Fonctions de plusieurs variables réelles I Structure euclidienne de Rn 1 I.A Produit scalaire canonique de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I.B Norme et distance euclidiennes dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I.C Boules dans l'espace vectoriel euclidien R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 n n m II Parties ouvertes et fermées de l'espace euclidien 2 Rm II.A Parties ouvertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 II.B Parties fermées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 II.C Intérieur, adhérent, frontière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 III Parties bornées de Rn euclidien 4 IV Limite et continuité 5 III.ADénition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 III.BPropriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 IV.ADénitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 IV.B Opérations et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 IV.CFonction continue sur une partie fermée bornée de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 n V Applications partielles 6 V.A Dénition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 V.B Dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 VI Fonctions de classe C 1 de dans R 7 VIIComposition de fonctions de classe 9 U VI.ADénition avec les dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.B Développement limité d'ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.CNotation diérentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.DGradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C1 ϕ : t 7→ f (x(t), y(t)) ψ : (u, v) 7→ f (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) 7 8 8 9 VII.ADérivée de la fonction ................................... 9 VII.BDérivées partielles de la fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 VII.CDeux exemples d'équations aux dérivées partielles du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 VIII Dérivées partielles d'ordre supérieur à 1 10 IX Extremum local d'une fonction de deux variables 12 X Applications géométriques 13 VIII.AThéorème de Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 VIII.BUn exemple d'équation aux dérivées partielles d'ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 VIII.CCalcul du laplacien en coordonnées polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 IX.ADénition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 IX.B Tout extremum local est un point critique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 X.A Tangente et normale en un point régulier d'une ligne de niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 X.B Plan tangent à une surface en un point régulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Dans tout le chapitre, n est un entier inférieur ou égal à 3. I Structure euclidienne de Rn I.A Produit scalaire canonique de Rn Dénition 1. Le produit scalaire canonique de R est déni comme suit : n n n ∀x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ R , ∀y = (y1 , y2 , . . . , yn ) ∈ R , (x | y) = n X i=1 On obtient ainsi la structure euclidienne canonique de R . n 1 xi yi I.B Norme et distance euclidiennes dans Rn Dénition 2. v uX u n 2 x = (x1 , x2 , . . . , xn ) 7→ kxk = t xi L'application La distance associée est l'application d de R i=1 n × Rn est la norme euclidienne sur R . dans R dénie par : n + v u n uX d(x, y) = t (xi − yi )2 i=1 I.C Boules dans l'espace vectoriel euclidien Rm Dans ce paragraphe, E est l'espace R euclidien. La norme euclidienne