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Rapport Projet I3
Sujet N°1
22/06/2004
BRADU Benjamin
AYACHE Benjamin
TANQUEREL Charles
Tuteur : Laurent Baroux
32 pages
Simulation du comportement d’un traceur sanguin
dans le réseau vasculaire cérébral
?
SOMMAIRE
Introduction ...................................................................................... 2
Cahier des charges ............................................................................ 2
1 – Hémodynamique ......................................................................... 3
2 – Modélisation de l’écoulement sanguin et du traceur ............... 6
3 – Influences des caractéristiques du sang et des vaisseaux
sanguins sur l’écoulement .............................................................. 13
Conclusion ....................................................................................... 23
Bibliographie................................................................................... 24
Table des Matières .......................................................................... 25
Annexe : Présentation et utilisation de Femlab............................. 26
Remerciements ................................................................................ 31
Rapport Projet I3 – 2004
Simulation du comportement d’un traceur sanguin dans le réseau vasculaire cérébral
1
Introduction
Cette étude consiste à simuler sous le logiciel Femlab le comportement d’un traceur sanguin
utilisé pour certaines techniques d’imagerie IRM lors de son passage dans les artères
cérébrales. Le traceur est injecté en embole dans une veine du bras pour ensuite se répandre
dans tout le système vasculaire. On s’intéresse ici à la diffusion du traceur dans les artères et
dans l’encéphale pour en extraire des paramètres quantitatifs de la perfusion cérébrale. Ceci
permettant, avec les images IRM du cerveau, de caractériser l’irrigation des tissus cérébraux
et de détecter ainsi des zones sur-vascularisées synonymes de tumeurs ou de maladies
cérébrales.
La circulation sanguine est très complexe, elle dépend d’un grand nombre de paramètres et
fait appel à de nombreux domaines comme la mécanique des fluides, la biophysique et la
résistance des matériaux. En effet, il n’existe pas réellement en IRM de perfusion de modèle
pour établir les relations entre les principaux paramètres physiologiques que sont le flux
sanguin cérébral, le volume sanguin cérébral et le temps de transit moyen du traceur avec les
données recueillies par l’IRM [9]. De telles simulations sont nécessaires pour valider les
modèles mathématiques existants. On constate, dans la réalité, que le traceur privilégiera
certaines directions à cause de la géométrie complexe du système vasculaire et des profils de
vitesses. Une caractérisation analytique du problème est impossible et nous avons donc
recours aux simulations numériques pour interpréter certains résultats d’IRM.
Nous modéliserons le problème sur deux dimensions en assimilant les conduites que
constituent les vaisseaux sanguins à des rectangles représentant une coupe longitudinale du
vaisseau. Nous négligerons donc la 3ième dimension étant donné que les écoulements dans les
conduites cylindriques sont des problèmes à symétrie radiale et qu’il y a ainsi une invariance
radiale. De plus, pour modéliser les ramifications des vaisseaux, nous utiliserons des modèles
simples de bifurcations ne reflétant pas la réalité complexe de la géométrie qui constitue le
système artériel.
Nous avons, dans un premier temps, établi un modèle de la circulation sanguine pour pouvoir
ensuite simuler l’évolution du traceur dans le sang. Cela nous permis d’étudier l’influence de
plusieurs paramètres sur l’évolution de la concentration du traceur. Les paramètres principaux
sont la viscosité du sang qui est un fluide non-newtonien, le rythme cardiaque qui contrôle la
circulation sanguine, les géométries diverses des vaisseaux sanguins et l’élasticité des
vaisseaux qui détient un rôle majeur dans la circulation. Ce dernier point sera uniquement
survolé théoriquement et n’interviendra pas dans les simulations à cause de sa complexité.
Cahier des charges
Descriptif de l’étude
Pour certaines techniques d’imagerie IRM encéphalique, on utilise un agent de contraste
magnétique (traceur), injecté en embole au niveau d’une veine du bras. Ce traceur se mélange
au sang au fur et à mesure de son parcours du bras aux artères alimentant l’encéphale, aux
artérioles, lors de sa diffusion à travers le réseau capillaire cérébral et enfin aux veines
collectrices. Pour ressortir, à partir des images IRM enregistrées lors du passage du traceur,
des paramètres physiologiques pertinents (volume sanguin cérébral et débit sanguin cérébral)
caractérisant la zone tissulaire observée (vascularisé par le traceur), il est nécessaire de
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2
disposer d’un modèle comportemental du sang. Le projet consiste à réaliser sous le logiciel de
simulation multiphysique Femlab une étude visant à disposer d’un certain nombre de
simulations qui permettront d’extraire au minimum un modèle comportemental.
Cette étude doit déboucher sur la caractérisation des effets d’un grand nombre de paramètres
du problème :
• viscosité
• élastance, diamètres, longueurs et ramification des vaisseaux
• profil de vitesse du sang
• etc.
Commentaire du cahier des charges
L’élastance des vaisseaux sanguins n’a pas été prise en compte lors des simulations car son
étude est trop complexe pour rentrer dans le cadre de ce projet et pourrait faire l’objet d’un
projet à part entière. Nous aborderons uniquement le concept de l’élastance de manière
théorique dans l’hémodynamique.
1 – Hémodynamique
1.1 – Equation de Navier-Stockes appliquée à l’écoulement
sanguin et profils de vitesses
L’écoulement sanguin est régi par les équations de la mécanique des fluides. L’équation aux
dérivées partielles régissant ce type de problème pour un fluide incompressible comme le
sang est l’équation de Navier-Stockes [0] :
r
r
rT
r r
r
 ∂V
ρ
.
−
∇
.
µ
.(
∇
.
V
+
(
∇
.
V
)
)
+
ρ
(
V
.
∇
).
V
+
∇
.
p
=
F

∂t
 r

∇ .V = 0
ρ représente la masse volumique du fluide en kg/m3
r
V représente le vecteur vitesse du fluide en m/s
µ représente la viscosité du fluide en Pa.s = kg/ms
pr
représente la pression du fluide en Pa
F représente une force de volume exercée sur le fluide en N
r
La condition ∇ .V = 0 traduit l’incompressibilité du fluide.
L’écoulement du sang dans les vaisseaux sanguins peut être considéré comme laminaire.
L’écoulement peut être turbulent dans certaines régions précises de l’aorte près du cœur
uniquement ou lors d’efforts chez un sujet qui voit son rythme cardiaque augmenter.[2].
La résolution de l’équation de Navier-Stockes dans un tube cylindrique pour un écoulement
laminaire donne un profil de vitesse parabolique [2] comme le montre la figure1.a. Si les taux
de cisaillement sont importants, on observe un profil de Casson [1] comme le montre la figure
1.b.
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Figure 1.a : Profil parabolique des vitesses
Figure 1.b : Profil de Casson des vitesses
Ces profils de vitesses montrent que, lors du passage du traceur, celui-ci se propagera plus
vite au centre des vaisseaux et que son évolution sera différente selon les vaisseaux observés.
