CENTRE D’ÉDUCATION DES ADULTES DOCUMENT DE RÉVISION MAT-4103 ÉLABORÉ PAR RICHARD POULIN, ENSEIGNANT EN MATHÉMATIQUES, CENTRE D’ÉDUCATION DES ADULTES L’ESCALE COMMISSION SCOLAIRE DE L’AMIANTE MAI 2005 DOCUMENT DE REVISION DU COURS MAT-4103 ¾ Rappel sur les triangles 1. Un triangle est rectangle lorsqu’il comporte un angle droit. 2. Un triangle est isocèle lorsque deux de ces côtés ont la même longueur. 3. Un triangle est équilatéral lorsque ses trois côtés ont la même longueur. 4. Un triangle est scalène lorsque ses trois côtés sont de longueurs différentes. Considérons le triangle suivant : A b c B a C ¾ Chaque sommet est identifié par une lettre majuscule. ¾ Chaque côté est identifié par une lettre minuscule identifiant la mesure du côté opposé au sommet. Richard Poulin, enseignant Centre L’Escale, C.S. Amiante Page 2 de 11 Théorème de Pythagore Hyp2 = a2 + b2 Le théorème de Pythagore s’applique uniquement dans le triangle rectangle. Pour utiliser cette relation, il faut connaître au moins 2 des trois côtés ou bien avoir un angle de 45o ou 30o . Exemple 1 : A c 8 cm B C a l’angle 〈A = l’angle 〈C = 45o La mesure du côté c = côté a Donc selon Pythagore : 82 = a2 + c2 = 82 = 2a2 donc a2 = 32 a = 5,66 cm Richard Poulin, enseignant Centre L’Escale, C.S. Amiante Page 3 de 11 Exemple 2 : A c 8 cm B C a l’angle 〈A = 30o et l’angle 〈C = 60o Lorsque dans un triangle rectangle un des cotés à un angle de 30o, la mesure du coté opposé est égale à la moitié de l’hypoténuse. La mesure de a = 4 cm Donc selon Pythagore : 82 = 42 + c2 = 82 - 42 = c2 donc c2 = 48 c = 6,93 cm Exemple 3 : A 8 x B C 12 Donc selon Pythagore : x2 = 82 + 122 = x2 = 208 donc x = 14,42 cm Richard Poulin, enseignant Centre L’Escale, C.S. Amiante Page 4 de 11 Trigonométrie et rapports trigonométriques Cosinus A = coté adjacent = c hypoténuse b Sinus A = coté opposé = a hypoténuse b Cosinus C = coté adjacent = a hypoténuse b Sinus C = coté opposé = c hypoténuse b Tangente C = coté opposé coté adjacent = c = Sinus C a Cosinus C Tangente A = coté opposé coté adjacent = a = Sinus A c Cosinus A Cosinus = Cos Sinus = Sin Tangente = Tan a) Note ¾ Lorsque dans un triangle rectangle, un des cotés a un angle de 30o, la mesure du coté opposé est égale à la moitié de l’hypoténuse. ¾ Lorsque dans un triangle rectangle, il y a deux angles de 45o , la mesure de ces deux côtés sont les mêmes. ¾ Le théorème de Pythagore s’applique seulement dans le triangle RECTANGLE. Même chose pour les fonctions trigonométriques (sin, cos, tan). Richard Poulin, enseignant Centre L’Escale, C.S. Amiante Page 5 de 11 Exercice 4 : Sin A = m bc = 3 m ab 5 L’angle A = 36,9o La mesure de l’angle B = 180o - 36,9o - 90o = 53,1o Sin A = Cos B Cos A = Sin B Loi des sinus Richard Poulin, enseignant Centre L’Escale, C.S. Amiante Page 6 de 11 Sin C = Sin B = Sin A c b a ¾ Le sinus de 45o est égal au sinus de (180o – 45o ). ¾ Cette loi peut également être utilisée dans le triangle rectangle. ¾ Pour utiliser cette loi, il faut connaître au moins deux angles ainsi que la mesure d’un coté de l’angle connu. Exercice 5 : La mesure de l’angle A = 25o La mesure de l’angle B = 105o Donc on peut déduire que l’angle C = 50o Déterminer la mesure du côté a et b ? Sin 105o = Sin 50o = Sin 25o b 12 a 12* Sin 105o = b* Sin 50o b = 15,13 m Richard Poulin, enseignant Centre L’Escale, C.S. Amiante Page 7 de 11 a* Sin 50o = 12*Sin 25o a = 6,62 m Exemple 6 : La mesure de l’angle A = 40o Déterminer la mesure de l’angle B et l’angle C ? Selon la loi des sinus : Sin 40o = Sin B = Sin C 20 25 7 25* Sin 40o = 20* Sin B Sin B = 0,8034 Donc l’angle B= 53,46o Comme l’angle B est obtus ( > 90o ), la valeur de l’angle = 180o - 53,46o L’angle B = 126,54o L’angle C = 180o – 126,54o - 40o = 13,46o Preuve Sin 126,54o = Sin 53,46o 0,8034 = 0,8034 Richard Poulin, enseignant Centre L’Escale, C.S. Amiante Page 8 de 11 Loi des cosinus a2 = b2 + c2 – 2*b*c*CosA b2 = a2 + c2 – 2*a.*c*CosB c2 = a2 + b2 – 2*a*b*CosC ou ou On peut isoler l’angle pour obtenir : CosA = b2 + c2 – a2 2*b*c ou CosB = a2 + c2 – b2 2*a*c ou CosC = a2 + b2 – c2 2*a*b Exemple 7 : La mesure de l’angle A = 23o Richard Poulin, enseignant Centre L’Escale, C.S. Amiante Page 9 de 11 Déterminer la mesure du coté a ? La loi des cosinus : a2 = b2 + c2 - 2*b*c*Cos A a2 = 92 + 52 - 2*9*5*Cos 23 o a = 4,8 cm Note : Pour les autres mesures manquantes, il est plus simple d’utiliser la loi des sinus car elle est beaucoup plus facile. Exemple 8 : Trouver la mesure de l’angle C ? Cos C = a2 + b2 - c2 2*a*b Cos C = 11,42 + 18,92 - 12,3 2 * 11,4 * 18,9 Cos C = 0,7794 La mesure de l’angle C = 30,79o Richard Poulin, enseignant Centre L’Escale, C.S. Amiante Page 10 de 11 ¾ Angle d’élévation et de dépression. Les angles d’élévation et de dépression sont toujours donnés par rapport à l’horizontale. ÉLÉVATION DÉPRESSION Processus de décision Est-ce que le triangle est rectangle ? oui non J’utilise • • Pythagore Fonctions trigonométriques(sin, cos et tan) J’utilise Loi des sinus oui Est-ce que je connais la mesure d’un angle et son côté plus un côté ou un angle ? non J’utilise Loi des cosinus Richard Poulin, enseignant Centre L’Escale, C.S. Amiante Page 11 de 11