Les nombres premiers hyperboliques et la conjecture

Les nombres premiers hyperboliques et
la conjecture de Goldbach
Hughes Moreau
Superviseur : Prof. Dominic Rochon
Université du Québec à Trois-Rivières
Remerciements
Nombres premiers
Je remercie mon professeur et directeur de recherche
Dominic Rochon qui m’a grandement aidé, les élèves
avec lesquels j’ai discuté de mon projet, ainsi que
l’UQTR de me permettre de me développer en tant
qu’étudiant des cycles supérieurs.
Un nombre est premier s’il n’a que 1 et lui-même comme diviseurs. Les premiers de la liste sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17…
Un nombre est composé s’il a un diviseur différent de 1 et de lui-même. Il y a des ensembles de nombres différents
des réels, mais qui les incluent à la fois : les complexes, les hyperboliques, etc. Fait surprenant : dans les complexes,
le nombre 5 est composé, mais 3, 7 et 11 restent premiers. Dans les hyperboliques, seulement 2 est premier, aucun
autre nombre entier ne l’est. Dans le but de trouver les nombres premiers, la théorie des nombres a été étudiée en
lien avec les ensembles choisis. De la façon dont on définit les nombres premiers hyperboliques, on retrouve une
conjecture très intéressante qui les relie aux nombres réels : la conjecture de Goldbach.
Références
De Koninck, J.-M., & Mercier, A. (1994). Introduction à la théorie des
nombres. (Modulo, Ed.). Mont-Royal (Québec).
Wagon, S. (1991). Mathematica in action. (W. H. Freeman and Company).
New York (USA).
Shapiro, M., Struppa, D. C., Vajiac, A., & Vajiac, M. B. (2012). Hyperbolic
numbers and their functions. Fasc. Matematica, XIX(1), 265–283.
Sobczyk, G. (1995). The hyperbolic number plane. The College
Mathematics Journal, 26(4), 268–280. http://doi.org/10.2307/2687028
Complexes
Hyperboliques triviaux
Hyperboliques non triviaux
Goldbach
Les complexes sont de la forme 𝒛 = 𝒙 + 𝒚𝒊 , où
𝑥, 𝑦 ∈ ℝ et 𝒊𝟐 = −𝟏. Ils forment un corps. On retrouve
les réels si 𝑦 = 0 . Le module est exprimé par
𝑧 = 𝑥 2 + 𝑦 2 , qui n’est nul autre que la relation de
Pythagore. Comparativement aux réels qui n’ont que
deux unités, 1 et −1, les complexes en ont quatre :
1, −1, 𝑖, −𝑖. Une unité est abrégée par le symbole 𝐼. Un
associé d’un nombre 𝑧 est un nombre 𝑤 qui respecte
𝑧 = 𝑤𝐼. On se restreint aux entiers de Gauss 𝔾, où
𝑥, 𝑦 ∈ ℤ. Les premiers complexes sont 𝑧 ∈ 𝔾 tels que :
1) 𝑧 (ou 𝑖𝑧) est un entier premier congru à 3 modulo
4; 2) 𝑧 2 est un entier premier sans que 𝑧 soit un
associé d’un entier premier.
Les hyperboliques sont de la forme 𝒛 = 𝒙 + 𝒚𝒋, où
𝑥, 𝑦 ∈ ℝ et 𝒋𝟐 = 𝟏. Ils forment un anneau unitaire
commutatif. On retrouve les réels si 𝑦 = 0. Les unités
sont 1, −1, 𝑗, −𝑗. On a une base idempotente qui rend
1+𝑗
1−𝑗
∗
les calculs intuitifs en prenant 𝑒 =
et 𝑒 =
.
2
2
Ainsi, 𝑥 + 𝑦𝑗 = 𝑥 + 𝑦 𝑒 + 𝑥 − 𝑦 𝑒 ∗ = 𝛼𝑒 + 𝛽𝑒 ∗ .
L’addition et la multiplication sont 𝑧1 + 𝑧2 =
𝛼1 + 𝛼2 𝑒 + 𝛽1 + 𝛽2 𝑒 ∗ et 𝑧1 𝑧2 = 𝛼1 𝛼2 𝑒 + 𝛽1 𝛽2 𝑒 ∗ .
Comme dans les complexes, on se restreint aux
entiers ℤ 𝑗 , 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ, c’est-à-dire 𝛼 et 𝛽 sont de même
parité. Les premiers hyperboliques triviaux sont : 2,
2𝑘 𝑒 + 2𝑒 ∗ , 2𝑒 + 2𝑘 𝑒 ∗ , 𝑝𝑒 + 1𝑒 ∗ et 1𝑒 + 𝑝𝑒 ∗ et leurs
associés, où 𝑘 ∈ ℕ∗ \{1} et 𝑝 est un premier impair.
Le module hyperbolique est 𝑧 𝑗 = 𝑥 2 − 𝑦 2 . On se
restreint à l’ensemble suivant :
⋈ = {𝑧 = 𝛼𝑒 + 𝛽𝑒 ∗ ∶ 𝑧 𝑗 > 0 et 𝛼, 𝛽 ∈ ℤ\{−1,1}}.
On définit les hyperboliques non triviaux : ℙ =
𝑧 = 𝛼𝑒 + 𝛽𝑒 ∗ ∶ 𝛼 et 𝛽 sont des entiers premiers .
Dans les non triviaux, on se concentre sur les
diviseurs qui appartiennent à ℙ et non dans ℤ 𝑗 au
complet. Les premiers hyperboliques non triviaux sont
tous les nombres de l’ensemble ℙ. En fait, ceux-ci sont
les seuls à admettre dans l’ensemble ⋈ uniquement
eux-mêmes et leur associé comme diviseurs
appartenant à ℙ.
Christian Goldbach, mathématicien russe, a écrit à
Euler et lui a introduit sa conjecture : tout nombre pair
supérieur à 2 peut s’écrire comme la somme de deux
nombres premiers. Cette conjecture était rédigée dans
une lettre envoyée en 1742. Non démontrée, elle a
toutefois été vérifiée pour les nombres pairs
inférieurs à 4 × 1018 .
Résultat
Théorème : La conjecture de Goldbach est vraie si et
seulement si 𝑅𝑒 ℙ = ℤ\{−1,0,1}.
On regarde la composante 𝑥 (colonne). Les
hyperboliques peuvent être représentés par la
𝛼+𝛽
𝛼−𝛽
relation suivante : 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑗 =
+
𝑗. Or,
𝛼+𝛽
2
2
2
𝑅𝑒(𝑧) =
= 𝑥 implique 𝛼 + 𝛽 = 2𝑥 . En d’autres
mots, par la conjecture de Goldbach, il existe un 𝑧 ∈ ℙ
pour tout 𝑥 ∈ ℤ\{−1,0,1} . Il existe néanmoins un
𝑧 ∈ ℙ pour tout 𝑥 jusqu’à 2 × 1018 .
Conclusion
Les nombres premiers non triviaux semblent aussi
s’adapter à la conjecture symétrique de Goldbach : la
conjecture de Polignac. Celle-ci dit que tout nombre
pair est la différence de deux nombres premiers
consécutifs. À la place de regarder la composante 𝑥
(colonne), on regarde la composante 𝑦 (ligne).
Les premiers complexes
Les premiers hyperboliques triviaux
Les premiers hyperboliques non triviaux