Les taux de cisaillement importants sont généralement observés dans les vaisseaux sanguins à
diamètre important. Nous avons observé lors de nos simulations sous Femlab des profils de
Casson dans l’aorte et des profils paraboliques dans des vaisseaux secondaires où les
diamètres sont nettement plus faibles.
1.2 – Débit
Le débit sanguin moyen est, en vertu du principe de conservation de l’énergie, conservé.
L’arbre de circulation étant composé de nombreuses ramifications, la surface irriguée
augmente significativement et ainsi, la vitesse du sang diminue lorsque l’on s’éloigne du cœur
comme le montre la figure 2.a. Les principales caractéristiques des différents types de
vaisseaux sont récapitulées dans la figure 2.b. On rappelle l’expression du débit volumique :
r r
qv = ∫
v
∫ ⋅dS où Σ représente une section du vaisseau.
Σ
Figure 2.a : Evolution des surfaces irriguées et
des vitesses lors du parcours du sang [2]
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Type de vaisseau Rayon(cm)
Aorte
1,25
Artères
0,2
Artérioles
1,5.10-3
Capillaires
3.10-4
Veinules
1.10-3
Veines
0,25
Veine cave
1,5
Nombre
1
159
5,7.107
1,6.1010
1,3.109
200
1
Aire (cm²)
4,5
20
400
4500
4000
40
18
Vitesse moyenne (m/s)
0,3
6,7.10-2
3,4.10-3
3.10-4
3.10-4
3,3.10-2
7,5.10-2
Figure 2.b : Caractéristiques principales des différents types de vaisseaux [12]
On notera que cette chute de vitesse et cette augmentation de surface irriguée ne pourront être
prises en compte lors des simulations sous Femlab car nous ne pouvons pas modéliser tous les
vaisseaux. On étudiera donc de petites portions de l’arbre circulatoire.
1.3 – Elastance des vaisseaux
L’aorte et les principales artères du réseau vasculaire sont composées d’endothélium, de
collagène, d’élastine et de fibres musculaires. Ce sont les fibres musculaires, l’élastine et le
collagène qui contribuent à l’élasticité des vaisseaux avec des modules d’Young respectifs de
l’ordre de 50, 103 et 106 au repos. Lors d’une pulsation cardiaque, la pression interne des
vaisseaux varie et cette variation de pression entraîne une contraction ou une dilatation du
diamètre du vaisseau selon la loi de Laplace :
T
∆P =
r
où ∆P représente la différence de pression, T la tension exercée sur la paroi et r le diamètre du
vaisseau. De plus, on peut définir la tension à l’aide de la loi de Hook :
r − r0
T = γ ⋅e ⋅
r
où γ représente le module d’Young, e l’épaisseur de la paroi du vaisseau, r le rayon effectif
du vaisseau et r0 le rayon en l’absence de différence de pression entre l’intérieur et l’extérieur
du vaisseau. La figure 3 illustre la relation tension-rayon pour une artère mixte faisant
intervenir les trois modules d’Young [13].
Figure 3 : Diagramme tension-rayon d’une artère mixte
Pendant la systole, l’artère a donc tendance à se distendre (le débit et la pression augmentent)
alors que pendant la diastole elle se contracte (débit quasi-nul) comme le montre la figure 4.
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Cette déformation entraîne la propagation d’une onde pulsatile qui se propage à environ 4m/s
[13] : c’est le pouls que l’on peut ressentir au niveau des poignets ou du cou.
Flux sanguin
Artère au repos
Artère pendant la systole
Artère pendant la diastole
Figure 4 : Variation du rayon
lors de la pulsation cardiaque
On observe en sortie des gros vaisseaux une atténuation du débit sanguin qui tend à
s’uniformiser pour devenir constant dans les artérioles et les capillaires [13].
Pour pouvoir calculer et simuler cette élastance, il faut disposer d’un grand nombre de
paramètres variant selon les individus. Une étude a été publiée sur l’influence de l’âge, de la
cigarette et d’autres facteurs modifiant l’élasticité des vaisseaux pour prévenir certaines
maladies cardio-vasculaires [11]. On peut alors constater d’importantes modifications et un
modèle unique ne peut alors exister.
Cette élastance entraîne également des modifications sur la viscoélasticité du sang car la
mobilité des parois ajoute des contraintes sur le fluide.
2 – Modélisation de l’écoulement sanguin et du traceur
Dans cette section, nous allons décrire les différents modèles que nous avons utilisés
pour réaliser nos simulations sous Femlab. Nous citerons les constantes et les conditions aux
limites utilisées ainsi que les approximations faites pour évaluer les erreurs commises.
2.1 – Sang
2.1.1 – Composition
Le sang est un fluide visqueux incompressible complexe composé d’un plasma et de cellules.
Le plasma est composé de 91% d’eau, de 8% de protéines (albumine, fibrinogène et
globuline) et de 1% d’ions, de nutriments et de gaz. Les cellules sont des globules rouges
(95%) des globules blancs (5%). Les globules rouges étant largement majoritaires on pourra
négliger l’influence des globules blancs [1].
Dans notre modèle la masse volumique du sang sera de 1050 kg/m3, masse volumique
généralement observée chez un individu normal [6].
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2.1.2 – Viscosité
Il existe 2 types de fluides : les fluides newtoniens et les non-newtoniens. Un fluide est
newtonien lorsque son taux de cisaillement ( γ&) est proportionnel à la contrainte exercée sur le
fluide. Si l’on trace la contrainte par rapport au taux de cisaillement, avec la pente on obtient
la viscosité du fluide ( µ ). Ainsi dans ce cas :
µ = K ⋅&
γ avec K = cste
Si on considère le sang comme newtonien, la viscosité chez un sujet normal peut être évaluée
à 3,65 10-3 Pa.s [6] pour des taux de cisaillement important.
Pour un fluide non-newtonien, cette viscosité n’est pas proportionnelle au taux de cisaillement
mais décrit une courbe particulière qui dépend du taux d’hématocrite (globules rouges). Un
être normal possède un taux d’hématocrite de 45%. On a ainsi :
µ = f (γ&
)
Cela entraîne un phénomène de viscoélasticité sur le fluide (variation de l’élasticité et de la
viscosité du fluide). Le sang est un fluide non-newtonien à cause des globules rouges qui ont
tendance à se déformer, à tourner sur eux-mêmes et à s’agglutiner de différentes manières lors
des pulsations cardiaques avec les profils de vitesses (voir figure 5).
Figure 5 : Illustration de l'effet de rotation des globules rouges [2]
Il existe plusieurs modèles mathématiques de la viscosité pour approcher cette viscoélasticité.
Nous avons choisi d’utiliser le modèle de Carreau-Yasuda qui est généralement utilisé pour
modéliser la viscosité du sang.
