T - Université Paris 13

Université Paris-Nord
Marchés Financiers et Gestion des Risques
Master 1 « Economie et Finance internationales »
et « Modélisation de l’économie et de la finance
internationales »
Jean-Michel Courtault
9. Gestion des risques
“Robert Thornton, a professor of economics at Lehigh University in Bethlehem, PA,
has compiled a list, the Lexicon of Inconspicuously Ambiguous Recommendations,
of useful phrases for letters of recommendation on marginally qualified or
unqualified candidates. Thornton's AEA listing gives his specialty as Public
Employee Bargaining.
Some examples from LIAR:
For a lazy candidate: In my opinion, you will be very fortunate to get this person to
work for you.
To describe a person who is totally inept: I most enthusiastically recommend this
candidate with no qualifications whatsoever.
To describe an ex-employee who had problems getting along with fellow workers: I
am pleased to say that this candidate is a former colleague of mine.
To describe a candidate who is so unproductive that the job would be better left
unfilled: I can assure you that no person would be better for the job.
To describe a job applicant who is not worth further consideration: I would urge
you to waste no time in making this candidate an offer of employment.
To describe a person with lackluster credentials: All in all, I cannot say enough good
things about this candidate or recommend him too highly. “ (cité par Preston
McAfee, Introduction to Economic Analysis)
Quels risques?
• On distingue 4 catégories de risque:
1. Les risques de marché:
a) L’incertitude liée à la structure des taux d’intérêt
b) L’incertitude liée au taux de change
c) L’incertitude liée au marché des actions
d) L’incertitude liée au prix des matières premières
2. Le risque de crédit souvent représenté par le risque de faillite ou de
détresse financière.
3. Les risques opérationnels liés à l’activité (trader malhonnête pour
une banque)
4. Le risque de modèle dû à un excès de confiance dans les modèles
de calculs de risques qui ne prennent pas en compte l’imbrication
des sources de risque, qui appréhendent mal les problèmes de
liquidité et qui sous-estiment la fréquence et l’amplitude des
évènements rares.
La mesure du risque
• La mesure de risque repose sur le couple moyenne-variance utilisé
par Markowitz dans les années 50 pour analyser la gestion de
portefeuille. Cette approche repose sur l’hypothèse que les
rentabilités des actifs financiers suivent une loi normale. Cette
hypothèse résulte du Théorème Central Limite de Laplace qui dit que
la somme (ou la moyenne) de n réalisations indépendantes d'un
même processus, tant que la variance est finie, converge vers une
distribution gaussienne lorsque n devient indéfiniment grand. Nous
voyons déjà ici pourquoi l'utilisation de cette loi pour la plupart des
mesures de risque peut se révéler assez approximative. En période de
turbulences du marché, il est tout à fait impossible de continuer à
supposer que les tirages sont indépendants.
• La distribution de probabilité d’une distribution normale est
caractérisée par la moyenne et la variance:
1 n
µ = Ε[X ] ← µ̂ = ∑ Obsi
n i =1
[
σ = Ε (X − µ )
2
2
]
1 n
2
ˆ
(
)
← σˆ =
Obs
−
µ
∑ i
n − 1 i =1
Distribution normale des rendements
• Le taux de rentabilité annuel pour la période allant de t-1 à t est:
Rt = ln (Pt / Pt −1 )
• La moyenne et l’écart-type pour une période de longueur T est:
µT = µ T et σT = σ T
où µ et σ sont la moyenne et l’écart-type sur base annuelle.
• Les distributions théoriques connues permettent des estimations
rapides des intervalles de confiance:
– Un quantile est la valeur zc telle que la probabilité de réalisations
inférieures à zc de la variable est égale à un pourcentage α.
– Pour une variable aléatoire normale centrée réduite Z (de
moyenne zéro et d’écart-type 1), les valeurs limites zc sont
données par
Pr[− zc ≤ Z ≤ zc ] = c où Z ~ N (0,1)
laissant la même aire de probabilité de chaque côté de la loi de
probabilité pour un degré de confiance donné c.
zc
1.645
1.960
2.241
2.576
3.291
c
90%
95%
98%
99%
99.9%
p
10%
5%
3%
1%
0.1%
Pr[− zc ≤ Z ≤ zc ] = c où Z ~ N (0,1)
zc
1.282
1.645
1.960
2.326
3.090
c
90%
95%
98%
99%
99.9%
p
10%
5%
3%
1%
0.1%
Pr[Z ≥ − zc ] = c où Z ~ N (0,1)
4.00
3.68
3.36
3.04
2.72
2.40
2.08
1.76
1.44
1.12
0.80
0.48
0.16
-0.16
-0.48
-0.80
-1.12
-1.44
-1.76
-2.08
-2.40
-2.72
-3.04
-3.36
-3.68
-4.00
4.00
3.68
3.36
3.04
2.72
2.40
2.08
1.76
1.44
1.12
0.80
0.00%
0.48
0.00%
0.16
0.50%
-0.16
0.50%
-0.48
1.00%
-0.80
1.00%
-1.12
1.50%
-1.44
1.50%
-1.76
2.00%
-2.08
2.00%
-2.40
2.50%
-2.72
2.50%
-3.04
3.00%
-3.36
3.00%
-3.68
3.50%
-4.00
3.50%
• Toute variable aléatoire normale X ~ N(µT, σT) peut être
exprimée comme une fonction linéaire de Z
X = µ T + Zσ T
X ~ N ( µT , σ T )
• Un quantile est la valeur de la variable aléatoire tel que la
probabilité de réalisations inférieures à cette valeur soit
égale à un pourcentage désiré α:
Pr[X ≤ µT + zcσ T ] = α
µT + zc σT est le quantile d’ordre α.
