Prépa L1 TD 1 de biostat - Poly

Daniel Abécassis.
Année universitaire 2010/2011
Prépa-L1
TD de biostatistiques.
TD 1. Statistiques à une variable.
Exercice 1.
On considère la série suivante :
1. Calculer la moyenne et l’écart type.
2. Calculer la médiane et les quartiles de cette série.
Exercice 2.
Dans cet exercice, il vous ait demandé de calculer
1. La moyenne.
2. L’écart type.
3. Le pourcenatge de valeurs appartenant à l’intervalle [ x − σ ; x + σ ]
Exercice 3.
La répartition par discipline des étudiants en université en 1996 est la suivante :
1. Sachant qu’il y avait 1 456 296 étudiants, déterminer les effectifs de chaque modalité.
2. Faire un diagramme circulaire de cette série.
Exercice 4.
Le 31 décembre dernier, le directeur d’un grand magasin d’électronique a enregistré le montant des
ventes et le nombre des articles vendus, selon le tableau suivant où ni désigne le nombre d’articles
vendus dont le prix exprimé en euros est situé dans l’intervalle correspondant :
1. Donner une valeur approchée de l’étendue, ie la différence entre la plus grande et la plus petite valeur
de cette série.
2. Quelle est la classe modale ?
3. Construire l’histogramme des effectifs cumulés croissant.
4. On fait l’hypothèse que les prix sont répartit de façon uniforme dans chaque classe. Construire une
ligne brisée qui peut remplacer l’histogramme précédent.
5. Déterminer alors une valeur approchée à un euro près de la médiane de cette série. Que représente
cette médiane ?
Exercice 5.
On considère les notes suivantes, obtenues en mathématiques de la dernière session
d’un examen de BTS par les 35 candidats d’un centre d’examen :
1. Regrouper en classe cette série statistique
2. Tracer le diagramme en bâton de cette série.
3. Déterminer une valeur approchée à 0,1 près de la moyenne ainsi que la valeur de la médiane.
4. a. Donner une valeur approchée de l’étendue de cette série.
b. Quel est le pourcentage de notes appartenant à l’intervalle [7,5;13,5] ? quel est approximativement
l’interquartile de cette série ?
c. Donner une valeur approchée à 0,1 près de l’écart type de cette série ?
2
2
d. Déterminer le pourcentage de notes obtenues appartenant à l’intervalle [ x − σ , x + σ ]
3
3
Exercice 6.
Une maison d’édition confie la frappe de ses manuscrits à une entreprise extérieure spécialisée
dans la saisie informatique. Cette entreprise effectue une première saisie du manuscrit qui est envoyée à
l’auteur pour correction des fautes de frappe. On s’intéresse à la population constituée d’un grand
nombre de parties, toutes du même nombre de signes, de la première saisie du document.
De cette population, on extrait un échantillon de 315 parties et on compte sur chacune d’elles le
nombre de fautes de frappe. On a obtenu les résultats suivants, les pourcentages étant arrondis :
1. Construire l’histogramme des fréquences de cette série statistique
2. En utilisant les fréquences cumulées croissantes, tracer le polygone des fréquences cumilées
croissantes.
3. Déterminer la classe médiane.
4. En admettant que la répartition de l’effectif est uniforme à l’intérieur de chaque classe,
déterminer la valeur de la médiane Me. Que représente cette valeur ?
Exercice 7.
Un sondage effectué sur un ensemble de 800 automobilistes et portant sur la dépense semestrielle
relative à le consommation de leurs véhicules a donné les résultats suivants :
1. Construire l’histogramme des effectifs cumulés croissants.
2. Si, dans chaque classe, les éléments sont répartis de manière uniforme, quelle ligne brisée peut
remplacer cet histogramme.
3. En déduire une valeur approchée du nombre d’automobilistes dont la dépense est inférieure ou égale à
700 Euros.
Exercice 8.