L’ expression de la viscosité (µ) selon le modèle de Carreau-Yasuda est:
µ0 − µ∞
[3]
µ (γ&
) = µ∞ +
(1 + (λ.γ&
)b ) a
Valeurs des paramètres pour le sang chez un individu normal :
a = 1,23 : constante,
b = 0,64 : constante,
λ = 8s : temps caractéristique,
µ0 = 1, 612 ⋅10−1 Pa.s : représente la viscosité lorsque le taux de cisaillement est nul ,
µ∞ = 3, 65 ⋅10−3 Pa.s : représente la viscosité lorsque le taux de cisaillement est infini
Femlab utilise l’expression ci-dessous pour calculer le taux de cisaillement
(Vx et Vy représentent les composantes de la vitesse selon x et y) :
2
1
∂Vx ∂Vx ∂Vy
γ&=
.4.
+
 ∂y + ∂x
2  ∂x


2

∂Vy 

 + 4.

∂y 


2
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La viscosité mesurée expérimentalement chez un sujet normal concorde avec la viscosité de
ce modèle lorsque les taux de cisaillement changent : [4]
100
Viscosité (Pa.s)
Viscosité mesurée chez un individu
avec un taux d’hématocrite de 45%
10-1
Viscosité selon Carreau-Yasuda
10-2
10-3
Taux de cisaillement (s-1)
Figure 6 : Evolution de la viscosité selon le taux de cisaillement
2.2 – Vaisseaux sanguins
Les vaisseaux sanguins définissent le parcours du sang dans le corps humain. Ce système très
complexe peut se schématiser de manière simple :
On peut décomposer le système sanguin en deux sous-systèmes auxiliaires :
le système artériel.
le système capillaire.
2.2.1 – Système artériel
Dans ce système, on peut distinguer deux types de vaisseaux différents : l’aorte et les artères.
L’aorte représente le plus grand canal de tout le corps humain, elle est reliée directement au
cœur. Elle peut être modélisée par un cylindre de 1,25 cm de rayon. Le débit sanguin dans
l’aorte est d’environ 6 L/min, ce qui se traduit par une vitesse moyenne de 30 cm/s.
Les artères ont un diamètre de 0,2 cm et irriguent une surface totale de 20 cm², en raison du
grand nombre de ramifications.
On peut observer sur la figure 7 les principales artères qui composent le système artériel.
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Figure 7 : Artères principales du système artériel [12]
Le cerveau est irrigué par 4 artères principales : 2 artères carotides en avant et 2 artères
vertébrales en arrière. Le débit du sang dans les tissus cérébraux est d’environ 40 ml/min pour
100g de tissu [2]. Une carotide irrigue environ 400g de tissu, son débit est donc de
160ml/min.
Q
Le rayon de la carotide étant de 0,25 cm, on obtient une vitesse moyenne v = = 0,13m / s
S
Dans notre cas, nous ne simulerons que les artères qui montent vers le cerveau comme le
montre la figure 8. Nous prendrons comme base du circuit circulatoire un tronc aux
dimensions de l’artère carotide primitive.
Figure 8 : Schéma des artères reliant le cœur au cerveau [8]
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L’aorte sera modélisée en deux dimensions par un rectangle de 1,25 cm de hauteur et 15 cm
de longueur (Figure 9.a) et la carotide sera modélisée par un rectangle de 10 cm de long et de
diamètre 0.5 cm (Figure 9.b).
2,5 cm
15 cm
Figure 9.a : Modèle géométrique de l’aorte défini sous Femlab
0,5 cm
10 cm
Figure 9.b : Modèle géométrique de la carotide défini sous Femlab
Pour les ramifications de l’aorte et des artères, nous utiliserons de simples bifurcations
comme le montre la figure 11. Il est impossible de modéliser exactement ces ramifications qui
sont complexes et qui se répartissent dans un réseau en 3 dimensions.
S1
S
S2
Figure 10 : Modèle géométrique d’une ramification sous Femlab
Remarque : Dans la réalité, la surface irriguée augmente avec les ramifications de façon
importante, ie S1 + S2 >> S.
Les vitesses de sorties Vs1 et Vs 2 doivent donc être inférieures à Vs .
Or, il nous est impossible de simuler cette chute de vitesse dans notre cas, c’est pourquoi il
nous faudra tenir compte de ce problème.
2.2.2 – Système Capillaire
Le réseau capillaire permet les échanges gazeux entre le sang et les différents tissus ou le
milieu extérieur.
Dans notre cas, le type de capillaire utilisé est le capillaire discontinu [2] qui permet les
transferts concernant les globules rouges (les autres types de capillaires : continu et fenestré
ne nous concernant pas directement).
Les capillaires forment d’habitude un réseau parallèle entre l’extrémité d’une artériole et
l’origine d’une veinule, comme on peut le remarquer dans la figure 11. Mais ici, nous
simulerons ces capillaires de la même façon que nous l’avons fait avec le système artériel,
mais avec les dimensions appropriées.
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Figure 11 : Réseau capillaire [2].
D’après les informations suivantes [2] :
• diamètre moyen : 4 – 8 µm,
• longueur de 0,04 à 0,2 cm,
• surface totale 4500 cm².
Nous ne pourrons modéliser qu’une infime fraction du réseau à cause de sa complexité.
2.3 – Rythme cardiaque
Le rythme cardiaque se décompose en deux phases : la diastole, lorsque la pression artérielle
est minimum (Pd), et la systole quand elle est maximum (Ps). La pression différentielle est la
différence de ces 2 pressions.
En général, Pd = 80 mmHg et Ps = 120 mmHg, donc la pression différentielle est de
40 mmHg (on rappelle que 1 mmHg correspond à 133 Pa). Ces variations de pression sont
synchrones à la fréquence cardiaque [2]. De plus la fréquence cardiaque est de l’ordre du
Hertz, ce qui équivaut à une pulsation par seconde.
Figure 12 : Evolution de la pression dans l’aorte [2]
Pour notre simulation, nous fixons la vitesse du sang entrant dans le vaisseau comme
condition initiale. Nous approcherons le rythme cardiaque par une fonction sinusoïdale de
fréquence f = 1 Hz (voir figure 13).
Pour l’aorte, la vitesse sera modélisée par : v(t ) = 0, 25 ⋅sin(2 ⋅π ⋅f ⋅t ) + 0,3 .
Pour l’artère : v(t ) = 0, 05 ⋅sin(2 ⋅π ⋅f ⋅t ) + 0,1
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0.7
Aorte
0.6
vitesse(m/s)
0.5
0.4
0.3
0.2
Artère
0.1
0
0
0.5
1
1.5
temps(s)
2
2.5
3
Figure 13 : Modélisation de la vitesse dans l’aorte et une
2.4 – Le traceur et ses modes de transport
La diffusion est un transport microscopique lié exclusivement aux différences de
concentration.
Si un corps dissout n’a pas au départ une concentration homogène dans un mélange fluide (ici
le sang), il se déplace spontanément des endroits où il est le plus concentré vers ceux où il est
le moins concentré, de sorte à tendre vers une répartition homogène. [13]
La convection est le mouvement d’un fluide avec transport de chaleur sous l’influence de
différences de températures dans un milieu matériel dont les différentes parties sont en
mouvement les unes par rapport aux autres. Par milieu matériel, on entend
un fluide (gaz ou liquide) homogène et isotrope.