• L’intervalle de confiance d’une variable aléatoire normale
est donné par:
Pr[µT − zcσ T ≤ X ≤ µT + zcσ T ] = c


X − µT
⇒ Pr − zc ≤
≤ z c  = c,
σT


Les distributions observées ne sont pas tout à fait
normales avec une asymétrie vers la gauche ou
vers la droite et un aplatissement anormal qui
produit des queues de distributions épaisses:
– Asymétrie (« Skewness »)
s=
[
Ε (X − µ )
3
σ3
]
– Kurtosis :
k=
[
Ε (X − µ )
4
σ4
]− 3
Le principe de la « Value-at-Risk » (VaR)
• Introduite dans les années 90, le concept de la Value-at-Risk ou
Valeur à Risque donne une estimation de la perte potentielle
(«downside risk») exprimée en termes monétaires d’un portefeuille
soumis à des risques.
• C’est la perte maximale sur un horizon de temps donné de telle sorte
que la probabilité de pertes plus élevées est inférieure à un niveau
pré-spécifié α.
p
Rc
µ ou 0
• Souvenez-vous que l’hypothèse de normalité porte sur les
rendements et non sur les prix des actifs.
• Soit un portefeuille de valeur initiale W0:
– Sa valeur future en t = T est WT = W0 (1+RT) où RT
est le taux de rentabilité du portefeuille sur la
période.
– Wc = valeur la plus basse que ce portefeuille
puisse atteindre avec un degré de confiance c. Ce
degré de confiance est égal à la probabilité que
WT soit supérieure à Wc. Par conséquent, la
probabilité que la valeur future du portefeuille
soit inférieure à cette valeur la plus basse est
égale à α = 1-c:
Pr[WT > Wc ] = c Pr[WT ≤ Wc ] = α = 1 − c
• La Value at Risk est, étant donné un niveau de confiance à
α%, définie par la perte minimale qui peut se réaliser dans
les α% pires cas:
VaRα ( X ) ≡ Min β
β∈ℜ
s.l.c. Prob{X ≤ β} ≥ α
• Deux définitions de la VaR sont possibles sont possibles
suivant que l’on mesure la perte par rapport à sa valeur
initiale ou par rapport à sa valeur attendue:
– VaR absolue: perte par rapport à W0
VaRabs = W0 − Wc = W0 − W0 (1 + Rc ) = −W0 Rc
– VaR relative: perte par rapport à E[WT]
VaRrel = Ε[WT ] − Wc = W0 (1 + µT ) − W0 (1 + Rc ) = −W0 ( Rc − µT )
Avantages
1. C’est une mesure simple à expliquer. La VaR donne
une estimation en euros de la perte potentielle.
2. C’est une solution pour la mesure du risque de
certains dérivés comme les contrats à terme dont la
valeur initiale est nulle et dont le rendement est donc
infini, d’où le besoin de travailler avec des pertes en
valeur et non en %.
3. C’est une mesure du risque total d’un portefeuille. Il
suffit d’ajouter les expositions de chaque position,
pour autant que les corrélations entre les sources de
risques aient été correctement prises en compte.
4. Elle peut être facilement complétée par une analyse
de sensibilité.
• Le calcul de la VaR d’un portefeuille se base sur une
estimation de l’écart-type de sa rentabilité (sous
l’hypothèse qu’elle suit une loi normale):
Pr[WT ≤ Wc ] = Pr[RT ≤ Rc ] = 1 − c = α
• Or,
Pr[RT ≤ Rc ] = Pr[RT ≤ µT − zcσ T ]
• D’où
(
VaRabs = W0 − W0 (1 + µT − zc σT ) = −W0 µT − zc σ T
)
VaRrel = W0 (1 + µT ) − W0 (1 + µT − zc σT ) = W0 ( zc σ T )
Exemples
• Obligations
– À peu près sûr de ne pas perdre toute leur valeur en une seule semaine.
– Pire augmentation attendue du taux d'intérêt à quatre ans dans 6 mois à
compter de maintenant, avec un degré de confiance de 95%: 2,5%
– La VaR à 6 mois d'un investissement de 2000 € dans une obligation à
coupon zéro d’une maturité de 4 ans est
VaR = Investissement × Duration × ∆r95%
= 2000€ × 4 × 2,5%
= 200€
• Vente d'options
– Nous obtenons une prime
– Nous somme exposé à Max( ST − K ,0)
– La perte maximale peut être nettement supérieure à la prime
Le risque financier ≠ la comptabilité des flux entrants & sortants
 Ex: Affaire Baring & Nick Leeson
Les stratégies de protection (ou
d’assurance) avec les options
• Il existe trois sortes de stratégies:
1. Les stratégies nues (« naked positions »): achat ou vente de
l'option sans détenir le sous-jacent.
2. Les stratégies simples de protection ou d'assurance: achat de
call ou de put dans le but de couvrir l'achat ou la vente future
du sous-jacent détenu.