est notée k . k, et la distance associée est notée d. Les éléments de R sont regardés comme des points ou comme des vecteurs. n n Dénition 3. Soient a ∈ E et r un réel > 0. On appelle boule ouverte de centre a de rayon r l'ensemble : B(a, r) = x ∈ E / kx − ak < r = x ∈ E / d(a, x) < r On appelle boule fermée de centre a de rayon r l'ensemble : Bf (a, r) = x ∈ E / kx − ak 6 r = x ∈ E / d(a, x) 6 r On appelle boule fermée unité la boule fermée de centre 0 de rayon 1. Remarque 1. Dans R euclidien, les boules sont des disques; dans R , ce sont les boules habituelles; et dans R : 2 3 B(a, r) = x ∈ R / |x − a| < r =]a − r, a + r[ Bf (a, r) = x ∈ R / |x − a| 6 r = [a − r, a + r] II Parties ouvertes et fermées de l'espace euclidien Rm II.A Parties ouvertes Dénition 4. Soit A ⊂ R . A est dite partie ouverte de R , ou ouvert de R , si A est vide ou si : ∀x ∈ A, ∃r > 0 tel que B(x, r) ⊂ A n n n Exemples 1. 1. ]0, 1[ est un ouvert de R. [0, 1[ et [0, 1] ne sont pas des ouverts de R. 2. Toute boule ouverte de R est un ouvert de R . 3. Le demi-plan y > 0 est un ouvert de R . n n 2 Exercice 1 Démontrer que le demi-plan x > 0 est un ouvert de R . 2 [pv035] Théorème 1. ∅ et R sont des ouverts de R . Toute réunion d'ouverts de R est un ouvert de R . Toute intersection nie d'ouverts de R est un ouvert de R . n n n n n n 2 Démonstration. • ∅ est un ouvert de Rn , comme indiqué dans la dénition d'un ouvert. Rn lui-même est Rn , et tout r > 0, la boule ouverte de centre x de rayon r est bien sûr incluse dans Rn . un ouvert de Rn : en eet, pour tout x de Soit (Ai )i∈I une famille quelconque d'ouverts de Rn . S Soit x ∈ Si∈I Ai . Il existe i0 ∈ I tel que x ∈ Ai0 . Comme S Ai0 est ouvert, il existe r > 0 tel que S B(x, r) ⊂ Ai0 . On a alors B(x, r) ⊂ i∈I Ai , et il est ainsi prouvé que pour tout x ∈ i∈I Ai , il existe r > 0 tel que B(x, r) ⊂ i∈I Ai . S n i∈I Ai est donc un ouvert de R . • Soit (A1 , . . . , Ap ) une famille nie d'ouverts de Rn . T Soit x ∈ 16i6p Ai . Pour chaque i, x appartient à Ai et Ai est ouvert, donc il existe ri > 0 tel que TB(x, ri ) ⊂ Ai . Posons r = min16i6p ri . On a, pour chaque i compris entre 1 et p, B(x, r) ⊂ B(x, ri ) ⊂ Ai . Il en résulte B(x, r) ⊂ 16i6p Ai , et donc : T n 16i6p Ai est un ouvert de R . • Une intersection innie d'ouverts n'est pas nécessairement un ouvert. On peut considérer pour cela : Exemple 2. \ p∈N∗ 1 1 = {0} − , p p II.B Parties fermées Dénition 5. Soit A ⊂ R . A est dite partie fermée de R , ou fermé de R , si R − A est un ouvert de R . Pour montrer qu'une partie est fermée, on montre donc que son complémentaire (voir l'exercice 4) est ouvert. n n n n n Exemples 3. 1. [0, 1] est un fermé de R. [0, 1[ n'est pas un fermé de R. 2. Toute boule fermée de R est un fermé de R . n n Exercice 2 Montrer que le demi-plan x > 0 est un fermé de R . 2 [pv036] Exercice 3 Montrer que N est un fermé de R. [pv037] Théorème 2. ∅ et R sont des fermés de R . Toute intersection de fermés de R est un fermé de R . Toute réunion nie de fermés de R est un fermé de R . n n n n n Démonstration. n Elle est faite dans les deux exercices suivants. Exercice 4 Soient E un ensemble, et A une partie de E. On rappelle que le complémentaire de A, noté E − A ou E\A, est par dénition : ∅ si A = E, E si A = ∅, et dans les autres cas : E −A = x ∈ E/x ∈ /A Soit (A ) une famille quelconque de parties de E. Montrer que : \ [ [ E− A = (E − A ) et E − A i i∈I i i∈I i i∈I i∈I i = \ (E − Ai ) i∈I [pv012] Exercice 5 En utilisant l'exercice 4, faire la démonstration du théorème. 