Il faut opérer à température uniforme dans tout le liquide pour éviter que les différences de
densité qui provoquent des mouvements de convection favorisant l’homogénéisation.
Dans notre cas, le sujet est supposé en bonne santé et sa température est d’environ 37,5°C, ce
qui vérifie la condition ci-dessus.
Le traceur doit avoir théoriquement le comportement suivant : [9]
le flux sanguin n’est pas altéré par le traceur,
le traceur et le sang sont parfaitement mélangés, la concentration est homogène,
le traceur circule à la vitesse du sang,
il n’y a pas de réaction chimique entre le traceur et le sang.
Ces hypothèses nous permettent de dire que le phénomène de diffusion du traceur est très
faible par rapport à celui de la convection. La diffusion n’a quasiment pas lieu puisque la
concentration est homogène et la diffusion est d’autant plus faible à côté de la convection qui
est due au transport du traceur par l’intermédiaire du flux sanguin.
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Remarque :
Nous nous occuperons ici seulement du phénomène de convection et de
diffusion. Pour l’étude auxiliaire (pression, viscosité, vitesse), se rapporter plus
haut.
Plusieurs données sont à paramétrer dans le module physique de convection-diffusion pour
définir le modèle du traceur.
Pour réaliser celui-ci, on couple deux modes sous femlab à l’aide du mode multiphysique. On
utilisera donc les modules Imcompressible Navier-Stockes et Convection and diffusion.
Dans le premier module, on paramètre les données du fluide comme précédemment avec :
• une vitesse v(t ) = 0, 25 ⋅sin(2 ⋅π ⋅f ⋅t ) + 0,3 à l’entrée de la section,
• une masse volumique ρ =1050 kg/m3,
• une viscosité µ =3,65 10-3 Pa.s,
• et une fréquence f = 1 Hz.
Puis dans le second mode, on introduit les caractéristiques physiques du traceur telles que les
coefficients de diffusion (appelé Di) et de réaction avec le fluide (noté Ri), l’évolution
temporelle de la concentration du traceur Ci(t), et les conditions aux limites (sous-menu
Boundary Mode).
On prendra Di = 1 ⋅10−4 et Ri = 0 pour répondre aux principes théoriques dans nos simulations.
3 – Influences des caractéristiques du sang et des vaisseaux
sanguins sur l’écoulement
Nous allons étudier l’influence qu’ont différents paramètres sur l’écoulement sanguin
et sur l’évolution du traceur dans le sang. Les différents paramètres étudiés sont :
• la viscosité du sang : fluides newtonien / non-newtonien,
• les vitesses aux différents endroits de l’arbre circulatoire,
• la géométrie des différents vaisseaux sanguins (artères, artérioles, capillaires) :
diamètres, longueurs, ramifications.
NB : L’élastance des vaisseaux sanguins ne sera pas prise en compte lors des différentes
simulations.
3.1 – Influence de la viscosité
Nous prenons comme modèle un tube rigide de 2,5cm de diamètre, de longueur 15 cm avec
une vitesse à son entrée telle que v(t ) = 0, 25 ⋅sin(2 ⋅π ⋅f ⋅t ) + 0,3 pour simuler le rythme
cardiaque. Nous avons effectué sous Femlab les mêmes simulations avec dans un cas une
viscosité fixe de 3,65.10-3 Pa.s et dans l’autre cas une viscosité selon le modèle de CarreauYasuda. Cela nous a permis d’évaluer l’influence sur la simulation de prendre un fluide
newtonien ou non- newtonien. On constate dans un premier temps que les profils de vitesses
sont les mêmes dans les simulations ainsi que l’évolution des vitesses (figures 14.a et14.b).
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0.6
Temps
0.5
0.3
0.2
0.45
0.4
vitesse (m/s)
0.4
0.35
0.3
0.25
0.1
0.2
0
0.1
0
0.005
0.01
0.015
Section (m)
0.02
0.025
0.03
0
0.5
1
1.5
temps
Figure 14.a : Evolution des profils de vitesses
Figure 14.b : Evolution de la vitesse
Nous avons également relevé que la viscosité dans le modèle non-newtonien est à peu près
uniforme dans le tube et constante durant le cycle cardiaque mais elle est en général nettement
supérieure à celle utilisée par le modèle newtonien (3,65.10-3 Pa.s). Cela est normal car la
viscosité optée pour le modèle newtonien correspond à une viscosité observée là où les taux
de cisaillement sont importants.
La résolution sous Femlab de ce modèle de manière paramétrique avec comme paramètre la
viscosité variant de 10-3 à 10-2 Pa.s de manière linéaire (figures 15.a et 15.b ).
0.4
90
0.35
85
0.3
taux de cisaillement (/s)
-0.1
0.15
vitesse (m/s)
Vitesse (m/s)
0.5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0.25
viscosite
0.2
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
0.007
0.008
0.009
0.01
0.15
0.1
0.05
80
75
70
65
60
0
0
0.005
0.01
0.015
section (m)
0.02
0.025
2
3
4
5
6
7
viscosite (Pa.s)
8
9
10
-3
x 10
Figure 15.a : Evolution des profils de
Figure 15.b : Evolution du taux de
vitesses
cisaillement
avec la viscosité
avec la viscosité
On constate que le changement de la viscosité entraîne peu de modifications
sur les profils de
vitesses et donc sur l’écoulement bien que les taux de cisaillement diminuent lorsque la
viscosité augmente. Nous pouvons donc négliger l’effet de la viscoélasticité du sang si la
simulation prend pour modèle un tube rigide. Cette viscoélasticité n’est en revanche plus à
négliger si l’on considère un tube élastique dans lequel le sang subit des contraintes
supplémentaires et donc de grandes variations des taux de cisaillement. Il faudra donc être
prudent sur nos futurs résultats qui ne tiendront pas compte de la viscosité car nous ne
simulerons pas l’élasticité des vaisseaux.
Rapport Projet I3 – 2004
Simulation du comportement d’un traceur sanguin dans le réseau vasculaire cérébral
14
3.2 – Influence de la géométrie des vaisseaux sanguins
Nous allons prendre comme modèle de base, pour évaluer l’influence de la géométrie, un tube
assimilé à un rectangle dans lequel circule le sang à vitesse constante (0,3 m/s). Comme la
vitesse est fixe, on résoudra les équations dans Femlab de manière stationnaire.
On notera L et D les longueur et diamètre respectifs du tube.
Figure 16 : Modèle de base de la simulation sous Femlab
Dans les paragraphes suivants, nous analyserons l’influence de différents paramètres
intervenant dans la circulation du sang.
3.2.1 – Longueur
On utilisera 3 longueurs différentes pour mesurer l’influence de la longueur sur l’écoulement.