3. Les stratégies à caractère directionnel permettant de gagner
en marché haussier (« bullish») ou baissier «bearish ».
a) Les spreads: achat et vente simultanée d'options identiques sauf
pour leur prix d'exercice.
b) Les straddles: achat (ou vente) d'un call et d'un put identiques.
c) Les strips: achat (ou vente) de deux puts et d'un call identiques.
d) Les strangles: achat (ou vente) d'un put et d'un call, tous les deux
out-of-the-money de prix d'exercice donc différents.
Options
• Formes standard
– Call: droit d'acheter quelque chose demain à un
prix fixé aujourd’hui
• Gain de l'acheteur à l'échéance: Ma ( Sx − K , 0) =( S − K )
• Valeur aujourd'hui: e− rT ΕQ0 ( ST − K )+
– Put: droit de vendre quelque chose demain à un
prix fixé aujourd'hui
• Gain de l'acheteur à l'échéance: Ma ( Kx − S , 0) =( K − S )
• Valeur aujourd'hui : e− rT ΕQ ( K − S )+
T
T
0
T
+
T
T
+
Profils des gains
• Profils des gains à l'échéance des options européennes
Gain à l’échéance
Gain à l’échéance
Prix du sous-jacent
Prix du sous-jacent
Gain à l’échéance
Gain à l’échéance
Prix du sous-jacent
Prix du sous-jacent
Exemple: Assurance avec une option de vente
• Stratégie 1.
– Achat d'une action + un put
• À l'échéance T:
Date
Valeur de l’action
ST<K
K > ST
ST
ST
Value at maturity
K
Valeur du Put
(K - ST)
0
Valeur totale
K
ST
K
ST
Exemple: Une autre stratégie pour atteindre le même résultat
• Stratégie 2
– Acheter un call + placer VA(K)
• À l’échéance T:
Date
ST<K
K > ST
Value at maturity
Strategy 2
Valeur du Call
0
ST - K
Valeur Future(VA(K))
K
K
Valeur totale
K
Call
K
Investment
ST
K
ST
Stratégies de portefeuille: sous-jacent & option d‘achat
Sous-jacent en
position longue & call
en position courte “call
couvert“
Sous-jacent en position
courte & call en position
longue
20
Stratégies de portefeuille: sous-jacent & option
de vente
Sous-jacent en position longue &
put en position longue
Sous-jacent en position courte & put
en position courte
21
Spreads haussiers (Bull spreads) avec des
calls
call en position longue @ X1
X1
ST
X2
call en position courte @ X2
Payoff
ST
ST>X2
X1<ST<X2
ST<X1
Achat Call
ST - X1
Vente Call
X2 - ST
Total
X2 - X1
ST - X1
0
ST - X1
0
0
0
22
Spreads haussiers (Bull spreads) avec
des puts
Put en position courte @ X2
X1
X2
ST
Put en position longue @ X1
23
Spreads baissiers (Bear spreads) avec
des calls
X1
X2
ST
Payoff
ST
Achat Call
ST>X2
X1<ST<X2
ST<X1
ST - X2
0
0
Vente Call
X1 - ST
Total
-(X2 - X1)
X1 - ST
-(ST - X1)
0
0
24
Spreads baissiers (Bear spreads) avec des
puts
X1
ST
X2
payoff
ST
Achat Put
Vente Put
Total
ST<X1
ST - X2
-(ST -X1)
X1 - X2
X1<ST<X2
ST - X2
0
ST - X2
0
0
0
X2<ST
25
Spreads papillon (Butterfly spreads avec
des calls)
Deux
en position
longue
Longcalls
two, short
two
et deux calls en position courte
X1
X2
X3
ST
Payoff
ST
ST<X1
Achat Call@X1
0
X1<ST<X2 ST - X1
Achat Call@X3
Vente Call@X2
0
0
0
0
Total
0
ST - X1
X2<ST<X3 ST - X1
0
-2(ST - X2)
2X2 - X1
X3<ST
ST - X3
-2(ST - X2)
2X2 - X1 - X3
ST - X1
26
Contrats à terme Forward
• Contrat/accord par lequel les parties sont engagées:
– acheter (vendre)
– un actif sous-jacent
– à une date future (l'échéance)
– à un prix de livraison (prix à terme) fixé à l'avance
• Les contrats Forward sont négociés dans le marché over-the-counter
• Ils sont particulièrement développés pour les devises et les taux d'intérêt
• Position:
– Achat à terme = position "LONGUE"
– Vente à terme = position “COURTE"
• Cash-flows:
– t0 : Pas de cash flow
– T : Obligation d’effectuer des transactions
• Marché
– Permet de liquider sa position en procédant à une transaction inverse
• Particularités:
– Règlement en espèces plutôt qu’une livraison physique
Cash flows
• Notations
– ST Prix du sous-jacent à l'échéance
– Ft Prix Forward (prix à la livraison), fixé à l'instant t < T
Position
Initiation
Échéance T
Longue
0
S T - Ft
Courte
0
Ft - ST
• Cash flow initial = 0 : le prix de livraison est égal au prix à terme
• Le risque de crédit existe durant toute la vie du contrat à terme
• Sceller (Locking-in) le résultat avant l'échéance
– En t1: Mettre en œuvre un nouveau contrat à terme en sens inverse
• Ex : Acheter à terme au prix à terme F1
– En t2 (< T ): Vendre à terme au nouveau prix à terme F2
– Gain/perte à l'échéance:
• (ST - F1) + (F2 - ST ) = F2 - F1 aucune incertitude
Définition
•
•
•
Version standard du contrat Forward
– Contrat à terme avec règlement quotidien des gains et des pertes
– Standardisation:
• Maturité
• Valeur nominale du contrat
• Qualité
Négociés sur un marché organisé
– Chambre de compensation
Règlement quotidien des gains et des pertes (évalué aux cours du marché “Marked to
market”)
– Dans un contrat à terme Forward:
• L'acheteur et le vendeur sont face à face pendant la durée du contrat
• Les gains et pertes sont réalisés lorsque le contrat arrive à expiration
• Risque de Crédit
– ACHETEUR ⇔ VENDEUR
– Dans un contrat à terme Futures