3 [pv013] II.C Intérieur, adhérent, frontière Soit A une partie non vide de R et a ∈ R . 1. L'ensemble des points intérieurs à A est l'ensemble Å appelé intérieur de A et déni par : Dénition 6. n a ∈ Å n ⇐⇒ ∃r > 0, B(a, r) ⊂ A 2. L'ensemble des points adhérents à A est l'ensemble Ā appelé adhérence de A et déni par : a ∈ Ā ⇐⇒ ∀r > 0, B(a, r) ∩ A 6= ∅ 3. La frontière (ou bord) de A est l'adhérence de A privée de l'intérieur de A : Fr(A) = Ā \ Å On peut aussi dénir l'extérieur de A comme l'intérieur du complémentaire de A (cette notion est cependant moins utilisée) : Ext(A) = (A ) Remarque 2. ◦ c Exercice 6 Montrer que Ā = Ext(A) . c [pv014] Proposition 1. 1. On a Å ⊂ A ⊂ Ā. 2. Å est un ouvert, Ā et Fr(A) sont des fermés. Plus précisément, Å est le plus grand ouvert contenu dans A, et Ā le plus petit fermé contenant A. 3. A est un ouvert ⇐⇒ A = Å. 4. A est un fermé ⇐⇒ A = Ā. Exercice 7 Montrer ces propriétés. [pv015] Exercice 8 Représenter A, puis décrire Å, Ā et Fr(A) dans chacun des cas suivants : 1. A =]0, 1]. 2. A = {(x, y) ∈ R , x > 0, y > 0, et x + y < 1}. 3. A = {(x, y, z) ∈ R , x + y + z < 1}. 2 3 2 2 2 [pv016] III Parties bornées de Rn euclidien III.A Dénition Dénition 7. Une partie A de R est dite bornée s'il existe r > 0 tel que A ⊂ B(0, r), n 4 i.e. ∀x ∈ A, kxk < r . III.B Propriétés Propriétés 1. A ⊂ B et B bornée =⇒ A bornée. Toute intersection de parties bornées est bornée. Toute réunion nie de parties bornées est bornée. Exercice 9 Montrer ces propriétés. [pv017] Exemples 4. 1. ∅ est borné, tout ensemble réduit à un élément est borné. 2. Toute boule est bornée. 3. Tout sous-ensemble ni de R est borné. 4. Un sous-espace vectoriel de R autre que 0 est non-borné. n n Exercice 10 Soit A ⊂ R , soit a ∈ R . Montrer que : n n A est bornée ⇐⇒ ∃r > 0, A ⊂ B(a, r) [pv018] IV Limite et continuité IV.A Dénitions Soient E = R , euclidien, A une partie de E, f une application de A dans R, et a = (a , . . . , a ) ∈ Ā. On dit que f admet la limite ` au point a si, par dénition : Dénition 8. n 1 h ∀ε > 0, ∃η > 0, ∀x ∈ A, kx − ak 6 η =⇒ |f (x) − `| 6 ε n i Soient E = R , euclidien, A une partie de E, f une application de A dans R, et a = (a , . . . , a ) ∈ A. f est dite continue en a si, par dénition lim f (x) = f (a). De manière équivalente, cette dénition revient à : Dénition 9. n 1 n x→a ∀ε > 0, ∃η > 0, ∀x ∈ A, h kx − ak 6 η =⇒ |f (x) − f (a)| 6 ε i On dit que f est continue sur A si f est continue en tout point a ∈ A. Exercice 11 Soit k > 0. Une application f : E → R est dite k-lipschitzienne si : ∀x, y ∈ E, |f (x) − f (y)| 6 kkx − yk Montrer que dans ces conditions f est continue sur E (c'est-à-dire en tout point de E). En déduire la continuité des applications suivantes : 1. Continuité de la norme : E → R, x 7→ kxk. 2. Continuité des projections : p : R → R, x = (x , . . . , x ) 7→ x . i n 1 n i [pv019] 5 IV.B Opérations et continuité Théorème 3 (Opérations élémentaires). Soient f, g deux applications dénies sur une partie A de R et à valeurs réelles, et λ ∈ R. Si f et g sont continues en a ∈ A (resp. sur A), alors les fonctions : n f + g : x 7→ f (x) + g(x) λf : x 7→ λf (x) ; ; f g : x 7→ f (x)g(x) sont continues en a (resp. sur A). Théorème 4 (Composition). Soit f une application dénie sur une partie A de R et à valeurs dans I ⊂ R, et h une application de I dans R. Si f est continue en a et h est continue au point f (a), alors h ◦ f est continue au point a. n Exercice 12 On admet la continuité des fonctions classiques de R dans R : sinus, exponentielle etc. 1. Soit p, q ∈ N. À l'aide des continuités essentielles, montrer que f : R → R, (x, y) 7→ x y , est continue. 