La fonction L p-adique de Kubota-Leopoldt

http://dx.doi.org/10.1090/conm/174/01852
Contemporary Mathematics
Volume 174, 1994
La fonction L p-adique de Kubota-Leopoldt
BERNADETTE PERRIN-RIOU
RESUME. Depuis sa construction jusqu'a Ia demonstration de Ia "conjecture principale" par Mazur-Wiles puis par Kolyvagin et Rubin, Ia fonction de Kubota-Leopoldt a longuement ete etudiee. Plus generalement,
parallelement aux fonctions L complexes des motifs et aux conjectures
de Bloch-Kato sur leurs valeurs, on peut essayer de comprendre ce que
sont les fonctions L p-adiques des motifs (ou des representations p-adiques
geometriques), comment exprimer les conjectures sur leurs valeurs speciales,
les conjectures principales ([Pa], [Pb]). II est alors nature) de voir ce que
cette etude generate donne sur Ia fonction de Kubota-Leopoldt, c'est ce
que j'ai voulu faire dans Ia note qui suit. J'y reprends ce qui est connu sur
Ia fonction L p-adique attachee a Ia representation de Tate Qp(1) et a ses
"twists'' en utilisant les resultats de [Pa].
PLAN
1. - Rappels.
2. - Quelques formules sur .Cw.
2.1. - Valeur de .Cw en x-i'Tl pour j > 1
2.2. - Valeur de .Cw en x-i'Tl pour j < 0
2.3. - Valeur de .Cw en x- 1"1 et en "1
3. - Fonction de Kubota-Leopoldt.
3.1. - Definition.
3.2. - Valeurs de .CK-L en x-i'Tl
3.3. - "Conjecture" principale.
4. - Cohomologie galoisienne.
4.1. - Notations.
4.2. - Cohomologie galoisienne et dimensions
4.3. - Demonstrations par la methode de Kolyvagin
5. - Conjectures sur les valeurs speciales.
1991 Mathematics Subject Classification. 11E95, 11G40, 11R23, 11R42.
Key words and phrases. theorie d'lwasawa, cyclotomique, representations p-adiques.
This paper is in final form and no version of it will be submitted for publication elsewhere.
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1994 American Mathematical Society
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66
1. Rappels
1.1. On fixe une cloture algebrique Q de Q et on note GQ = Gal(Q/Q).
Soit p un nombre premier impair et m un entier premier a p. Dans la suite, F
designe une extension finie abelienne de Q de conducteur met d'ordre premier
a p et on pose G = Gal(F/Q). On note Foo = F(J-Lp""" ), Fn = F(J-Lpn+t) ou
J-Lpn+l est le groupe des racines pn+ 1-iemes de l'unite. Ainsi, Qoo est la
extension cyclotomique de Q, Foo = FQ00 , Goo = Gal(Foo/ F) ~ Gal(Q00 /Q)
et Gal(Foo/Q) = Goo x G. On pose A = Zp[[G00 Jl, A[G] = Zp[[Gal(Foo/Q)Jl =
Zp[G] ®A. Soit Qp(l) = Qp®zp l~J-Lpn+t
et x le caractere cyclotomique de GQ :
z;-
n
si (est une racine de l'unite d'ordre une puissance de pet siTE GQ, T( = cx(-r).
Pour tout entier j, on note Qp(j) la representation abelienne de GQ de caractere
xi. On choisit un systeme compatible de racines pn+l_iemes de l'unite € = ((n)
qui soit une base de Zp(l) , ainsi ( 0 est d'ordre p, et une racine de l'unite a
d'ordre m.
Si € est un caractere de G, on note Q(€) le corps des valeurs de € et Z[€] son
anneau d'entiers. Si M est un Zp[G]-module, on note
M<e> = {x EM® Zp[€]
tel que Tx
= €(T)x}
Sip est un caractere (abelien) de GQ, on note €(p) E {±} le signe de p(c) ou c
est une conjugaison complexe de GQ. On note 1 le caractere trivial. Enfin, si p
est un caractere d'ordre fini de GQ de conducteur M et si (3 est une racine de
l'unite d'ordre M, on pose
G(p, (3)
=
p(T)T((3).
-rEGal(Q(I'M )/Q)
1.2.