• Règlement quotidien des gains et des pertes (évalués aux cours du marché)
• La chambre de compensation garantit l'exécution du contrat: intervient pour
prendre une position contraire à chaque partie
– ACHETEUR ⇔ Chambre de compensation ⇔ VENDEUR
• La répartition dans le temps des cash flows pour un futures est
différente de celle d'un contrat à terme. Dans un contrat à terme, tout
se passe à la date d'échéance. Le cash flow pour l'acheteur (d'un contrat
portant sur une unité du sous-jacent) est égal a la différence entre le
prix spot à la date d’échéance (ST) et le prix à terme fixé initialement en t
= 0 (F0) :
ST – F0 à l’échéance T
• Dans le cas d'un futures, les gains et les pertes sont réglés
quotidiennement. Ce contrat donne donc lieu à des cash flows
quotidiens égaux à la variation du prix du futures. La séquence des cash
flows pour l'acheteur est donc :
Ft - Ft-1 pour t = 1,2, ..., T
• Le prix du futures converge vers le prix comptant à l’échéance (FT = ST) et
donc, la somme des cash flows est identique pour les deux types de
contrats :
(F1 - F0) + (F2 - F1) + … + (F1 - F0) = (FT - F0) = (ST - F0)
• En l'absence d'incertitude sur les taux d'intérêts, les prix de ces deux
formes de contrats sont identiques.
Forwards contre futures
• L'évaluation d'un contrat a terme se fonde sur le principe d'absence
d'arbitrage. Considérons d'abord un contrat portant sur un actif qui ne verse
aucun dividende ou intérêt et qui peut être stocké sans cout (de l'or, par
exemple). Les données nécessaires pour évaluer ce contrat à terme sont les
suivantes:
– le prix unitaire de l'actif sous-jacent (S) ;
– le prix de livraison (X) à l'échéance;
– la taille du contrat (égale à l'unité pour les besoins de la présentation);
– l'échéance du contrat (T années) ;
– le taux d'intérêt r en vigueur sur le marché (nous supposerons qu'il s'agit
d'un taux continu).
• La valeur de marché f du contrat est alors donnée par la formule:
f = S - Xe-rT
Cette expression nous indique que la valeur d'un contrat a terme est égale a
la différence entre la valeur actuelle (calculée sur la base du prix spot) du
montant à livrer (S) dont on soustrait la valeur actuelle du paiement (Xe-rT).
• Le prix a terme est le prix qui annule la valeur du contrat f:
F = S erT
• Le prix à terme est donc égal à la valeur future du prix spot. Si cette
relation n'est pas vérifiée, c’est-à-dire s'il est possible d'acheter ou de
vendre à terme à un prix de livraison X différent de F, deux types
d'arbitrages sont possibles :
– Si X > F : l'arbitrage est appelé cash and carry. Il consiste à
emprunter S, acheter au comptant et vendre simultanément à
terme au prix X. Cette stratégie ne nécessite aucune mise de
fonds. Le profit qui en résulte à l'échéance est:
Profit = +X – S erT > 0
– Si X < F, l’arbitrage est du type reverse cash and carry. Il consiste a
vendre à découvert le sous-jacent, à placer le produit de la vente
et à acheter à terme au prix X. Le profit qui en résulte à l’échéance
est
Profit = S erT – X > 0
• La formule d'évaluation peut être utilisée, moyennant une
légère adaptation, pour des contrats dont le sous-jacent
verse des montants (dividendes ou intérêts) à leurs
détenteur au cours de la période précédent l’échéance du
contrat ou dont le stockage (ou le portage) génère des
coûts. Il convient, dans ce cas, de remplacer le prix spot
par:
S = Prix spot - Valeur actuelles des dividendes ou intérêts +
Valeur actuelle des coûts de stockage
• Si le rendement du sous-jacent (q) et le coût de stockage
(k) sont proportionnels au prix spot, on obtient les
expressions suivantes de la valeur du contrat et du prix à
terme :
f = S e(-q+k)T - Xe-rT
F = S e(r-q+k) T
Contrat à terme sur devise
• Le prix à terme d'une devise peut être calculé en
utilisant la formule générale moyennant
l'interprétation suivante des variables:
– S, le taux de change
– r, taux d'intérêt domestique
– q, taux d'intérêt étranger
–k=0
• Le prix à terme d'une devise est supérieur au prix
spot si le taux d'intérêt domestique (r) est supérieur
au taux d'intérêt de la devise (q).
Futures sur indices boursiers
• II s’agit de contrats a terme permettant d’acheter à terme un
portefeuille dont la composition est identique à la composition de
l'indice. La taille du contrat est égale au niveau de l'indice multiplié
par une valeur monétaire par point d'indice. A titre d'exemple, la
taille d'un futures sur l'indice CAC 40 est égale à 10€ x indice. Le
règlement, à l'échéance, est réalisé en espèce. II n'y a donc pas de
livraison physique des titres mais un règlement de la différence entre
la valeur du portefeuille à l’échéance et la valeur du portefeuille fixée
initialement. Le prix à terme d'un futures sur indice peut être calculé
en utilisant la formule générale avec l’interprétation suivante des
variables :
–
–
–
–
S, niveau de l'indice.
r, taux d'intérêt.
q, rendement en dividendes de l'indice.
k = 0.