On prendra La = 0,05m , Lb = 0,15m et Lc =0,3m pour un même diamètre D = 0.01m .
On observe sur la figure 17.a les résultats des simulations avec les profils de vitesses
correspondant sur la figure 17.b
Figure 17.a : Vitesses résultantes avec les 3 différentes longueurs
0.45
0.4
0.4
0.35
0.4
0.35
0.35
0.3
0.3
0.25
0.25
L=Lc
0.2
0.15
0.25
0.2
vitesse(m/s)
vitesse(m/s)
vitesse(m/s)
0.3
L=Lb
0.15
L=La
0.2
0.15
0.1
0.1
0.1
0.05
0.05
0.05
0
0
0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009
section(m)
0.01
0
0
0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009
section(m)
0.01
0
0
0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009
section(m)
Figure 17.b : Profil de vitesses pour L=Lc , L=Lb , L=Lc
Rapport Projet I3 – 2004
Simulation du comportement d’un traceur sanguin dans le réseau vasculaire cérébral
15
0.01
On constate que plus le tube est long, plus le profil est parabolique. Lorsque le tube est court
(L = La), on obtient un profil de Casson. Cela confirme la théorie selon laquelle le rapport
longueur
détermine le profil (parabolique ou de Casson).
diamètre
3.2.2 – Diamètre
On fera 3 simulations différentes pour appréhender l’influence du diamètre sur le
comportement du sang. On prend 3 diamètres caractérisant l’aorte, une artères et une
artériole : Da = 2,5cm , Db = 0,4cm et Dc = 30µm , avec L=0,15m :
0.45
0.35
0.45
0.4
0.4
0.3
0.35
0.35
0.25
0.3
D=Da
0.15
0.1
vitesse(m/s)
vitesse(m/s)
vitesse(m/s)
0.3
0.2
D=Db
0.25
0.2
0.25
D=Dc
0.2
0.15
0.15
0.1
0.1
0.05
0.05
0
0
0.005
0.01
0.015
section(m)
0.02
0.025
0
0.05
0
0.5
1
1.5
2
2.5
section(m)
3
3.5
4
4.5
-3
0
0
0.5
x 10
1
1.5
2
section(m)
2.5
3
3.5
-5
x 10
Figure 18 : Profils de vitesses pour D = Da, D = Db et D = Dc
On constate que le diamètre est un paramètre influent sur le système sanguin. En effet, plus le
diamètre est petit, plus le profil se rapproche d’un profil parabolique (voir figure 18). Le
schéma utilisé pour nos études contiendra de nombreux vaisseaux de diamètre très réduits par
des ramifications. Ainsi, si le profil de base est de Casson dans l’aorte ou dans une grosse
artère il aura tendance à devenir parabolique lors des ramifications.
3.2.3 – Courbure
Dans la réalité, le système sanguin est constitué d’éléments de courbure. Nous devons donc
mesurer leur influence sur l’écoulement sanguin. Pour cela nous allons faire varier le rayon de
courbure d’un tube effectuant un demi-tour (voir figures 19.a et 20.a). Cette configuration
spatiale rappelle celle de l’aorte à la sortie du cœur (voir figure 8 page 9).
Figure 19.a : Rayon de courbure = 4 cm
Figure 19.b : Profil des vitesses correspondant
Rapport Projet I3 – 2004
Simulation du comportement d’un traceur sanguin dans le réseau vasculaire cérébral
16
Figure 20.b : Profil des vitesses correspondant
Figure 20.a : Rayon de courbure = 8 cm
On constate au travers des figures 19.b et 20.b, que le changement de rayon de courbure
influence peu la vitesse du sang dans les vaisseaux. Nous utiliserons donc une géométrie plus
simple, et plus « linéaire » pour réaliser nos études sur le comportement du traceur.
3.2.3 – Ramification
On effectue une simulation avec le rythme cardiaque sur un système de ramifications comme
le montre la figure 21.a.
Vaisseaux avals
Zone A
Artère principale
Point mort
Figure 21.a : Vitesse du sang système avec ramification
0.12
0.12
0.14
0.1
0.1
0.12
0.08
0.04
vitesse(m/s)
0.1
0.06
vitesse(m/s)
vitesse(m/s)
0.08
0.08
0.06
0.06
0.04
0.04
0.02
0.02
0.02
0
0
0.002
0.004
0.006
section(m)
0.008
0.01
Figure 21.b : Profil dans
l’artère principale
0.012
0
0
0.5
1
1.5
section(m)
2
2.5
Figure 21c : Profil dans
les vaisseaux avals
3
-3
x 10
0
0
1
2
3
4
section(m)
5
6
7
-3
x 10
Figure 21.d : Profil dans
la zone A
Rapport Projet I3 – 2004
Simulation du comportement d’un traceur sanguin dans le réseau vasculaire cérébral
17
On constate que même avec un profil de Casson au début de l’artère principale (Figure 21.b),
les profils deviennent paraboliques dans les vaisseaux avals (Figure 21.c). De plus, dans les
zones de transition des ramifications, on observe des « points morts » où la vitesse reste
toujours faible et le traceur aura donc tendance à « stagner » dans ces zones. On observe
également des régions où la vitesse est inégalement répartie à cause des bifurcations, dans la
Zone A par exemple (Figure 21.d).
Pour évaluer l’influence de la géométrie des vaisseaux sur l’écoulement sanguin et donc sur le
comportement du traceur, on se doit de prendre en compte deux paramètres importants.
longueur
Premièrement, le rapport
du vaisseau qui détermine le type de profil de
diamètre
l’écoulement. Nous avons constaté lors de nos simulations que lorsque ce rapport est inférieur
à 15, on observe un profil de Casson et pour un rapport supérieur à 20 un profil parabolique.
Deuxièmement, les bifurcations du système sanguin entraînent des répartitions de vitesses
inégales. Ainsi, le traceur privilégiera certaines directions qui ne dépendent que de la
configuration géométrique.
3.3 – Influence du rythme cardiaque
Le rythme cardiaque est un paramètre non négligeable à prendre en compte pour modéliser la
circulation sanguine. Il entraîne d’importantes variations de vitesse, de débit et de pression
dans l’aorte et dans les principales artères proches du cœur. Plus on s’éloigne du cœur, moins
la pulsation cardiaque se fait ressentir à cause de l’élastance des grosses artères qui atténuent
cette pulsation. Dans les artérioles et les capillaires la vitesse du sang est quasi-constante et le
traceur se propagera donc différemment dans les différents vaisseaux.
On compare pour une artère de 1cm de diamètre et une longueur de 15 cm la propagation du
traceur avec et sans rythme cardiaque en 2 points séparés de 10cm. On fixera une vitesse
moyenne de 10 cm/s dans les deux cas (figures 22.x).