On pose Fn,p = Fn ®Q Qp et
Hi(Fn,p, Zp(j)) = EBvipHi(Fn,v, Zp(j)), Z~,p(F,
Zp(j)) = l~ Hi(Fn,p, Zp(j)).
n
Par la theorie de Kummer, z.;,,p(F,Zp(l)) est isomorphe ala limite projecII contient
tive pour les applications .normes du complete p-adique des Fn~p·
z.;,,p(F,Zp(l)) = l~UFn,p
ou UFn,p est le complete p-adique du groupe des
n
unites de Fn,p· Pour j quelconque, on a
et on pose
i:.0,p(F,Zp(j)) = Z:.0,p(F,Zp(l)) ®Zp(j -1).
En utilisant la dualite locale, on montre facilement que
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67
ou M1 "' M2 signifie qu'il existe un homomorphisme M1 -+ M2
conoyau finis. On a Ia suite exacte de A-modules due a lwasawa
-1
a noyau
et
1
0-+ Zoo,p(F, Zp(1))-+ Zoo,p(F,Zp(1))-+ E9vlpZp-+ 0
ou encore, en tordant par Zp{j- 1)
0-+ Z~,p(F,
Zp(j)) -+ Z~,p(F,
Zp(j)) -+ E9vipZp(j - 1) -+ 0.
Rappelons que Z~,p(F,
Zp(j)) et Z~,p(F,
Zp(j)) sont des A-modules de rang
[F : Q) dont le sous-module de torsion est isomorphe a E9vlpZp(j). lis sont de
plus munis d'une action de G. Le A[G)-module z~,p(F,
Zp{i)) est alors de rang
1 (composante par composante). On note Tw : A -+ A l'operateur induit par
T 1-+ x(r)r et Tw1,Qp(j) l'operateur de twist :
Z~,p(F,
Zp(j)) ~ Z~,p(F,
induit par (xn mod pn+ 1 )
1-+
Zp(j)) ® Zp{1) ~ Z~,p(F,
Zp(j
+ 1))
(xn®(n mod pn+l) et note aussi Tw ou x
1-+
x®f.
1.3. Le rp-module filtre Dp(Qp(j)) associe a Qp(j) sur Qp est canoniquement
Qp muni d'un endomorphisme bijectif cp = p-; et de Ia filtration
Filk D (Q ( ')) = {Dp(Qp(j)) si k :5 - j
p
pJ
0
'k
Sl
> -J.
.
On note Dp(Zp(j)) le reseau canonique Zp de Qp. On note e_; Ia base canonique
de Dp(Qp(j)) (et de Dp(Zp(j))) : on a cpe-; = p-;e_;. On a alors un isomorphisme canonique Dp(Qp(j))-+ Dp(Qp(j + 1)) donne pare ...... e®e_1· On pose
Dp(Qp(j))p = F ®QP Dp(Qp(j)) ~ E9vlpFv ® Dp(Qp(j)). Si Op est l'anneau des
entiers de F, on pose Dp(Zp(j))o, = Op®zpDp(Zp(j)). Soit u l'endomorphisme
de Frobenius absolu: il agit sur Ia plus grande extension abelienne non ramifiee
en p par u(/3) = f3P pour toute racine de l'unite /3 d'ordre premier a p. II agit
en particulier sur F ; on prolonge I'endomorphisme cp en un endomorphisme
u-semi-lineaire de Dp(Qp(j))p.
Si K est une extension finie de Qp , soit
expQp(;) = expK,Qp(;) : K ® Dp(Qp(j))-+ H 1 (K, Qp(j))
l'exponentielle de Bloch-Kato ([B-K90), [F-P91, I)). L'image de expK,Qp(;) est
par definition le Qp-espace vectoriel H}(K, Qp(j)) : on a
H}(K,Qp(1)) = Qp ®zp UK
et expK,Qp( 1) est !'application exponentielle usuelle ;
H}(K, Qp) = Homzp (Gal{Knr / K), Qp)
ou Knr est Ia plus grande extension non ramifiee de K, H}(K, Qp(j)) est nul
pour j < 0 et H}(K,Qp(j)) = H 1 (K,Qp(j)) pour j > 1. On note H}(K,Zp(j))
l'image reciproque de H}(K, Qp(j)) dans H 1 (K, Zp(j)).