Le responsable d’un magasin de vêtements a relevé, pendant une semaine, le montant en euros des
achats de 200 clients. Les résultats figurent dans le tableau suivant :
1. Quel est le pourcentage des clients dont le montant des achats est situé dans l’intervalle [250 ;550]
2. Dresser le tableau des fréquences cumulées croissantes de cette série statistique.
3. Représenter l’histogramme des fréquences cumulées croissantes de cette série. On prendra comme
unités 1 cm pour 50 e sur l’axe des abscisses et 1 cm pour 0,1 sur l’axe des ordonnées.
4. On suppose que, dans chaque classe, les éléments sont répartis de manière uniforme. On peut
remplacer alors l’histogramme par la ligne brisée définie par le point d’abscisse 50 et d’ordonnée 0 et
chacun des sommets supérieurs droits des rectangles.
a. Tracer cette ligne brisée.
On admet que cette série a pour moyenne x = 375 et pour écart type : σ = 131,43
b. Par lecture du graphique précédent, estimer le pourcentage de clients dont le montant des
achats est compris entre x − σ et x + σ
c. Déterminer par le calcul une valeur approchée à un euro près de l’abscisse du point I de la ligne
brisée d’ordonnée 0,5. Vérifier par le graphique.
Que représente cette abscisse ?
Exercice 9.
Le gérant d’un supermarché effectue une enquête sur le montant des achats des clients. Pour cela,
il relève les paiements des 300 clients passés à une caisse au cours de la journée. Le tableau ci-dessous
donne la répartition des montants des achats en euros.
1. Construire le polygone des effectifs. On convient de remplacer la dernière classe par une classe ayant
la même amplitude que la classe adjacente.
2. Déterminer le pourcentage d’achats dont le montant est compris entre 200 F et 700Fr.
3. Calculer la médiane, et les quartiles Q1 et Q3 . En déduire l’intervalle interquartile.
4. Calculer la moyenne et l’écart type.
5. Déterminer le pourcentage des achats appartenant à l’intervalle [ x − σ ; x + σ ]
Exercice 10.
On considère la répartition en pourcentages des agents civils de l’Etat selon le montant de leurs
salaires net mensuels en 1980, en négligeant les salaires au-delà de 15 000F.
Nous admettrons une répartition uniforme à l’intérieur de chaque classe.
1. Tracer l’histogramme des densités de fréquence de cette distribution.
2. Déterminer le mode de cette distribution.
3. Tracer la fonction de répartition empirique.
4. Déterminer la valeur de la médiane Me.
5. Déterminer l’intervalle interquartile.
Exercice 11
Le maire de la commune de « Saint Clocher » (10 000 habitants) vous a accepté en stage d’essai, vu vos
brillants résultats en statistique descriptive. Il vous soumet le tableau ci-dessous, donnant la répatition
f i % ( fréquences relatives) des habitants selon le montant anuuel xi de leurs impôts locaux ( en centaines
d’euros). Malheureusement, des tâches de gras empêchent de lire certaines données ( repéréés par les* cidessous).
Impôts
[2 ;4[
[4 ;6[ [6 ;8[ [8 ;9[
[9 ;10[
[10 ;x*[ [x* ;16[ [16 ;20[ [20 ;40[ [40 ;80[
1
7
12
z*
2
( 10 Euros )
fi %
11
8
19
16
8
3
1/ Vous bondissez sur vos pieds et vous donnez au maire les deux valeurs manquantes du tableau,
aussitôt qu’il vous ait dit se rappeler que la moyenne x des impôts était égale à 14,36 (en 10 2 Euros ) .
2/ Le maire, très content, vous demande la valeur de l’impôt modal et celle de l’impôt médian. Vous
établissez immédiatement un tableau des fréquences cumulées et calculez le mode et la médiane de ctte
distribution.
3/ on vous sert un café très fort et le maire vous demande dans quel intervalle est compris 90% des
effectifs. Vous vous reveillez et calculez immédiatement la valeur de l’écart type σ et répndez alors à la
question du maire.