2
2
1.5
concentration(mol/m3)
concentration(mol/m3)
1.5
1
0.5
0.5
0
0
-0.5
1
0
5
10
15
temps
20
25
30
-0.5
0
5
10
15
temps
20
25
30
Fig22.b : Evolution de la concentration
avec rythme cardiaque
Rapport Projet I3 – 2004
Simulation du comportement d’un traceur sanguin dans le réseau vasculaire cérébral
18
0.3
0.4
0.25
flux de la convection
flux de la convection
0.2
0.15
0.1
0.2
0.05
0
-0.05
0
5
10
15
20
25
0
30
0
5
10
15
20
25
30
On constate pour lestemps
concentration (figures 10.a et 10.b) que l’allure générale
est la même
temps
Fig22.c : Evolution du flux de convection
Fig22.d : Evolution du flux de convection
sans rythme cardiaque
avec rythme cardiaque
avec et sans rythme cardiaque. Cependant, on observe des petites fluctuations de la
concentration lorsqu’il y a une pulsation cardiaque.
Les flux de convection, quant à eux, sont très différents car le flux est constant en l’absence
de pulsations cardiaques (figure 22.c) alors que les flux oscillent de manière synchrone avec
la pulsation cardiaque si la vitesse n’est plus constante (figure 22.d).
Si l’on ne s’intéresse qu’à l’évolution grossière de la concentration du traceur au cours de son
parcours, on peut donc négliger cette pulsation. On peut alors réaliser des simulations avec
comme condition à l’entrée des artères une vitesse fixe égale à la vitesse moyenne du sang
lors d’un cycle cardiaque.
3.4 – Evolution du traceur
Dans notre étude, nous simulerons le comportement du traceur à partir de l’artère carotide
primitive, sachant que l’influence de l’artère cérébrale peut être négligée.
La concentration du traceur est modélisée par l’embole suivante :
C (t ) = C0 ⋅t r ⋅e −b⋅t ,
avec r = 3, b = 0.7, C0 = 0.5 mol/m3 .
Ces coefficients sont obtenus d’après des études cliniques réalisées à la base du crâne aux
bornes de l’artère carotide primitive, qui draine la majorité du sang en provenance de l’aorte
vers le réseau vasculaire cérébral. C(t) est représenté sur la figure 23.
2
1.8
1.6
1.4
1.2
c
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
5
10
15
Temps (s)
20
25
30
Figure 23 : Concentration temporelle théorique du traceur
Rapport Projet I3 – 2004
Simulation du comportement d’un traceur sanguin dans le réseau vasculaire cérébral
19
Pour mieux se rendre compte de l’évolution temporelle du traceur dans l’arbre circulatoire,
nous étudierons deux cas distincts.
3.4.1 - Artère sans ramification
On se propose d’étudier une artère simple de dimensions 0, 25 × 0,1 cm qui sont celles de
l’artère carotide primitive [12].
On modélise ce vaisseau sous Femlab en se plaçant dans les mêmes hypothèses
qu’auparavant.
On en tire alors les profils de concentration à l’entrée et à la sortie du tube comme le montre
la figure 24.a.
2.5
C(t) à l'entrée
C(t) à la sortie
2
c
n
oi
t
ar
t
n
e
c
n
o
c
1.5
1
0.5
0
0
5
10
15
Temps (s)
20
25
30
Figure 24.a : Evolution temporelle de la concentration dans une artère
Les concentrations sont quasiment les mêmes mais avec un décalage dans le temps. Ce
décalage est lié à la vitesse de propagation du traceur. On détermine celui-ci en zoomant (voir
figure 24.b).
C(t) à l'entrée
C(t) à la sortie
2.4
2.3
c
n
oi
t
ar
t
n
e
c
n
o
c
2.2
2.1
∆t
2
1.9
3
4
5
Temps (s)
6
7
8
Figure 24.b Evolution temporelle de la concentration dans une artère
Rapport Projet I3 – 2004
Simulation du comportement d’un traceur sanguin dans le réseau vasculaire cérébral
20
On obtient ∆t ≈ 1 s, sachant que l = 0,1 m, on a vtraceur ≈ 0,1 m/s. Les deux flux ont même
vitesse et vérifient les principes théoriques, i.e. vsang = vtraceur.
Remarque :
Si on décompose le flux de la convection et de la diffusion, on constate que le
flux de la convection est 3 fois plus important que celui de la diffusion.
Par ailleurs, si on réalise la même étude avec une vitesse moyenne plus faible
(de l’ordre de 0,1 m/s) et un coefficient de diffusion Di = 0,01, on relève, en
comparant les courbes d’entrée – sortie de la concentration molaire du traceur,
une vitesse de propagation du traceur deux fois plus élevée que celle du flux
sanguin. Ce phénomène traduit une plus grande importance du coefficient de
diffusion sur le comportement du traceur par rapport à la vitesse du sang.
3.4.2 - Artère avec ramifications
Pour mieux se rendre compte de certains aspects quant à l’évolution du traceur, on modélise
un système aboutissant sur 16 vaisseaux comme le montre la figure 25:
Figure 25 : Concentration du traceur 4 secondes après son injection
Les dimensions du tronc d’entrée sont celles de l’artère modélisée dans le paragraphe
précédent par soucis de cohérence avec l’étude ci-dessus. On modifiera simplement la vitesse
d’entrée du fluide afin de se rapprocher d’un modèle plus cohérent avec la réalité.
On prendra v(t ) = 0,1 + 0, 05 ⋅sin(2 ⋅π ⋅f ⋅t ) , sachant que les ondulations dues au rythme
cardiaque s’atténuent fortement dans ce secteur.
En procédant de la même façon qu’auparavant, on relève les courbes suivantes (voir figure
26) :
Rapport Projet I3 – 2004
Simulation du comportement d’un traceur sanguin dans le réseau vasculaire cérébral
21
2
C(t) à l'entrée
C(t) à la sortie
1.8
1.6
1.4
c
n
oi
t
ar
t
n
e
c
n
o
c
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
2
4
6
8
10
Temps
12
14
16
18
20
Figure 26.a Profils de concentration du traceur dans un arbre avec ramification
C(t) à l'entrée
C(t) à la sortie
1.15
1.1
c
n
oi
t
ar
t
n
e
c
n
o
c
1.05
1
∆t
0.95
0.9
1.5
2
2.5
3
Temps (s)
3.5
4
Figure 26.b Profils de concentration du traceur dans un arbre avec ramification (bis)
On relève t = 1,8 s. Les mesures étant effectuées à l = 0,24 m, on obtient
vtraceur = 0,13 m/s, ce qui correspond à la vitesse moyenne du flux sanguin (vsang = 0,1 m/s).
Ainsi, on remarque dans tous les cas étudiés que la vitesse du traceur est légèrement
supérieure à celle du fluide, ce qui s’explique par la valeur non nulle du coefficient de
diffusion. Le mieux aurait été de simuler avec Di = 0 mais cette condition est irréalisable, la
solution divergeant dans ce cas.
Rapport Projet I3 – 2004
Simulation du comportement d’un traceur sanguin dans le réseau vasculaire cérébral
22
Conclusion
Cette étude nous a permis d’établir un modèle simplifié du réseau vasculaire cérébral. En effet
tout au long de l’étude, nous avons dû émettre certaines hypothèses simplificatrices.