Les futures sur obligations
• Ces contrats permettent d'acheter ou de vendre à terme
des obligations d'Etat (sans risque de défaut). Le sousjacent est une obligation notionnelle c'est-a-dire une
obligation aux caractéristiques hypothétiques et qui sert de
référence au contrat. Par exemple, le contrat BUND traité
sur la Deutsche Börse porte sur une obligation versant un
coupon de 6%, venant à échéance dans environ 10 ans et
ayant une valeur nominale de 100 000 €. Le prix coté est
exprimé en pourcentage du nominal. Un prix de 95,60 pour
un contrat venant à échéance dans 6 mois signifie, par
exemple, que l'on paiera, dans 6 mois, 956 000 euros pour
cette obligation. Suivant la convention en vigueur pour les
prix obligataires, les intérêts courus ne sont pas inclus.
• Le calcul des gains et des pertes peut aisément être réalisé
connaissant le tick du contrat. Le tick est la valeur d'une variation de
1 point de base, c'est-a-dire 0,01 %. La valeur du tick pour un futures
sur obligation ayant une valeur nominale de 100 000 euros est égale
à 10€ (=100 000 x 0,01/100). Pour illustrer l'utilisation du tick,
supposons que nous ayons acheté un futures à 95,60. Quelques jours
plus tard, le futures cote 95,70 soit une variation de prix de 10 points
de base. Le gain réalisé s'élèverait dans ce cas à 10 pb x 10 € = 100 €.
• Le sous-jacent est une obligation notionnelle: en cas de livraison à
l’échéance, le vendeur pourra choisir l'obligation physique qu'il livrera
parmi une liste d'obligations disponibles (le gisement). II choisira,
bien entendu, l'obligation la moins chère. Le montant qu'il recevra
sera ajusté par un coefficient appelé facteur de conversion pour tenir
compte des différences de caractéristiques entre l'obligation
physique et l’obligation notionnelle. Ces facteurs de conversion sont
calculés par les Bourses pour toutes les obligations du gisement.
Les futures sur taux d’intérêt
• Considérons l'achat à terme à l’échéance T d'un zérocoupon venant à échéance en T* (T* > *T) et de valeur
r0,T
faciale A. Soit r0,T le taux d'intérêt (spot) aujourd'hui pour
l'échéance T et
le taux d'intérêt pour l’échéance T* (ces
deux taux sont des taux continus). La valeur actuelle de ce
zéro-coupon est calculée en actualisant sa valeur faciale :
S = Ae
*
*
− r0 ,T T
• Le prix à terme est égal à la valeur future du prix spot. Ce
prix détermine le taux d'intérêt à terme (que nous notons
R)
F = Se
− r0 ,T T
(
= Ae
− R T * −T
)
• Le résultat sur cette opération à l'échéance est la
différence entre le prix spot du sous-jacent et le prix
à terme. Or, le prix spot du sous-jacent est calculé
ici en actualisant la valeur faciale sur la base du taux
spot prévalent à l’échéance du contrat rT,T*:
Ae
(
− rT ,T * T * −T
[
)
(
− Ae
− R T * −T
)
(
≈ A (1 − rT ,T * (T − T )) − (1 − R (T − T ))e
*
(
≈ A(R − rT ,T * ) T − T
*
*
)
− R T * −T
)
]
• Un placement à terme dégage un profit si le taux à terme est supérieur au taux
spot à l’échéance du contrat. Notez que cette expression est celle d'un swap
élémentaire: l'acheteur à terme d'un zéro-coupon reçoit un taux fixe d'avance et
paie le taux de marché.
• Un IRF (Interest Rate Futures) permet de réaliser cette opération sur un marché
organisé. Prenons, par exemple, un contrat traité sur EURONEXT - LIFFE. Ses
caractéristiques sont:
– Taille du contrat A = 1 000 000 € ;
– Taux d'intérêt spot sous-jacent r = EURIBOR;
– Durée de calcul des intérêts T* - T = 3 mois.
• La cotation est la différence entre 100 et le taux d'intérêt. Par exemple, un cours de
96,50 correspond à un taux d'intérêt à terme de 100 - 96,50 = 3,50 %. Le cours, à
l'échéance du contrat, est calculé comme la différence entre 100 et le taux
EURIBOR 3 mois prévalent à cette date. Considérons, par exemple, un trésorier qui
achèterait un IRF d’échéance 6 mois à Fo = 96,50. Supposons, qu'à l’échéance du
contrat le taux à 3 mois soit de 4 %. La cotation de l’IRF à l’échéance serait donc FT
= 100 – 4 = 96. Le résultat est:
3
96 − 96,50 3
1000000 ×
× = 1000000 × (3,5% − 4% )× = −1250
100
12
12
• Nous pouvons aboutir au même résultat plus
rapidement en utilisant Le tick du contrat c'est-àdire, la valeur en euros d'un point de base (0,01 %).
Pour I'IRF traité sur EURONEXT-LIFFE, Le tick vaut 25
€ (1000000 x 1/100 x 3/12). Une variation du prix
du futures de -50 pb entraine un resultat de -50 pb
x 25 € = -1250€.
