(TD.1)

UFR Sciences et Techniques
Année 2007-2008
Master 1 de Mathématiques L3
Statistiques
Feuille de TD no 1
Simulation d’une loi de probabilité
Exercice 1
1) Démontrer que le 13-échantillon : 0 1 1 2 2 1 2 2 0 0 1 2 0, obtenu au paragraphe 2.6. du
cours est bien un 13-échantillon observé de la loi discrète
i
0
1
2
3
P(X=i) 1/8 3/8 3/8 1/8
2) Même question concernant l’échantillon 0 1 1 1 2 1 2 3 2 2 2 1 2 2 1 obtenu par la deuxième
méthode.
Exercice 2
1) Soit U une variable aléatoire de loi uniforme sur [0, 1]. Trouver la loi de X = − ln U (on
remarquera que X est à valeurs positives).
2) En déduire une procédure pour réaliser un n-échantillon de la loi exponentielle de paramètre λ > 0 à partir d’un générateur de la loi uniforme sur [0, 1].
Exercice 3
1) Soient E et Θ deux variables aléatoires indépendantes et de loi respectives la loi exponentielle de paramètre 21 et la loi uniforme sur [0, 2π]. Montrer que les variables aléatoires
définies par
√
√
X = E cos Θ et Y = E sin Θ,
sont deux variables aléatoires indépendantes et de même loi normale N (0, 1). (indication :
calculer la loi du couple (X, Y )).
2) En déduire comment à partir de 2 variables aléatoires indépendantes U et V de loi uniforme
sur [0, 1], on peut obtenir 2 variables aléatoires normales N (0, 1) indépendantes.
3) Utiliser une table de nombres au hasard pour simuler un 10-échantillon issu de la loi
N (0, 1).
Remarque : La méthode précédente (algorithme de Box et Müller) est utilisée dans les
logiciels informatique comme générateur de la loi N (0, 1).
Exercice 4
Dans un pile ou face on appelle «série», toute suite maximale de piles consécutifs ou de faces
consécutifs. Par exemple si on joue 20 fois à pile ou face et qu’on obtient :
00011100110111001100,
on observe 9 séries c’est à dire 9 blocs formés d’un même chiffre (5 séries constituées de 0
(face) et 4 séries constituées de 1 (pile)).
On effectue n lancers et soient X1 , X2 ,...,Xn les résultats obtenus. On suppose les Xk i.i.d.
et de loi donnée telle que P(Xk = 1) = P(Xk = 0) = 1/2 (i.e. la pièce est équilibrée). Soit N
la variable aléatoire nombre de séries dans la suite X1 , X2 ,...,Xn des n lancers.
Pour i = 2, 3, . . . , n, on considère la variable indicatrice
Yi = 1[Xi−1 6=Xi ] ,
qui prend la valeur 1 si Xi−1 6= Xi et 0 si Xi−1 = Xi .
1) Vérifier que
N = 1 + Y1 + Y2 + · · · + Yn .
et V ar(N ) = n−1
.
2) Démontrer que E(N ) = 1 + n−1
2
4
3) 0n lance 20 fois une pièce supposée équilibrée et on obtient :
11111000001111100000.
En utilisant l’inégalité de Bienaymé-Tchebichev, montrer que ce résultat fait suspecter que
la pièce est truquée. Monter qu’il en est de même si on obtient le résultat
10101010101010101010.
4) Si la pièce est telle que P(Xk = 1) = p et P(Xk = 0) = q = 1 − p, montrer que
E(N ) = 1 + 2(n − 1)pq et V ar(N ) = 2pq[2n − 3 − 2pq(3n − 5)].