Par exemple, le fait de considérer le sang newtonien dans de nombreuses simulations alors
qu’en réalité, le sang est non-newtonien. En effet, on a constaté que le changement de
viscosité entraîne peu de modifications sur les profils de vitesses et donc sur l’écoulement, on
a donc décidé d’utiliser un modèle simplifié, cette hypothèse s’appliquant pour des parois
rigides.
Par ailleurs, l’influence du rythme cardiaque diminue avec la distance à cause de l’atténuation
des ondes pulsatiles sur les parois. De plus, on s’intéresse principalement à la modélisation de
l’arbre circulatoire cérébral dont la base est aux dimensions de l’artère carotide primitive.
C’est pourquoi on a choisi de simplifier le cycle cardiaque. Nous avons également constaté
que ce cycle n’influençait que très peu le comportement global de l’évolution temporelle de la
concentration du traceur. On a donc décidé d’utiliser une variation sinusoïdale de fréquence
unitaire oscillant autour de la vitesse moyenne du fluide pour modéliser le rythme cardiaque.
On a aussi montré que les formes courbées n’avaient pas d’influence sur le comportement du
fluide en terme de profils de vitesses ; de là, nous avons donc décidé d’utiliser une structure
en forme de ‘Y’ pour les ramifications, plus simple à réaliser sous Femlab.
Cependant, il est important de noter que l’élastance a été négligée dans la plupart de nos
études. D’une part, pour des raisons techniques, le logiciel ne nous a pas permis d’étudier ce
phénomène pour des systèmes comportant des ramifications, le problème étant trop complexe.
D’autre part, comme ce problème fait appel à des notions de résistance des matériaux, nous
n’avons pu étudier correctement ce problème par manque de temps.
Ainsi, le mieux aurait été de modéliser un système plus complexe, du point de vue de la
structure géométrique, en y incluant des courbures, des ramifications, et l’élastance, pour se
rapprocher d’une géométrie semblable à celle du réseau vasculaire cérébral réel.
Rapport Projet I3 – 2004
Simulation du comportement d’un traceur sanguin dans le réseau vasculaire cérébral
23
Bibliographie
[0] Saïd Koutani - Cours de Mécanique des Fluides, ESIEE (2003)
[1] Tknguyen - The physical and Flow properties of Blood (2003)
[2] Pr. C. Denis - Physiologie de la circulation (2002)
[3] M. Behr - One-equation turbulence model for generalized Newtonian fluid flow (2003)
[4] www.mems.rice.edu/~dhruv/bloodrheo/numerics/
[5] Plasma Viscosity and Blood Viscoelasticity (www.vilastic.com)
[6] A.Leuprecht - Combined CFD and MRI study of blood flow in a human ascending aorta
model (2002)
[7] J.M Tarbell & A.Dutta - Influence of Non-Newtonian Behavior of Blood on Flow in an
Elastic Artery Model (1996)
[8] www.carotide.com
[9] G de Marco & P. Dassonvalle - Perfusion (2004)
[10] P.Segers & P.Verdonck - Arterial Mechanics
[11] – KS Cheng & C.R Barker -Arterail Elastic Properties and Cardiovascular Risk/Event
(2002)
[12] Luca Formaggia – Hyperbolic models for blood flow in the cardiovascular system (2004)
[13] CERMEP - Physique et Biophysique de la circulation (2001)
Rapport Projet I3 – 2004
Simulation du comportement d’un traceur sanguin dans le réseau vasculaire cérébral
24
Table des Matières
Introduction ..................................................................................................... 2
Cahier des charges ........................................................................................... 2
Descriptif de l’étude .................................................................................. 2
Commentaire du cahier des charges ........................................................ 3
1 – Hémodynamique ........................................................................................ 3
1.1 – Equation de Navier-Stockes appliquée à l’écoulement sanguin et
profils de vitesses .......................................................................................... 3
1.2 – Débit ..................................................................................................... 4
1.3 – Elastance des vaisseaux ....................................................................... 5
2 – Modélisation de l’écoulement sanguin et du traceur............................... 6
2.1 – Sang ...................................................................................................... 6
2.1.1 – Composition ................................................................................... 6
2.1.2 – Viscosité.......................................................................................... 7
2.2 – Vaisseaux sanguins .............................................................................. 8
2.2.1 – Système artériel ............................................................................. 8
2.2.2 – Système Capillaire ....................................................................... 10
2.3 – Rythme cardiaque.............................................................................. 11
2.4 – Le traceur et ses modes de transport ................................................ 12
3 – Influences des caractéristiques du sang et des vaisseaux sanguins sur
l’écoulement ................................................................................................... 13
3.1 – Influence de la viscosité ..................................................................... 13
3.2 – Influence de la géométrie des vaisseaux sanguins ............................ 15
3.2.1 – Longueur ...................................................................................... 15
3.2.2 – Diamètre....................................................................................... 16
3.2.3 – Courbure ...................................................................................... 16
3.2.3 – Ramification................................................................................. 17
3.3 – Influence du rythme cardiaque ......................................................... 17
3.4 – Evolution du traceur.......................................................................... 19
3.4.1 - Artère sans ramification .............................................................. 20
3.4.2 - Artère avec ramifications............................................................. 21
Conclusion ...................................................................................................... 23
Bibliographie .................................................................................................. 24
Table des Matières ......................................................................................... 25
Annexe : Présentation et utilisation de Femlab ............................................ 26
1 - Présentation générale ............................................................................ 26
2 - Détails des modules utilisés ................................................................... 28
2.1 - Physics mode : Incompressible Navier-Stockes ............................. 28
2.2 - Chemical Engineering module : Non-Newtonian flow .................. 28
2.3 - Chemical Engineering module : Diffusion-Convection................. 29
Remerciements ............................................................................................... 31
Rapport Projet I3 – 2004
Simulation du comportement d’un traceur sanguin dans le réseau vasculaire cérébral
25
Annexe : Présentation et utilisation de Femlab
1 - Présentation générale
Femlab est un module de Matlab permettant de résoudre des équations aux différences finies
de manière numérique à l’aide de la méthode des éléments finis. Femlab peut être utilisé de
manière «graphique» pour résoudre des problèmes multiphysiques. C’est à dire que l’on peut
faire interagir plusieurs modules physiques entre eux, par exemple le module mécanique des
fluides incompressibles et le module convection-diffusion .
Nous avons utilisé 3 modules pour notre projet :
• physics mode : Incompressible Navier-Stockes,
• chemical Engineering module : Non-Newtonian flow,
• chemical Engineering module : Diffusion-Convection.
Une simulation en 2 dimensions comprend 6 étapes :
•
•
•
•
•
définition d’un modèle géométrique et de domaines : Draw mode,
définition des conditions aux limites sur les points du domaine : Point mode,
définition des conditions aux limites sur les arêtes du domaine : Boudary mode,
définition des paramètres sur les sous-domaines : Sub-domain mode,
maillage des sous-domaines pour les décomposer en plusieurs éléments : Mesh mode,
plus le maillage est fin, plus les résultats de la simulation seront précis.