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On pose r.(1 + T) = (1 + rp:<-r) pour r E Goo ou Test une indeterminee. On
fait agir A sur 1 + T par prolongement par linearite et continuite. Si f E A , soit
G(T) Ia solution dans Qp[[T]]®Q,. Dp(Qp(j))F de !'equation (1-cp)G = f.(l +T)
ou cp est l'endomorphisme a-semi-lineaire tel que
cp(h(T) ®d)= h((1 + T)P- 1) ® cp(d)
pour h E Qp[[T]] et dE Dp(Qp(j))p. Rappelons que
compatible de racines de l'unite. On pose
E
= ((n) est un systeme
= (1 ®pcp)-(n+l)(G)((n -1) E Qn,p ®Q,.
E~,Q,.(j)(f)
Dp(Qp(j))F.
Si w E z.;,,p(Zp(j) ), on note wn son image dans H 1 (Fn,p, Zp(j)) ; on designe par
(A ®z,. Dp(Zp(j))oF).i;=O le noyau de g ~--+ xi(g) modulo l'image de (1- pia)
avec g E A ®z,. Dp(Zp(j))oF.
1.4.
THEOREME. (A) Pour tout j
2::
1, il existe un unique isomorphisme
tel que le diagramme suivant soit commutatif
(A ®z,. Dp(Zp(j))oF).i;=O
s~.Q,.<;>
z.;,,p(F, Zp(j))/ EBvlp Zp(j)
1
(j-1)1 expFn,p.Qp(j)
1
avec H 1 (Fn,p,Zp(j))' = H 1 (Fn,p,Zp(j))/H 1 (Foo,p/Fn,p,Zp(j)) et ou l'application verticale de droite se deduit de la projection naturelle ;
(B) On a
Tw 1,Q,.(i) o OQ,.(j),J o Tw ® e1 = -OQ,.(Ht),Ht.
La partie (A) pour j = 1 est due a Coleman. Le theoreme complet est
demontre dans [Pa]. 1
La relation (B) est fondamentale dans Ia suite et permet de passer de Qp(1)
a Qp(j).
On deduit du theoreme que pour tout j E Z, il existe un unique isomorphisme
OQ,.(j),j: (A ®z,. Dp(Zp(j))oF).i;=O-+ Z!x,,p(F, Zp(j))/ EBvlp Zp(j)
1 La formulation un peu differente de celle utilisee pour les courbes elliptiques dans (Pc) vient
de ce que Ia representation V = Qp(j) suffit a obtenir I' existence et l'unicite de OQ,.{i),j = Ov,j
et que l'on n'a pas besoin d'agrandir A
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telle que
Twt,Qp(i) o
OQp(j),; o Tw ® et = -OQp(i+l),i+l .
1.5. Posons tQp(j) = Dp(Qp(j)), tzp(j) = Dp(Zp(j)) si j ~ 0 (resp.
j ~ 0). Pour toute place vjp, on a une suite exacte [B-K90)
= 0 si
0--+ H 0 (F11 , Qp(j))--+ Dp(Qp(j))F, --+ Dp(Qp(j))F, $ Fv ® tQp(i)
--+ H}(Fv,Qp(j))--+ 0
ou la seconde application est donnee par x ~---+ (1- cp)x $ x mod Fil 0 . On pose
ou liP est la valeur absolue normalisee par !PIP = p- 1 et oil [: J designe l'indice
generalise : si M 1 et M 2 sont des Zp-modules de type fini tels que Qp ® M 1 =
Qp ®M2, on a
avec tors(Mi) le sous-module de torsion de Mi et MI = Mdtors(Mi) pour i =
1, 2. Une consequence facile du theoreme precedent (dans sa version locale) est
que pour j ~ 1, on a
(theoreme de Bloch et Kato, [B-K90)). L'idee de la demonstration est la suivante: posons X= (A ®zp Dp(Zp(j))p,/).;=o, Y = Z~,v(F,Zp(j))/Zp(j).
On
a un isomorphisme Xaoo ~ Ya
Le Zp-module Xaoo (resp. Yaoo) est egal
a Dp(Zp(j))oF (resp. H}(Fv,Zp(j))), a un groupe fini pres que l'on calcule
exactement, et la Heche F11 ®Dp(Zp(j))--+ H}(F11 , Qp(j)) qui se deduit de Xaoo ~
Yaoo est egale a (j- 1)! expF,,Qp(j)•
00 •
1.6. La loi explicite de reciprocite s'enonce de la maniere suivante : on note
[, )Dp(Qp(j)) la forme bilineaire naturelle Dp(Qp(j))F x Dp(Qp(1 - j))F --+ Fp
etendue par linearite a
eta
On note <, >n,Qp(j) !'application de dualite :
(somme des accouplements locaux pour vlp) et
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!'application detinie par
Soit L l'automorphisme de A induit parT 1-+ r- 1 pour
T
E
G 00 •
(Rec(Qp(j))) Si f est un element de A ®zp Dp(Qp(j))F et g un
element de A ®zp Dp(Qp(1- j))F, alors
THEOREME.