Futures sur marchandises
• Les contrat à terme ou les futures sur marchandises présentent deux
caractéristiques propres. La première est l'importance des coûts de stockage
qui peuvent, pour certaines d'entre elles, être substantiels. Comme les
formules précédentes le montrent, ces coûts ont pour effet d'accroitre la valeur
d'un contrat à terme et le prix à terme. La seconde caractéristique est liée à la
difficulté, voire l'impossibilité, de prendre des positions à découvert sur
certaines marchandises. Rappelons que les formules auxquelles nous avons
abouti sont fondées sur l'impossibilité de pouvoir réaliser les deux types
d'arbitrage, cash and carry et reverse cash and carry. Or, ce second type
d'arbitrage se fonde sur une position à découvert sur le sous-jacent. Encore
faut-il qu'il existe des agents économiques qui détiennent ce sous-jacent et qui
soient prêts à le prêter. Or, pour beaucoup de marchandises, Le sous-jacent est
destiné à la consommation plutôt qu'au stockage. II en résulte qu'un écart peut
apparaitre entre le prix du futures et la valeur qu'il aurait si les arbitrages
reverse cash and carry étaient réalisables. Cet écart apparait dans les formules
d'évaluation sous la forme d'un convenience yield. Le prix à terme s'écrit alors :
F = Se(r+k-y)T
Le risque de base
• La base est définie comme la différence existant entre le
cours du sous-jacent et le prix à terme, à une date donnée
t:
Bt = Ft - St
• Cette différence est connue ex ante. La base théorique
devrait être égale aux coûts de portage nets et c'est
l'existence d'activités d'arbitrage qui la force à refléter cette
valeur. Cette base peut d'ailleurs être positive, négative ou
nulle suivant la nature et l'évolution des coûts de portage.
Quelle qu'en soit la valeur, elle est nulle à l’échéance du
contrat à terme puisque le prix terme converge vers le prix
spot.
Risque de Base: Exemple Numérique r = 10%
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Mois T-t
0 1,000
1 0,917
2 0,833
3 0,750
4 0,667
5 0,583
6 0,500
7 0,417
8 0,333
9 0,250
10 0,167
11 0,083
12 0,000
St
Ft
BASE
100,00 110,52 -10,52
104,42 114,44 -10,02
109,15 118,63 -9,49
111,63 120,32 -8,69
111,75 119,46 -7,70
111,09 117,76 -6,67
106,63 112,10 -5,47
105,06 109,53 -4,47
107,33 110,96 -3,64
106,68 109,38 -2,70
103,50 105,24 -1,74
101,34 102,19 -0,85
101,35 101,35 0,00
ft
0,00
3,58
7,47
9,10
8,36
6,83
1,51
-0,95
0,43
-1,11
-5,19
-8,26
-9,16
L’utilisation des contrats à terme
• Le tableau montre les profils de pertes et profits pour un
acheteur ou un vendeur du sous-jacent désirant se couvrir
ou se protéger. Le résultat intègre le coût initial de
l'instrument qui est nul dans les contrats a terme.
Acheteur du sous-jacent
Vendeur du sous-jacent
A l’échéance
ST < X
ST > X
ST < X
ST > X
Flux lié au
sous-jacent
-ST
-ST
ST
ST
Contrat à
terme
Achat
Vente
Flux du
dérivé (f)
ST -X
ST -X
-(ST -X)
-(ST -X)
Résultat
-X
-X
X
X
• X désigne le prix du contrat à terme qui a été fixé au début du contrat
(X = F0,T), pour ne pas reprendre Ft,T qui est, lui, réévalué à chaque
temps t.
Détermination du ratio de couverture
• Supposons la couverture par futures. La valeur de la position a couvrir est égale à la
taille de la position Q multipliée par le prix unitaire S. Soit n Le nombre de contrats
futures. Notons N la taille d'un contrat et F Le prix du futures. La variation de la
valeur de la position s'écrit :
∆V = Q × ∆S + n × N × ∆F
• Le premier terme reflète la variation de la valeur de la position à couvrir et le
second le résultat sur la position prise en futures. Une couverture est parfaite
quand elle élimine véritablement le risque sur le sous-jacent, imparfaite quand elle
ne fait que le réduire. Pour mettre en place une couverture parfaite, le nombre de
contrats futures est choisi de manière à ce que le gain ou la perte sur la position à
couvrir soit exactement compensé par une perte ou un gain sur les futures. La
variation de la valeur de la position est donc, pour une couverture parfaite : ∆ V =
0. Le nombre de contrats est:
Q ΔS
n=− ×
N ΔF
• Le ratio de couverture h est Le rapport entre la position prise en
futures (le nombre de contrats multiplié par la taille d'un contrat, n x
N) et la position à couvrir.
n×N
h=
Q
• En combinant ces deux relations, nous aboutissons à la conclusion
qu'une couverture parfaite est réalisée si :
- ∆S
h=
∆F
– Le signe « - » qui apparait dans la formule nous indique que la position en
futures doit être l'inverse de la position à couvrir. Si la position à couvrir est une
position longue (un actif), il faut vendre des futures. Si, par contre, la position à
couvrir est une position courte (un passif), il faut acheter des futures.
– Le ratio de couverture est la pente de la relation entre ∆ S et ∆ F. Si ces
variations sont strictement proportionnelles (∆ S = ∆ F), le ratio de couverture
est h = -β.
