PCSI2 - Programme de kholle : colle 30 #A

PCSI2 - Programme de kholle : colle 30
Chapitre 22 : Probabilité
#A
).
#Ω
Propriétés élémentaires, croissance de P. Définition de P sur Ω par la donnée des pi = P ({ωi }) où Ω = {ω 1 , · · · , ω n }.
Probabilités totales P (B) =
P (B ∩ Ai ) où (Ai )i∈I est un SCE (système complet d’événements).
Vocabulaire, événeménts, incompatibilité. Définition d’une probabilité sur Ω fini. Probabilité uniforme (P (A) =
i∈I
Probabilités conditionnelles, définition, l’application PB : A −→ PB (A) est une probabilité sur Ω. Formule des probabilités
composées. Formules des probabilités totales version conditionnelle. Formules de Bayes. Indépendance : couple d’événements,
indépendances mutuelles.
Chapitre 23 : Espaces euclidiens
Définition d’une forme biliniéaire. Forme symétrique, positivité. Forme définie positive. Produits scalaires. Exemples
usuels. Inégalité de Cauchy-Schwarz. Orthogonalité, définition de vecteurs orthogonaux. Procédé de Gram-schmidt (j’ai à
peine abordé les projections orthogonales)
◮
Une guêpe entre par inadvertance dans un appartement composé de deux pièces A et B. A l’instant t = 0 elle
est dans la pièce A. Elle évolue alors ainsi : si à l’instant n elle est :
1
2
1 dans la pièce A, elle y reste avec une probabilité égale à
et passe en B avec une probabilité égale à .
3
3
1
1
2 dans la pièce B, elle y reste avec une probabilité égale à , passe en A avec une probabilité égale à et quitte l’appatement
2
4
1
avec une probabilité égale à .
4
Une fois sortie de l’appartement, la guêpe n’y revient plus.
On note An , Bn et Cn les événements ”La guêpe est à l’instant n dans la pièce A” · · · (je laisse au lecteur le soin de deviner
ce que sont Bn et Cn ),et an = P (An ) , · · ·
1. Donner les valeurs de a0 , b0 , c0 . Exprimer an+1 , bn+1 et cn+1 en fonction de an , bn et cn . Comparer an+1 et bn+1 .
2. Montrer que la suite (un )n∈N définie par un = 4an +3bn est géométrique, et que la suite (vn )n∈N définie par vn = 2an −bn
est constante à partir d’un certain rang. En déduire, pour n ≥ 1 la valeur de an , bn et cn en fonction de n. Interpréter
lim cn .
n→+∞
Un livre contient 4 erreurs, numérotées de 1 à 4, et est relu par une suite de relecteurs pour correction. A chaque
1
relecture, chaque erreur est corrigée avec une probabilité . Les erreurs sont corrigées de manière indépendante les unes des
3
autres, et les relectures sont indépendantes les unes des autres.
◮
1. Quelle est la probabilité que l’erreur numéro 1 ne soit pas corrigée à l’issue de la n-ième lecture ?
2. Quelle est la probabilité que le livre soit entièrement corrigé à l’issue de la n-ième lecture ? Combien faut-il de relectures
pour que cette probabilité soit supérieure à 0.9 ?
→
→
→
→
◮
Pour E = R2 , −
u = (x, y), −
v = (x′ , y ′ ), et le produit scalaire (−
u |−
v ) = 2xx′ + 5yy′ − xy ′ − x′ y, donner une base
orthonormée construite à partir de la base canonique. On commencera par prouver que l’on a bien un produit scalaire sur
R2 .
1
◮
P (t) Q (t) dt. Othogonaliser la famille 1, X, X 2
Soit E = R3 [X] muni du produit scalaire (P | Q) =
−1
Merci à tous, khôlleurs et khôllés !!
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