( -1)i-l
< O(Mi),i(/), nQ~~l-i),l-i(g)
>oo,Qp(j)= TrF;Q([/, L{g)]Dp(Qp(j))).
Ce theoreme se deduit d'un resultat de Coleman et de l'invariance par torsion
de la formule ([Pa, §4]).
1. 7. Si S est un ensemble fini de places et L une extension finie de Q, on
note G s,L le groupe de Galois sur L de la plus grande extension galoisienne de
L non ramifiee en dehors de S. Prenons S = {p, oo} et S 1 = {p}. On pose
H:X,,{p} (F, Zp(j)) = l~ Hi(G s,Fn, Zp(j))
n
pour i E {1, 2}. La conjecture
Leop(Qp(j))
est demontree (thooreme d'lwasawa [Iw69], par invariance par torsion, il suffit de
demontrer que H 2 (Gs,Foo,QP/Zp) = 0). On montre a l'aide des formules de caracteristique d 'Euler-Tate que cela implique les proprietes suivantes : si € est un
caractere d'ordre fini de Gal(Fo/Q), H1,.,,{p}(F,Zp(j))<el est un A[G]<e>-module
de rang 1 si ~:(€xi)
= -1 (resp. 0 si ~:(€xi)
= 1) et H!,,{p}(F, Zp(j)) est un A[G]module de torsion. D'autre part, le sous-module de torsion de H!x,,{p}(F, Zp(j))
est isomorphe a Zp(j).
1.8. Soit wE H!x,,{p}(F,Zp). Si h = xbh- 1 E A avec 'Y un generateur
topologique de r, hw appartient a l'image de 0Qp,o· On pose
L..,,F
=
(nQp, 0 )- 1 (w)
=dec
h- 1 (0Qp, 0 )- 1 (hw) E
(xbh- 1)- 1A ® Dp(Qp)F.
Prenons F = Q(J.tm) et rappelons que a: est une racine de l'unite d'ordre
m. En utilisant l'isomorphisme Qp[G] -+ F induit par .X ....... .X(o:), on peut voir
Lw,F comme l'image d'un element L,F de A[G]. Si € est un caractere de G de
conducteur m, on a le diagramme commutatif
>.+-+e(>,)
Q[G]
>.+-+>.(o)
1
Q[€]
1
G(C 1 ,o)
F
X+-+
E~ea
e(r)- 1 r(x)
Q[€]
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Pour tout caractere
on a done
G de conducteur met pour p E Horncont(G 00 ,C;),
~de
= G(C 1 , a)- 1 I:~( r)- 1 p(L.,.(w),F)
~p(L,F)
71
0
-rEG
On note encore .Cw (~
p)o Lorsque ~est
rnent ~n p()le en x- 1
0
~p(L...,
)
