énoncé

Psi 945 2016/2017
DM 3
http://blog.psi945.fr
À rendre le jeudi 13 octobre 2016
1
Des boules
Une urne contient deux boules blanches et huit boules noires.
1. Un joueur tire successivement, avec remise, cinq boules dans cette urne. Pour chaque boule blanche
tirée, il gagne 2 points, et pour chaque noire tirée il perd 3 points.
On note respectivement X et Y les variables aléatoires représentant le nombre de boules blanches
tirées et le gain du joueur.
(a) Qualitativement, le joueur va-t-il être plutôt gagnant ou plutôt perdant, en moyenne?
(b) Déterminer la loi de X , son espérance et sa variance .
(c) Déterminer la loi de Y , son espérance et sa variance.
2. On suppose maintenant que les cinq tirages successifs sont sans remise.
(a) Déterminer la loi de X .
(b) Déterminer la loi de Y .
(c) Comment, avec Python, évaluer (numériquement) l'espérance de Y ?
3. Facultatif : dans le cadre de la première expérience, retrouver l'espérance de X et celle de Y avec
1
votre simple bon sens, en oubliant les formules compliquées et les lois bizarres 2.
2
Algèbre linéaire : des constructions explicites
1. On travaille ici dans E = R ; on pose f = (1, 2, 3, 4), f = (−1, 2, −3, 4), et f = (4, 3, 2, 1).
(a) Montrer que H = Vect(→−f , →−f , →−f ) est un hyperplan de E.
(b) En donner une équation, c'est-à-dire une forme linéaire dont→− H→− est→− le→−noyau. →−
4
1
1
2
2
3
3
On pourra par exemple s'intéresser au rang de la famille− (f , f , f , v ), avec
un vecteur générique : à quelle condition (sur ce rang) →
v est-il dans H ?
1
2
3
v = (x, y, z, t)
(c) Donner un supplémentaire de H .
(d) →
Donner
une/des condition(s)
nécessaire(s) et susante(s) simple(s) sur (x, y, z, t) pour avoir
−
→
− →
−
f = (x, y, z, t) ∈ Vect( f , f ).
→
− →
− →
−
1
2
On pourra à nouveau raisonner sur le rang de
f1 , f2 , f
(e) On dénit →−g = (−1, −5, 7, −5). Donner une base de
.
.
→
− →
−
→
− −
Vect( f1 , f2 ) ∩ Vect( f3 , →
g)
     
1
3
−1
 2  4  0 
     
 1  , 1 ,  1 
     
−1 1 −3
1
2
0
2. Dans F = R , donner un supplémentaire du sous-espace engendré par
5
.
On pourra pivoter sur les colonnes jusqu'à obtenir un système échelonné puis interpréter géométriquement le résultat avant d'aller plus loin.
3. Dans G = R [X], on considère les quatre polynômes P = 1 + X + X + 2X , P = 1 + 2X +
X − X , P = X − X + X + X et P = 1 + 2X − 3X + X . Extraire de (P , P , P , P ) une
famille libre maximale, puis compléter cette famille libre en une base de G.
4
3
4
3
2
1
2
3
4
3
4
1. Vous pouvez bien entendu utiliser les résultats de cours de première année.
2. Disons avec un vocabulaire utilisable face à l'homme de la rue !
1
4
3
2
2
1
2
3
4
3
Nilpotents en petite dimension
E désigne ici un K-espace vectoriel de dimension nie, et on s'intéresse aux endomorphismes nilpotents
de E, c'est-à-dire aux u ∈ L(E) vériant u = 0 pour un certain p ∈ N.
1. Montrer que si p est le plus petit entier strictement positif tel que u = 0 (on dit alors que p
l'indice de nilpotence de u), alors il existe x ∈ E tel que x , u(x ), · · · , u (x ) est libre. Que
peut-on en déduire sur p ?
2. Montrer que si p est l'indice de nipotence de u, alors Im (u ) est un sous-espace de Ker u qui
n'est pas réduit à {0 }.
3. On suppose ici que E est de dimension 2 et que u ∈ L(E) est non-nul
et nilpotent. Montrer qu'il
existe une base de E telle que la matrice de u dans cette base est 00 10 .
p
p
0
0
p−1
0
0
p−1
E
On pourra prendre un vecteur en dehors du noyau, ainsi que son image par u...
4. On suppose ici que E est de dimension 3 et que u ∈ L(E) est non-nul et nilpotent.
(a) Montrer que l'ordre de nilpotence de u vaut 2 ou 3.
(b) On suppose ici que l'ordre de nilpotence est 2. Montrer que Im u est strictementinclus dans

0 1 0
Ker u. En déduire qu'il existe une base de E dans laquelle la matrice de u est N = 0 0 0.
1
0
0
0
On pourra choisir un vecteur en dehors du noyau, considérer son image par u, et prendre un
dernier vecteur dans le noyau mais pas dans l'image!
(c) On suppose ici que l'ordre de nilpotence
deu est 3. Montrer qu'il existe une base de E dans

0 1 0
laquelle la matrice de u est N = 0 0 1.
0 0 0
(d) Montrer qu'il n'existe pas v ∈ L(E) et deux bases E et F de E telles que Mat(v, E) = N et
Mat(v, F) = N .
5. On supposecette fois queE est de dimension 4, et on considère les matrices:

2
1
2
0
0
N1 = 
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
N = 
1 2 0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
N = 
0 3 0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
N = 
0 4  0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0

1
0
(a) (Facile) Calculer le rang et l'indice de nilpotence de chacune de ces matrices.
(b) Montrer qu'il ne peut exister u ∈ L(E) ayant pour matrice N dans une base et N dans une
autre.
(c) De même, montrer que si 1 6 i < j 6 4, il ne peut exister u ∈ L(E) ayant pour matrice N
dans une base et N dans une autre.
(d) (Question dicile et optionnelle) Soit u ∈ L(E) nilpotent. Montrer qu'il existe une base de E
dans laquelle la matrice de u est l'une des quatre matrices N vues plus haut.
6. On termine par les matrices nilpotentes de M (R).
(a) Montrer que les matrices



1
2
i
j
i
5
0
0

A=
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0

0

1
0
et
0
0

B=
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0

0

1
0
sont semblables, c'est-à-dire, au choix :
il existe P ∈ GL (R) telle que P AP = B ;
si on note u l'endomorphisme (de R ) canoniquement associé à A, alors il existe une base
de R dans laquelle la matrice de u est B.
(b) Exhiber 6 matrices nilpotentes non nulles de M (R) dont on montrera qu'elles ne sont pas
semblables.
5
−1
5
5
5
2