2. En déduire que l'ensemble des fonctions polynomiales dedeux variables (x, y) sont continues. 1 3. Justier la continuité sur R de la fonction (x, y) 7→ exp 1 + x y . 2 p q 2 2 2 [pv038] Exercice 13 Soient U un ouvert de E, a ∈ U , et f : U → F . 1. On suppose que f est continue en a. Soit (x ) une suite de U qui tend vers a. Montrer que la suite f (x ) tend vers f (a). 2. On pose f (x, y) = si (x, y) 6= (0, 0) et f (0, 0) = 0. Calculer lim f n1 , nα . f est-elle continue en (0, 0) ? n n∈N 1 n x2 y x4 +y 2 n→+∞ n∈N 2 [pv039] IV.C Fonction continue sur une partie fermée bornée de Rn Théorème 5. Soit f une fonction de R dans R, continue. Si A est une partie fermée et bornée de R , alors f est bornée et atteint ses bornes (c'est à dire que f a un minimum et un maximum sur A). n Démonstration. V n Ce théorème est admis. Applications partielles Pour simplier la présentation, on prendra n = 3 dans un certain nombre de dénitions. V.A Dénition Dénition 10. les fonctions : Soient U un ouvert de R , (a, b, c) ∈ U et f : U → R. On appelle applications partielles de f en (a, b, c) 3 ϕ1 : t 7→ f (t, b, c) ϕ2 : t 7→ f (a, t, c) ϕ3 : t 7→ f (a, b, t) 1. On a en fait une condition nécessaire et susante : f est continue en a ⇐⇒ pour toute suite (xn )n∈N de U qui tend vers a, la suite tend vers f (a). Mais la réciproque (⇐=) n'est pas facile à établir. (f (xn ))n∈N 6 Exercice 14 On pose f (x, y) = x y. Représenter les fonctions partielles t 7→ f (t, 1) et t 7→ f (1, t). 2 [pv040] V.B Dérivées partielles Dénition 11. Soit f : U → R. Lorsque les fonctions partielles : t 7→ f (t, y0 , z0 ) t 7→ f (x0 , t, z0 ) t 7→ f (x0 , y0 , t) sont dérivables, respectivement en x , y , z . Les dérivées sont notées : 0 0 0 ∂f (x0 , y0 , z0 ) ∂x ou : ∂f (x0 , y0 , z0 ) ∂y ∂f (x0 , y0 , z0 ) ∂z D1 f (x0 , y0 , z0 ) D2 f (x0 , y0 , z0 ) D3 f (x0 , y0 , z0 ) On les appelle dérivées partielles de f au point (x , y , z ). 0 0 0 Exercice 15 On reprend la fonction f de l'exercice 13 : f (x, y) = si (x, y) 6= (0, 0) et f (0, 0) = 0. 1. Expliciter les applications partielles f ( . , 0) et f (0, . ). 2. Calculer les dérivées partielles de f en (0, 0). Les dérivées partielles sont-elles continues? x2 y x4 +y 2 [pv041] VI Fonctions de classe C1 de U dans R VI.A Dénition avec les dérivées partielles Dénition 12. f :U →R est dite de classe C si f admet des dérivées partielles en tout point (x, y, z) de U , et si les fonctions : 1 (x, y, z) 7→ sont continues sur U . ∂f (x, y, z), ∂x (x, y, z) 7→ Théorème 6 (Opérations élémentaires). ∂f (x, y, z), ∂y (x, y, z) 7→ ∂f (x, y, z) ∂z Soient f, g deux applications dénies sur un ouvert U de R et à valeurs réelles, et λ ∈ R. Si f et g sont de classe C sur U , alors les fonctions : n f + g : (x, y, z) 7→ f (x, y, z) + g(x, y, z) sont de classe C sur U .. ; 1 λf : (x, y, z) 7→ λf (x, y, z) f g : (x, y, z) 7→ f (x, y, z)g(x, y, z) 1 Théorème 7 (Composition). Soit f une application dénie sur un ouvert U de R et à valeurs dans I ⊂ R, et h une application de I dans R. Si f est de classe C sur U et si h est de classe C sur I , alors h ◦ f est de classe C sur U . 1 n 1 1 7 VI.B Développement limité d'ordre 1 Théorème 8. Si f est de classe C sur l'ouvert U , alors : 1 f (x0 + h, y0 + k, z0 + l) = f (x0 , y0 , z0 ) + ∂f ∂f (x0 , y0 , z0 )h + (x0 , y0 , z0 )k + ∂x ∂y ∂f (x0 , y0 , z0 )l + o(k(h, k, l)k) ∂z Démonstration. Ce théorème est admis. Remarque 1. Il s'agit d'un développement limité à l'ordre 1 de la fonction f en (x , y , z ). 