Spécialité Terminale S IE4 Nombres premiers entre eux - PGCD S1 2015-2016 Soit n un entier strictement supérieur à 1. On pose : A = n – 1 et B = n² - 3n + 6 1) Enoncer le lemme d’Euclide 2) En utilisant le lemme d’Euclide, montrer que le PGCD de A et B est égal au PGCD de A et 4. 3) Déterminer, suivant les valeurs de n, le PGCD de A et B. n² - 3n + 6 4) Pour quelles valeurs de l’entier n le nombre est-il un entier naturel ? n-1 Spécialité Terminale S IE4 Nombres premiers entre eux - PGCD S2 2015-2016 Soit n un entier naturel strictement supérieur à 1. On pose : A = n + 1 et B = n² - 2n + 2 1) Enoncer le lemme d’Euclide 2) En utilisant le lemme d’Euclide, montrer que le PGCD de A et B est égal au PGCD de A et 5. 3) Déterminer, suivant les valeurs de n, le PGCD de A et B. n² - 2n + 2 4) Pour quelles valeurs de l’entier n le nombre est-il un entier naturel ? n+1 1 Spécialité Terminale S IE4 Nombres premiers entre eux - PGCD CORRECTION S1 2015-2016 Soit n un entier strictement supérieur à 1. On pose : A = n – 1 et B = n² - 3n + 6 1) Enoncer le lemme d’Euclide 2) En utilisant le lemme d’Euclide, montrer que le PGCD de A et B est égal au PGCD de A et 4. 3) Déterminer, suivant les valeurs de n, le PGCD de A et B. n² - 3n + 6 4) Pour quelles valeurs de l’entier n le nombre est-il un entier naturel ? n-1 1) Soit a, b, q et r des entiers naturels. Si a = bq + r alors PGCD(a ;b) = PGCD(b ;r). 2) B – (n – 2)A = n² - 3n + 6 – (n – 2)(n – 1) = n² - 3n + 6 – n² + 3n – 2 = 4 On a donc d’après le lemme d’Euclide : PGCD(A ;B) = PGCD(A ;B – (n – 2)A) = PGCD(A;4) 3) Le PGCD de A et B vaut donc 1, 2 ou 4. Si n est pair, alors A = n – 1 est impair et PGCD(A ;B) = 1 Si n est impair et n – 1 n’est pas un multiple de 4 (c'est-à-dire si le reste de la division euclidienne de n par 4 est 3 ou n = 4k + 3 avec k entier) alors PGCD(A ;B) = 2 Si n est impair et n – 1 est un multiple de 4 (c'est-à-dire si le reste de la division euclidienne de n par 4 est 1 ou n = 4k + 1 avec k entier) alors PGCD(A ;B) = 4 n² - 3n + 6 B 4) = est un entier si n – 1 divise n² - 3n + 6. Soit PGCD(A ;B) = A n-1 A On a donc A = 1 ou A = 2 ou A = 4 Soit n = 2 ou n = 3 ou n = 5 n² - 3n + 6 est un entier si n = 2 ou 3 ou 5. n-1 2 Spécialité Terminale S IE4 Nombres premiers entre eux - Bézout CORRECTION S2 2015-2016 Soit n un entier naturel strictement supérieur à 1. On pose : A = n + 1 et B = n² - 2n + 2 1) Enoncer le lemme d’Euclide 2) En utilisant le lemme d’Euclide, montrer que le PGCD de A et B est égal au PGCD de A et 5. 3) Déterminer, suivant les valeurs de n, le PGCD de A et B. n² - 2n + 2 4) Pour quelles valeurs de l’entier n le nombre est-il un entier naturel ? n+1 1) Soit a, b, q et r des entiers naturels. Si a = bq + r alors PGCD(a ;b) = PGCD(b ;r). 2) B – (n – 3)A = n² - 2n + 2 – (n – 3)(n + 1) = n² - 2n + 2 – n² + 2n + 3 = 5 On a donc d’après le lemme d’Euclide : PGCD(A ;B) = PGCD(A ;B – (n – 2)A) = PGCD(A;5) 3) Le PGCD de A et B vaut donc 1 ou 5. Si A est un multiple de 5 (A = 5k et n = 5k – 1) alors PGCD(A ;B) = 5. Si A n’est pas un multiple de 5 (A ≠ 5k et n ≠ 5k - 1) alors PGCD(A ;B) = 1 n² - 2n + 2 4) est un entier si n + 1 divise n² - 2n + 2. Soit PGCD(A ;B) = A n+1 On a donc A = 1 ou A = 5 Soit n = 0 ou n = 4 n² - 2n + 2 est un entier si n = 0 ou 4. n+1 3