la fonction sur Horncont (G 00 , c;) telle que .Cw (~p) =
le caractere trivial, la fonction p ~---+ .Cw(P) a eventuelle-
0
2. Quelques formulas sur .Cw
2.1. Valeur de .Cw en x-iTJ pour j > 1.
201.1. Soit j un entier > 1. Pour toute extension finie K de Qp, l'exponentielle est un isornorphisrne de K ®Qp Dp(Qp(j)) sur H 1 (K,Qp(j))o On note
logQp(i): H 1 (K,Qp(j))-+ K ®Qp Dp(Qp(j))
!'application reciproqueo On en deduit une application que l'on note de la rnerne
rnaniere
D'autre part, si wE HJ-.a,{p} (F, Zp), on pose wi = w ® f®i ; sip est un caractere
de Gal(Foo/Q) de conducteur mpn+ 1 , on pose
-rEGal(Fn/Q)
(avec Wj,-1 = Trcai(F(pp)/F)Wj,O = Tr.a.wj,o)o Sip est le caractere trivial 1, on
pose P(wj) = p(l)(w3 )0 Si jest un entier:;?: 0, on pose r•(-j) = (-1)i(j!)- 1 o
201.20
PROPOSITION Soient
0
> 1. Alors, on a
(1- p-i~(a))-
1
(1-
pi-
un camcti:re de G de conducteur m et j un entier
~
1
~(a)-
1
).Cw(~x-i)
® e_i
= -r• ( -j + 1)G(C 1, a)- 1 logQp(j) p<el(wi);
si de plus TJ est un camctere de G 00 de conducteur pn+l avec n :;?: 0, on a
(p1-i~(a))-(n+1)
.Cw(~TJX-i)
® e_ 3
= -r*( -j + 1)G(C 1TJ- 1, a(n)- 1 logQp(j) p(~fl)(wi)
0
REMARQUEo Pour.;= 1 (et done F = Q, m = 1), on obtient done la forrnule
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On deduit du theoreme 1.4, (B) que l'on a
DEMONSTRATION.
L.w(~ryx-i)
® e_i
= ( -1)iG(C 1, a)- 1
I: ~(r)-
1
ry((OQp(j),j)-
(rwj)).
1
-rEG
En utilisant le diagramme commutatif du thooreme 1.4 et en remarquant que
si
nQe ( .)
p
.(g ® e_i) = wi, on obtient que pour j
J ,J
2::-rEG
~- 1 (r)(0Qp(j),j(L.,.w,F
~
0 et ~ un caractere de G,
® e_j))-1
= ( -1)i(j-
1)!expQP(j)((1- ~(a)p-i)-
1
(1-
~(a-
1
)pi-
1
)
I: C 1(r)x-i(L.,.w,F) ® e_j),
-rEG
d'ou, en prenant le logarithme, Ia premiere formule. La deuxieme se demontre
de Ia meme maniere : on utilise que, si 17 est un caractere de G 00 de conducteur
pn+ 1, on a avec (1 - r.p)G = Lw,F·(1 + T)
-rEGal(Fn/F)
-rEGal(Fn/ F)
= (pa ® r.p)-(n+ 1)ry(Lw,F )G(ry- 1, (n) ·
0
2.2. Valeur de L.w en x-iry pour j < 0.
2.2.1. Soit j un entier < 0. Pour toute extension finie K de Qp , on note
.>..Qp(j),K l'application H 1 (K, Qp(j))--+ K ®Qp Dp(Qp(j)) dual de l'application
exp<M 1-i),K : K ®Qp Dp(Qp(1- j))--+ H 1 (K, Qp(1- j)).
Si wi
pose
= w ® f.®i
E H!x,,{p} (F, Zp(j)) et si pest un caractere de Gai(Fn/Q) , on
R~}(j)(wj)
=
(UGai(Qn/Q))- 1
I:
p(r)- 1r(.>..Qp(j),Fn,p(wj,n)).
-rEGal(Fn/Q)
2.2.2.
PROPOSITION.
< 0. Alors, on a,
(1- p-i~(a))-1(1-
Soient
~
un caractere de G de conducteur m et j un entier
pi-1~(a)-1)£w(~x-i)
® e_j
= -r( -j + 1)G(C 1, a)- 1R~e;U)(wi);
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73
si de plus 11 est un caractere de Goo de conducteur pn+l avec n ~ 0, on a
(p1-j~(a))-(n+1)
£,...,(~11X-j)
REMARQUE. Pour
® e_j
1, on obtient Ia formule
~ =
avec
= -r( - j + l).G(C111-1' o{n)-1 R~~'1{j)(wj).
RQ,.(j)(wj) = >.Q,.(j),Q,.(wj,-d.
DEMONSTRATION. Faisons Ia demonstration pour 11 = 1 (le cas general se
demontre de maniere analogue). On a
( -I)i[L, Trt.(Y)]v,.(Q,.(j)) = (1((0Q,(j),i)- 1 (wj)), 1(f)]v,.(Q,.(j)).
D'ou en utilisant Ia loi de reciprocite Rec(<Qp(j)),
(£, Trt,(y)Jv,.(Q,.(j))]
-1
= - < Trt,(wj,o), OQ,(l-j),l-j(f)o >o,Q,.(j)
=-
< Trt.(wj,o), ( -j)! expQ,.( 1-j)(Trt.(Y)) >-t,Q,.(j)
= -( -j)!(>.Q,.(j),F,. (Trt.(Wj,o)),
'I'rt.(Y)]D,.(Q,.(j)) ·
D'ou
L
En appliquant
L-rEG ~-
=
1 (T
2.3. Valeur de £,..., en
-(-j)!>.Q,.(j),F,.(Trt.(wj)o)
)r , on en deduit Ia formule.