0 0 0 Exercice 16 Contrôler ce résultat en calculant "à la main" un développement limité à l'ordre 1 des fonctions suivantes : 1. f (x, y) = x (x + y). 2. f (x, y, z) = ze . 2 xy 2 [pv042] La somme et le produit de deux fonctions de classe C sur U , sont des fonctions de classe C sur U ; cela résulte des mêmes règles que sur les dérivations de fonctions d'une seule variable. Remarque 3. Dénition 13. 1 1 Avec les notations précédentes, l'application linéaire : df(x0 ,y0 ,z0 ) : (h, k, l) 7→ ∂f ∂f ∂f (x0 , y0 , z0 )h + (x0 , y0 , z0 )k + (x0 , y0 , z0 ) ∂x ∂y ∂z est appelée diérentielle (ou application linéaire tangente) de f au point (x , y , z ). 0 0 0 VI.C Notation diérentielle On remarque que la diérentielle de la première projection p : (x, y, z) 7→ x est p elle-même dp : (h, k, l) 7→ h En calcul diérentiel, on note plutôt dx cette dernière application. On fait de même pour la deuxième et la troisième projection. Et on se souviendra donc que : dx : (h, k, l) 7→ h = diérentielle de la première projection = première projection dy : (h, k, l) 7→ k = diérentielle de la deuxième projection = deuxième projection dz : (h, k, l) 7→ l = diérentielle de la troisième projection = troisième projection Avec les notations précédentes, on a : 1 1 1 df (x0 ,y0 ,z0 ) d C'est une égalité dans L(R , R), où df base de L(R , R). 3 3 d d ∂f ∂f ∂f (x0 , y0 , z0 ) x + (x0 , y0 , z0 ) y + (x0 , y0 , z0 ) z ∂x ∂y ∂z = (x0 ,y0 ,z0 ) apparaît comme combinaison linéaire de dx, dy et dz, qui forment une 8 VI.D Gradient Dénition 14. On dénit le gradient de l'application f : U → R par : ∇f(x0 ,y0 ,z0 ) ∂f (x0 , y0 , z0 ) ∂x ∂f (x0 , y0 , z0 ) = ∂y ∂f (x0 , y0 , z0 ) ∂z Le gradient est un vecteur de R . Si →−u est le vecteur de R de coordonnées (h, k, l) : 3 3 − ∇f(x0 ,y0 ,z0 ) . → u = ∂f ∂f ∂f (x0 , y0 , z0 )h + (x0 , y0 , z0 )k + (x0 , y0 , z0 )l ∂x ∂y ∂z Exercice 17 Donner le gradient, puis le développement limité à l'ordre 1 au point (2, 0, ) de la fonction π 3 f : (x, y, z) 7→ ex 2 y sin(xz) [pv043] VII C1 Composition de fonctions de classe Les fonctions envisagées dans ce paragraphe, qu'elles soient d'une ou plusieurs variables, sont toutes de classe C , donc diérentiables en tout point de leur ouvert de dénition. 1 VII.A Dérivée de la fonction ϕ : t 7→ f (x(t), y(t)) Ce paragraphe est extrêmement important! Soient U un ouvert de R et f : U → R, de classe C . Soient I un intervalle de R, et g : I → U , également de classe C . ϕ est dénie comme la composée de la fonction g : t 7→ (x(t), y(t)), de I dans U , et de la fonction f : (x, y) 7→ f (x, y), de U dans R. Ce qu'on peut schématiser par : 2 1 1 g Le but est de calculer ϕ (t ), pour t 0 0 ϕ(t0 + h) 0 ∈I . f ϕ : t 7→ (x(t), y(t)) 7→ f (x(t), y(t)) = f (x(t0 + h), y(t0 + h)) = f x(t0 ) + x0 (t0 )h + o(h), y(t0 ) + y 0 (t0 )h + o(h) d = f (x(t0 ), y(t0 )) + f(x(t0 ),y(t0 )) x0 (t0 )h + o(h), y 0 (t0 )h + o(h) +o (x0 (t0 )h + o(h), y 0 (t0 )h + o(h)) Le o(k . . . k) est un o(h), et le terme intermédiaire, compte-tenu de la linéarité de df peut s'écrire : h df (x (t ), y (t )) + o(h) Il reste : ϕ(t + h) = f (x(t ), y(t )) + h df (x (t ), y (t )) + o(h), c'est-à-dire : ϕ(t + h) = ϕ(t ) + h df (x (t ), y (t )) + o(h) Le terme qui, dans le second membre, est en facteur de h, n'est autre que la dérivée de ϕ au point t . On a donc : ϕ (t ) = df (x (t ), y (t )) Si maintenant on exprime cette diérentielle à l'aide des dérivées partielles, on a le résultat nal : (x(t0 ),y(t0 )) 0 (x(t0 ),y(t0 )) 0 0 0 (x(t0 ),y(t0 )) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (x(t0 ),y(t0 )) 0 0 0 0 0 0 ϕ0 (t0 ) = D'où le théorème : 0 (x(t0 ),y(t0 )) 0 0 0 0 ∂f ∂f ((x(t0 ), y(t0 )) × x0 (t0 ) + ((x(t0 ), y(t0 )) × y 0 (t0 ) ∂x ∂y 9 Théorème 9. Si ϕ(t) = f (x(t), y(t)), les fonctions intervenant étant de classe C , on a : 1 ϕ0 (t) = ∂f ∂f ((x(t), y(t)) × x0 (t) + ((x(t), y(t)) × y 0 (t) ∂x ∂y VII.B Dérivées partielles de la fonction ψ : (u, v) 7→ f (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) On suppose que f , ainsi que les fonctions : (u, v) 7→ x(u, v), (u, v) 7→ y(u, v), (u, v) 7→ z(u, v), sont de classe C . Alors ψ est de classe C , et pour ses dérivées partielles, on applique ce qui précède : 1 1 ∂ψ (u, v) ∂u ∂x (u, v) ∂u ∂z ∂y (u, v) + D3 f (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) × (u, v) +D2 f (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) × ∂u ∂u ∂x ∂ψ (u, v) = D1 f (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) × (u, v) ∂v ∂v ∂y ∂z +D2 f (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) × (u, v) + D3 f (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) × (u, v) ∂v ∂v = D1 f (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) × VII.C Deux exemples d'équations aux dérivées partielles du premier ordre Deux types de changement de variable sont au programme pour résoudre ce type d'équation : le changement de variable ane, et le changement de variable en coordonnées polaires. Exercice 18 Trouver toutes les fonctions f ∈ C (R , R) telles que 1 2 ∀(x, y) ∈ R2 , ∂f ∂f (x, y) = (x, y) ∂x ∂y Indication : calculer les dérivées partielles de la fonction g dénie par : g(u, v) = f 1 2 (u + v), 12 (u − v) . [pv044] Exercice 19 Résoudre, à l'aide d'un passage en coordonnées polaires, l'équation d'inconnue f :]0; +∞[×R → R suivante (E) x ∂f ∂f +y − f = −x2 − y 2 ∂x ∂y Indication : il s'agit de poser (x, y) = (r cos θ, r sin θ) avec (r, θ) ∈ U =]0, +∞[× i − π2 , π2 h , et : ϕ(r, θ) = f (r cos θ, r sin θ) [pv049] VIII Dérivées partielles d'ordre supérieur à 1 VIII.A Théorème de Schwarz Soit f : U → R avec U ouvert de R (n = 2 pour simplier). Si f est de classe C sur U , on peut parler des fonctions ∂f et ∂f , qui sont des fonctions de U dans R. Ces deux ∂x ∂y fonctions peuvent avoir des dérivées partielles sur U : ∂ f ∂ ∂f ∂ f ∂ ∂f ∂ f ∂ f , noté , noté , ∂x ∂y ∂x ∂y∂x ∂x ∂y ∂x∂y ∂y 2 1 2 2 2 2 2 2 10 Le théorème de Schwarz (admis) dit que si ces fonctions dérivées partielles secondes sont continues sur U , alors : 2 ∂2f ∂2f = ∂y∂x ∂x∂y Plus généralement, si f est de classe C , c'est-à-dire lorsque toutes les dérivées partielles jusqu'à l'ordre k sont des fonctions continues sur U , alors l'ordre des dérivations n'a pas d'importance. ∂ f ∂ f C'est non trivial : pour s'en convaincre, il sut de détailler les calculs de ∂y∂x et de ∂x∂y lorsque f (x, y) = Arctan , avec (x, y) ∈ U =]0, +∞[×R. k 2 2 y x VIII.B Un exemple d'équation aux dérivées partielles d'ordre 2 Exercice 20 On considère l'équation aux dérivées partielles ∂2f ∂2f ∂2f −4 +4 2 =0 2 ∂x ∂x∂y ∂y (E) On fait le changement de variable : u = y + αx, v = y + βx et ϕ(u, v) = f (x, y). 1. Déterminer une condition sur α et β pour que l'équation (E) soit équivalente à une équation du type ∂∂vϕ = 0. 2. En déduire les solutions de l'équation. 