
dr
p
L = mvr = mr2
⇔ dφ =
dt =
dr = √
⇔
2
2 dr
2
dt
mr
m
r
2m
r
E
−
V
(r)
eff
Z r
L
du
p
φ − φ0 = √
2
2m r0 u E − Veff (u)
(3)
Cette dernière équation exprime l’équation de la trajectoire en coordonnées polaires.
Pour le cas du potentiel Coulombien étudié ici ces intégrales peuvent être exprimées en
termes de fonctions élémentaires, donc on peut les utiliser pour tester la validité des méthodes
numériques d’intégration. On emploiera la méthode de Simpson. 2
1. Calculer φ(r) ⇔ r(φ) et montrer que c’est une conique : une ellipse, parabole ou hyperbole. On se placera désomais dans le cas du mouvement hyperbolique.
1
2. Calculer φ comme fonction de l’énergie E et du paramètre d’impact b et déterminer la
section efficace
b db dσ
=
dχ
(4)
dΩ
sin χ dχ où χ = π − 2φ est l’angle de déviation.
3. Montrer que la section efficace n’est pas sensible au fait que la sonde soit attirée ou
repoussée par la cible.
4. Discuter comment Rutherford a pu déterminer que la taille de la densité de charge
positive de la cible était plus petite que la taille de charge négative.
2