• simulation du modèle : Post mode.
On accède aux différents modes avec les icônes ci-dessous :
Sub-domain mode
Point mode
Draw mode
Boundary mode
Post mode
Mesh mode
Figure 1 : Icônes des modes de Femlab
Ensuite pour configurer les paramètres de la simulation et pour visualiser les résultats, on
utilise les icônes de la figure 2 :
Solver parameters
Solve
plot parameters
.
Figure 2 : Icônes des paramètres de Femlab
Rapport Projet I3 – 2004
Simulation du comportement d’un traceur sanguin dans le réseau vasculaire cérébral
26
• Les paramètres du calculateur (solvers parameters), permettent de choisir la méthode
de résolution du problème (stationnaire, temporelle ou paramétrique). Nous utiliserons
une résolution temporelle la plupart du temps. On peut également changer dans ce
menu les algorithmes de résolution mais nous avons gardé ceux par défaut.
• Le bouton Solve permet de relancer la simulation si des modifications ont été
apportées
• Le bouton plot parameters permet de configurer le résultat de la simulation à afficher
à l’écran. Par exemple si on veut représenter la vitesse du sang en chaque point du
tube, on cochera ‘surface plot’ puis on sélectionnera ‘velocity field (U)’ dans ‘surface
expression’ (voir figure 3).
Figure 3 : Plot parameters
Si l’on désire par la suite exploiter les résultats de la simulation pour tracer des courbes, il faut
avant tout définir des points de mesures (par exemple pour relever la vitesse au cours du
temps en 1 point) ou des sections (pour les profils de vitesse par exemple) à l’aide des icônes
de la figure 4.
Section
Point de mesure
Figure 4 : Icônes point et section pour faire des mesures
Rapport Projet I3 – 2004
Simulation du comportement d’un traceur sanguin dans le réseau vasculaire cérébral
27
Il faut ensuite aller dans le menu post -->Cross-section plot qui permet de tracer des courbes
à partir des résultats de la simulation.
2 - Détails des modules utilisés
2.1 - Physics mode : Incompressible Navier-Stockes
Équation
Ce module exploite l’équation de Navier-Stockes figurant ci-dessous :
ρ représente la masse volumique du fluide en kg/m3,
u représente le vecteur vitesse du fluide en m/s,
η représente la viscosité du fluide en Pa.s = Kg/ms,
p représente la pression du fluide en Pa,
F représente une force de volume exercée sur le fluide en N,
La condition ∇ .u = 0 traduit l’incompressibilité du fluide.
Conditions aux limites
Nous utiliserons 3 conditions aux limites différentes :
• flux entrant (inflow), permet de fixer la vitesse à l’entrée du tube,
• vitesse nulle (No-Slip), permet de définir les parois sur lesquelles la vitesse est nulle,
• flux sortant (Outflow or pressure), permet de définir la sortie du tube (pression nulle).
Paramètre des sous-domaines
Pour les sous-domaines, on doit définir la masse volumique ρ et la viscosité η uniquement
car nous ne tiendrons pas compte de la gravité qui n’a aucune influence sur la circulation
sanguine (F=0).
2.2 - Chemical Engineering module : non-newtonian flow
L’équation et les conditions aux limites utilisées sont les mêmes que pour le module
Incompressible Navier-Stockes, la seule différence réside dans le fait que la viscosité peut être
une fonction du taux de cisaillement pour modéliser les fluides non-newtoniens.
Paramètre des sous-domaines
C’est ici que l’on peut définir le modèle de Carreau-Yasauda pour la viscosité.
On choisit η user pour définir la viscosité telle que :
η 0 −η ∞
η (γ&
) =η∞ +
(1 + (λ.γ&
)b ) a
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Il faut préalablement définir les constantes η 0 , η ∞ , a, b, λ dans le menu
option->add/edit constant avec les valeurs citées dans ce rapport. Pour γ&Femlab utilise une
variable nommée gad.
2.3 - Chemical Engineering module : diffusion-convection
Équation
L’équation utilisée par Femlab est la suivante :
c k représente la concentration de l’espèce k en mol/m3,
Dk représente le coefficient de diffusion de l’espèce k en m2/s,
u représente le vecteur de la vitesse de convection,
R k représente le coefficient de réaction chimique ( R k = 0 entre le sang et le traceur).
Conditions aux limites
Nous utiliserons dans ce module 3 conditions aux limites différentes :
• concentration fixe ( ci ), permet de spécifier l’évolution temporelle du traceur à l’entré
du tube. : ci = c0 ⋅t r ⋅e −bt où c0 = 0,5 ; r = 3 ; b = 0,7 ,
• paroi imperméable au traceur (Insulation/Symetry), pour les parois du tube
• paroi perméable au traceur où la convection l’emporte sur la diffusion (Convection >>
Diffusion), pour la sortie du tube.
Paramètre des sous-domaines
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• On utilisera un coefficient de diffusion isotrope Di = D où D est à définir dans les
constantes (nous avons choisi D = 10-4),
• Ri = 0 car le traceur ne provoque aucune réaction chimique avec le sang,
• Pour la convection : x − velocity = u et y − velocity = v , où u et v représentent les
composantes de la vitesse du sang dans le module Navier-Stockes.
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Remerciements
Nous tenons tout d’abord à remercier l’ESIEE-Amiens qui est à l’origine de ce projet I3 et
pour nous avoir prêté ses locaux et son matériel.
Merci à Laurent Baroux, notre tuteur qui nous a conseillés et aiguillés pendant toutes les
phases de notre projet et pour la rédaction de notre rapport, ainsi que Pascal Dassonval,
l’auteur de ce sujet qui nous a guidés par ses conseils pertinents.
Nous remercions également Mireille El Rmeily effectuant son DEA portant sur la perfusion
cérébrale à l’ESIEE-Amiens qui nous a apporté des données relatives au problème.
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RESUME
For some MRI techniques, we use a tracer, that we inject into a vein in
the patient’s arm. This liquid mixes with the flood going from the
arm’s arteries to the scalp’s capillaries.
With the help of MRI photos, some interesting physiological
parameters ( the volume of blood in the head and blood flow away
from the head ) can be registered. It pinpoints the problem area.
Thanks to this process, we are able to create a schema of the blood
flow.
Therefore, the help of « Femlab » software was necessary to obtain
additional parameters.
The project is divided into three main parts, which are : computer
modelling, geometry and the tracer in order to better understand the
problems linked to the project.
Some parameters were impossible to study because they were too
complex for the computer and for us. We then had to simplify the
model because in reality, our blood system is so highly developed one.
Indeed, for each part, we simplified the model and then studied each
piece of information. From this we were able to reach our conclusions.
MOTS-CLES
Vaisseau sanguin, hémodynamique, débit, profil de vitesses, viscosité,
élastance, traceur, diffusion, convection, simulation.
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