2 2 [pv064] VIII.C Calcul du laplacien en coordonnées polaires Soit V =]0, +∞[×R. On considère une fonction f : (x, y) 7→ f (x, y), de classe C sur V , à valeurs dans R. i h On pose maintenant U =]0, +∞[× − , . Si (r, θ) ∈ U , on a (x, y) = (r cos θ, r sin θ) ∈ V , et l'application (r, θ) 7→ (x, y) ainsi dénie est une bijection de classe C de U dans V . On dénit alors la fonction ϕ par : 2 π 2 π 2 ∞ ϕ: On appelle laplacien U → R (r, θ) 7→ f (r cos θ, r sin θ) de f la fonction ∆f dénie par : ∆f (x, y) = ∂2f ∂2f (x, y) + 2 (x, y) 2 ∂x ∂y Et on se propose, dans l'exercice suivant, d'exprimer ∆f (x, y) en fonction de r, de θ, et des dérivées partielles de ϕ. Exercice 21 On a : ∂ϕ (r, θ) ∂r = cos θD1 f (r cos θ, r sin θ) + sin θD2 f (r cos θ, r sin θ) = cos θD1 f (x, y) + sin θD2 f (x, y) 1. Calculer pareillement . 2. En déduire D f (x, y) en fonction de r, θ, et des dérivées partielles premières de ϕ (équation qu'on notera (1)), et de même D f (x, y) en fonction de r, θ, et des dérivées partielles premières de ϕ (équation (2)). y) = α(r, θ) (1) 3. f (x, y) = ϕ(r, θ) équation (0) nous a donc conduits aux équations (1) et (2) : DD ff (x, (x, y) = β(r, θ) (2) En appliquant les mêmes formules, calculer maintenant D f (x, y) et D f (x, y) en fonction de r, θ, et des dérivées partielles premières de α et β. 4. Calculer D f (x, y) et D f (x, y) en fonction de r, θ, et des dérivées partielles de ϕ. 5. En déduire que : ∂ϕ ∂θ 1 2 1 2 11 11 22 22 ∆f (x, y) = ∂2ϕ 1 ∂ϕ 1 ∂2ϕ (r, θ) + (r, θ) + 2 2 (r, θ) 2 ∂r r ∂r r ∂θ [pv028] 2. on dit alors que f est de classe C 2 sur U . 11 IX Extremum local d'une fonction de deux variables IX.A Dénition Dénition 15. Soient U un ouvert de R , f ∈ C (U, R), et (a, b) un point de U . On dit que f présente un maximum local en (a, b) s'il existe un disque D centré en (a, b) tel que : 2 1 ∀(x, y) ∈ D, f (x, y) 6 f (a, b) On dit que f présente un minimum local en (a, b) s'il existe un disque D centré en (a, b) tel que : ∀(x, y) ∈ D, f (x, y) > f (a, b) IX.B Tout extremum local est un point critique Théorème 10. f a un extremum local en (a, b) =⇒ ∂f ∂f (a, b) = (a, b) = 0 ∂x ∂y Un point tel que (a, b) où le gradient de f est nul, est appelé , ou point singulier. point critique Il sut de voir que les fonctions partielles t 7→ f (t, b) et t 7→ f (a, t) sont dérivables, et présentent un extremum, respectivement en a et en b. Démonstration. Il est essentiel que U soit ouvert, car si U n'était pas ouvert, on pourrait avoir un extremum en un point de la frontière, sans nullité des dérivées partielles. La situation est donc la même que pour les fonctions de R dans R : la nullité de la dérivée en un point a n'entraîne pas que la fonction présente un extremum en a, et la fonction peut avoir un extremum à l'extrémité fermée d'un intervalle sans que sa dérivée y soit nulle. Un exemple de point frontière qui est extremum et n'est pas critique apparaît dans l'exercice qui suit. Remarque 4. Exercice 22 Soit f dénie pour tout (x, y) ∈ R par f (x, y) = x + y − (y − x) . 1. Déterminer les points critiques de f . 2. f a-t-elle des extremums globaux sur R ? 3. On s'intéresse à la restriction de f au disque fermé de centre O et de rayon 1. (a) Expliquer pourquoi la restriction de f à ce disque a un minimum et un maximum. (b) Montrer que si f admet un extremum à l'intérieur du disque, il est nécessairement atteint en (0, 0). En étudiant le signe de t 7→ f (t, 0) et de t 7→ f (t, t) lorsque t tend vers 0, montrer que (0, 0) n'est pas un extremum local. Conclure. (c) On pose g(θ) = f (cos θ, sin θ). Étudier les variations de g. En déduire le minimum et le maximum de f sur le disque fermé de centre O et de rayon 1.. 2 4 4 2 2 [pv048] Exercice 23 Soit k > 0. Quel est le maximum de xyz sachant que x > 0, y > 0, z > 0, et x + y + z = k ? Exercice 24 On veut construire une boîte parallélépipédique sans couvercle de volume la surface. 