• En pratique, la couverture peut s'avérer imparfaite
pour plusieurs raisons. Des différences de qualité
peuvent exister, par exemple, dans la position à
couvrir et le sous-jacent du contrat futures. Dans ce
cas, le risque ne peut être totalement éliminé et la
ratio de couverture est choisi pour minimiser la
variance de la position à couvrir.
Cov(ΔS, ΔF)
h=
Var (ΔF)
• Nous trouvons une formule similaire à celle
présentée pour le bêta d'une action. Le ratio de
couverture est la pente de la droite de régression
∆S=β∆F+ε
Les swaps: définition
• Ces contrats permettent d’échanger des flux de nature
différente entre deux parties. Les deux formes de swap les
plus simples (plain vanilla swaps) et les plus courantes sont
les swaps de taux d'intérêt (IRS, interest-rate swaps) et les
swaps de taux de change (CS, currency swaps). Les swaps
sont essentiellement traités de gré a gré (marchés OTC,
over-the-counter) et les contreparties ou intermédiaires
s’exposent donc à un risque de credit.
Le principe et l'évaluation des swaps
de taux d'intérêt
• Les swaps de taux d'intérêt permettent, à deux parties d'échanger pendant
une certaine durée un flux d'intérêts dits flottants (dont Le niveau est revu
fréquemment) contre un flux d'intérêts dits fixes (dont Le niveau est défini
une fois pour toutes sur la durée du contrat). Chacune des parties peut ainsi
modifier une exposition existante en taux fixes vers des taux flottants et
vice versa. Les contreparties n'échangent pas les montants principaux sur
lesquels les intérêts sont calculés puisqu'ils sont équivalents. On parle alors
de montant notionnel qui sert uniquement de référence au calcul du
paiement d'intérêts. Par convention, la partie qui paie le taux fixe et reçoit
le taux flottant est qualifiée d'acheteur. La partie qui paie le taux flottant et
reçoit le taux fixe est qualifiée de vendeur.
• Le taux flottant utilisé comme référence est en général le taux Libor
(London Interbank Offered Rate) auquel vient s'ajouter une prime en points
de base (100 points de base = 1 %). Suivant la fréquence des paiements
flottants, on prend le Libor du terme désiré: trois mois, six mois (le plus
fréquent), douze mois.
Flux échangés lors d'un swap de taux d'intérêt
En t = 0
En t = 1 ... T - 1
En T
aucun échange (taux fixe - taux flottant) aucun échange
• Le taux fixe du swap étant fixe dés le départ, ces
instruments peuvent être vus comme une suite de contrats
à terme sur taux (chaque échéance correspondant à un
échange taux fixe - taux flottant) ou comme l'échange de
deux obligations (appelées «jambes» du swap), l'une fixe et
l'autre flottante. Nous avons, dans ce tableau rajouté à
chaque jambe du swap un remboursement à l’échéance de
manière à faire apparaitre deux obligations classiques: une
obligation à taux fixe et une obligation à taux variable.
Exemple
• Ex: Soit un accord pour recevoir LIBOR à 6 mois & payer un
taux fixe de 5% par an tous les 6 mois pendant 3 ans sur un
montant notionnel de 100 millions de dollars
---------Millions de Dollars--------LIBOR FLOATING
Date
Rate
5 Mars 2007
4,2%
5 Sept. 2007
5 Mars 2008
5 Sept. 2008
5 Mars 2009
5 Sept. 2009
5 Mars 2010
FIXED
Net
Cash Flow Cash Flow Cash Flow
4,8%
+2,10
–2,50
–0,40
5,3%
+2,40
–2,50
–0,10
5,5%
+2,65
–2,50
+0,15
5,6%
+2,75
–2,50
+0,25
5,9%
+2,80
–2,50
+0,30
6,4%
+2,95
–2,50
+0,45
Découpage d'un swap où l'on paie un taux fixe (6%) contre la
réception d'un taux flottant (Libor)
Année
- Jambe fixe
0
1
2
3
4
4 (Remb)
+100
-6%
-6%
-6%
-6%
-100
+ Jambe flottante +100 - Libor - Libor - Libor - Libor
-100
• La valeur du swap est égale à la différence entre les valeurs
des deux jambes c'est-à-dire la différence entre la valeur
d'une obligation à taux flottant et celle d'une obligation à
taux fixe:
VIRSwap = Vflot – Vfix
• Plaçons nous à une date de paiement pour un swap
de montant notionnel égal à 100. Notons R Le taux
fixe et vt Le facteur d'actualisation du paiement à la
date t. La valeur du swap peut s'écrire:
VIRSwap


= 100 −  ∑ R ×100 × v t + 100 × v T 
 t

• Le premier terme est la valeur de la jambe flottante.
Le second terme entre parenthèses est la valeur de
la jambe fixe (la somme des valeurs actuelles des
coupons et de la valeur actuelle du principal à
l'échéance). En t = 0, la valeur du swap est par
définition nulle. Le taux fixe du swap est donc fixe
de manière à ce que la valeur de la jambe fixe soit
égale au montant notionnel du swap
Valorisation d'un titre à taux variable
• La valeur d'un titre à taux variable est égale à sa valeur
nominale à chaque date de paiement (hors intérêts).