12 1 2 m3 [pv045] . Trouver les dimensions qui minimisent [pv046] X Applications géométriques X.A Tangente et normale en un point régulier d'une ligne de niveau Considérons une fonction F , dénie sur un ouvert U inclus dans R . On suppose que F est de classe C sur U , ce qui signie que les fonctions : ∂F ∂F (x, y) et (x, y) 7→ (x, y) (x, y) 7→ ∂x ∂y existent et sont continues sur U . Soit λ ∈ R xé. On considère l'ensemble des points M de U dont les coordonnées x et y vérient : 2 1 F (x, y) = λ Cet ensemble, s'il n'est pas vide, est en général une courbe (on l'admet), qu'on appelle F correspondant à la valeur λ. Exemple 5. Si F est un polynôme de degré 1 en x et y (ie F (x, y) = ax + by + c avec (a, b) 6= (0, 0)), alors les lignes de niveau de F sont les droites du plan. Les notations restent les mêmes. Soit C la courbe d'équation F (x, y) = λ. Un point M de C , de coordonnées x et y est dit lorsque les dérivées partielles (x , y ) et (x , y ) ne sont pas toutes deux nulles. Autrement dit : → − M est régulier ⇐⇒ ∇F 6= 0 On prouve (et nous l'admettons) qu'au voisinage du point→−régulier M , la courbe C peut être localement paramétrée : plus précisément, il existe un arc paramétré régulier (I, f ) de classe C , dont le support coïncide localement avec la −−−→ → courbe C . En particulier, il existe t ∈ I tel que OM = −f (t ) ; et si l'on note →−f (t) = x(t)→−i + y(t)→−j , on a : ligne de niveau de λ 0 ∂F ∂x régulier 0 0 ∂F ∂y 0 0 0 λ 0 0 M0 déf 0 λ 1 λ 0 0 0 ∀t ∈ I, F (x(t), y(t)) = λ Si on dérive par rapport à t cette dernière relation, on obtient : ∀t ∈ I, Pour le point M , cela donne : 0 ∂F ∂F (x(t), y(t))x0 (t) + (x(t), y(t))y 0 (t) = 0 ∂x ∂y → − (∇FM0 | f 0 (t0 )) = 0 On voit que le vecteur gradient est orthogonal à la tangente, et on a donc le résultat suivant Théorème 11. En un point régulier M d'une ligne de niveau d'équation F (x, y) = λ, le vecteur ∇F est un vecteur directeur de la normale (c'est à dire orthogonal à cette ligne de niveau). 0 Remarque 5. M0 On admet qu'il est orienté dans le sens des valeurs croissantes de f . Exercice 25 Soit a > 0. On donne la courbe (Γ) d'équation : x(x + y ) = a(y − x ) 1. Déterminer l'ensemble des points réguliers de (Γ). 2. Former l'équation de la tangente en un point régulier (x , y ). 3. On coupe (C) par la droite D : y = tx (t étant un paramètre xé). Donner en fonction de t les coordonnées des points d'intersection. En déduire une paramétrisation de (Γ). 2 2 2 0 2 0 t [pv032] 13 X.B Plan tangent à une surface en un point régulier On considère une surface dénie par une équation cartésienne f (x, y, z) = 0. Le plan tangent en un point régulier M d'une surface d'équation f (x, y, z) = 0 est le plan passant par et orthogonal à ∇f . Dénition 16. M0 0 M0 Cette dénition est naturelle car on a vu que ce plan contient les tangentes en M de toutes les courbes tracées sur (S) et passant par ce point. 0 Exercice 26 ∂g ∂g Soit g une fonction de classe C sur R . On note p = ∂x (x , y ) et q = (x , y ). ∂y Donner l'équation du plan tangent à la surface z = f (x, y) au point M (x , y , z ) en fonction de x , y , z , p et q. 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 [pv033] Exercice 27 Soit f la fonction dénie sur R par f (x, y) = x − 2y . 1. Déterminer l'équation du plan tangent P au graphe G de f en un point quelconque M de G . 2. Pour le point M de coordonnées (2, 1, 2), déterminer tous les points M tels que le plan tangent en M soit parallèle àP . 2 2 3 M0 f 0 f 0 M0 [pv058] 14