• Supposons que la valeur nominale = 100
• À l’instant n: Vflot, n = 100
• À l’instant n-1: Vflot,n-1 = 100 (1+rn-1τ)/ (1+rn-1τ) = 100
• À l’instant n-2: Vflot,n-2 = (Vfloat,n-1+ 100rn-2τ)/ (1+rn-2τ) = 100
• et ainsi de suite ....
Vflot
100
Temps
Calcul du taux d’un Swap
• Valeur d’un swap : fswap =Vfloat - Vfix = M - M [R Σ di
+ dn]
où dt = facteur d'actualisation
• Fixer R de sorte que fswap = 0 ⇒ R = (1-dn)/(Σ di)
• Exemple: maturité 3 ans - Notionel = 100
Taux au comptant (composé en continu)
Maturité
1
2
3
Taux au comptant
4,00% 4,50%
5,00%
Facteur d'actualisation 0,961 0,914
0,861
• R = (1- 0,861)/(0,961 + 0,914 + 0,861) = 5,09%
Le principe et l'évaluation des swaps
de taux de change
• Les swaps de taux de change permettent à deux parties d'échanger
des montants et des paiements d'intérêts dans deux devises
différentes sur une certaine durée de temps
En t = 0
En t = 1 ... T - 1
En T
(taux fixe devise 1 - échange inverse des
échange des montants
taux fixe devise 2)
montants
• Notons qu'il existe une forme hybride appelée « cross-currency
interest-rate swap» qui permet d'échanger des flux d'intérêts fixes et
flottants dans des devises différentes. Le principe d'évaluation est
très semblable à celui d'un swap de taux d'intérêt. La seule différence
réside dans le fait que l'on utilise une structure des taux différente
pour chaque devise et que le plain vanilla currency swap suppose
deux jambes fixes dans deux devises différentes.
• Considérons, par exemple, un swap
de devises dans lequel on paie un
taux fixe libellé en euros et on reçoit
un taux fixe libellé en dollars. Notons
VEuro la valeur (en euro) de la jambe
euro, VDollar la valeur (en dollar) de la
jambe $ et S€$ le taux de change. La
valeur de ce swap s'écrit :
VCurSwap = S€$ × VDollar - VEuro
L’utilisation des swaps
• Un taux d'emprunt net fixe permet à l'entreprise de
connaitre précisément le montant des paiements d'intérêt
jusqu‘à un horizon-temps donné. Or, l'entreprise emprunte
de manière hybride, en mélangeant les emprunts à taux
flottant et à taux fixe. Avec les swaps de taux d'intérêt,
l’entreprise peut convertir ses expositions au taux flottant
en taux fixe sans risque d'évolution.
• Les swaps de taux de change, quant à eux, permettent à
deux parties d'échanger des devises dans des contextes de
régimes de change difficiles, voire impossibles, ou
simplement de fixer une relation d’échange de flux dans
des monnaies différentes en profitant de la facilité d'accès
de chaque entreprise sur son marché.
Les produits hybrides et structurés
•
Les produits structurés sont un mélange d’actifs permettant d’obtenir un certain profil de
profit ou de rendement à l’échéance et ont pour objectif de mieux correspondre à certains
besoins des investisseurs:
1. Les produits de protection du capital permettent de bénéficier d’un plancher
minimum de la valeur du produit en échange d’une prime et/ou d’un plafonnement
des gains possibles. Une partie de l’investissement sert à acheter une obligation hors
risque. Suivant le niveau des taux d’intérêts il reste une fraction plus ou moins grande
(la soulte) qui est investie dans un potentiel de croissance quelconque défini par une
formule plus ou moins complexe qui se révèle être un produit optionnel.
2. Les produits de « yield enhancement » permettent de bénéficier d’un rendement plus
élevé (dans une certaine plage ou selon certaines conditions) que la moyenne en
échange d’un rendement nettement moins élevé si une condition est remplie ou cesse
d’être remplie d’ici l’échéance.
3. Les certificats permettent à des investisseurs d’avoir un produit qui se comporte
comme un certain sous jacent mais en offrant souvent un potentiel de croissance plus
important dans une certaine plage de valeurs ou de rendements du sous-jacent en
échange d’une prime, d’un plafond au gain/rendement maximal ou encore d’un
certain risque accru.
4. Les produits de levier font appel à l’effet de levier de l’endettement et de certaines
stratégies comme la vente de produits dérivés, etc.
Résumé
• La VaR mesure la perte maximale espérée pour un certain degré de confiance et un
certain horizon-temps.
• Il existe trois méthodes principales pour produire une estimation de la VaR : la
méthode var-covar, les simulations historiques, les simulations de Monte-Carlo.
• L’assurance de portefeuille consiste a couvrir les actifs par des options.
• La couverture consiste a utiliser des contrats a terme pour fixer la valeur de
certaines variables. La formule d'évaluation générale d'un contrat futures peut être
vue comme f = Se(-q+k)T - Xe-rT
• Dans un contrat à terme, un risque de base demeure dés que la qualité de sousjacent a couvrir ou l'horizon-temps de l'investissement dans celui-ci ne
correspondent pas avec ceux de l'instrument de couverture.
• Quand un risque de base peut exister, il convient d'utiliser un ratio optimal de
couverture qui minimise la variance du risque:
h=
- Cov(∆St , ∆Ft )
Var (∆Ft )
• Les swaps sont fréquemment utilisés dans la gestion des risques de taux de change
et de taux d'intérêt. Ils sont évalués comme deux jambes obligataires aux
caractéristiques différentes.