D
x- 111 et en 11·
2.3.1. Commew;ons par etudier Ia valeur de £,..., en x- 1 11~ ou ~11 est d'ordre
fini. L'exponentielle n'est plus un isomorphisme. Son image est Hj(K,<Qp(l)).
On note
logQ,.(t) : H}(K, <Qp(l))-+ K ®Q,. Dp(<Qp(l))
!'application reciproque. Les formules 2.1.2 sont valables pour wE Z);.,,p(F, Zp),
mais les deux termes sont nuls des que ~(a)=
1. Soit wE Z);.,,p(F,Zp) et G,...,®,
Ia serie de Coleman associee a w ® E : c'est un element de Fp[[T]] verifiant
(1- p- 1a)Gw®• E F ® Zp[[T]]
et tel que
Posons
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BERNADETTE PERRIN-RIOU
Si w E Z~,p(F,
Zp) ,
S(w ® t)
=
(log x(-r))- 18((-y- 1)(w ® t))
ne depend pas de 'Y· D'autre part, posons
(ce qui ne depend pas non plus de-y). C'est le residu de Cw en x- 1 . Lorsque
wE Z~,p(F,
Zp), le residu de Cw en x- 1 est nul. De maniere generale, on a:
PROPOSITION.
Si
~
est non trivial,
(1- p- 1 ~(u))-
1 Cw(~x-
1 ) ® e-1 =-
L ~(r):._
1 r(S(w
® t)).
-rEG
Si e(u) = 1,
2.3.2. On verifie facilement que si w E Z~,p(F,
Zp), le calcul fait en 2.2 est
encore valable a condition de multiplier par (1 - p-ie(u)) lorsque cela est nul.
On obtient done Ia proposition suivante :
PROPOSITION.
On a
et si TJ est un caractere de Goo de conducteur pn+ 1 , on a
3. Fonction de Kubota-Leopoldt
3.1. Definition.
3.1.1. Dans tout ce qui suit, on suppose choisi un plongement de Q dans C et
un plongement de Q dans CP ; on en deduit pour tout entier M un choix nature}
d'une racine de l'unite exp(2in/M) d'ordre M (par exemple, Cn = exp(2in/pn+1)
eta= exp(2in/m)). Sip est un caractere d'ordre fini de GQ a valeurs dans Qx
de conducteur M, on note G(p) = G(p, exp(2in / M)).
Soit ((s) Ia fonction de Riemann: ((s) = I:n>On- 8 • Sip est un caractere
de GQ d'ordre fini a valeurs dans Qx de conducteur M et si pest le caractere
de Dirichlet primitif associe (defini par ij( r) = 17( u r) si r est premier a M et si
O"r est un element de Gal(Qab /Q) tel que ur(/3) = pr pour /3 racine de }'unite
d'ordre premier aM), on pose
L(s,p)
= L(s,p) =
L
n>O
(n,M)=1
p(n)n- 8
= IJ(1- p(l)lI
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8 ).
LA FONCTION DE KUBOTA-LEOPOLDT
75
On pose
L{p}(s,p) = IJ(1-p(l)l- 8 ) .
l#p
3.1.2. Si E est un caractere d'ordre fini de GQ, rappelons que Ia fonction
de Kubota-Leopoldt relative au caractere de Dirichlet primitif ( est !'unique
fonction continue Lp(s,E) de Zp dans Cp (resp. Zp- {1} dans Cp si E est le
caractere trivial) telle que, pour tout k ~ 1,
ou (k est Je caractere primitif assode a (w-k (avec w Je caractere de Teichmi.iller).
Si E est impair, Ia fonction Lp(s,E) est identiquement nulle. Un des moyens
de construire Ia fonction Lp( s, E) ou ses variantes est d'exhiber un element w
1 { }(F, Zp) tel que Lw F soit lie a Ia fonction de
(element cyclotomique) de H oo,
p
'
Kubota-Leopoldt. Nous allons rappeler cette construction.
3.1.3. On fixe un caractere Ede GQ d'ordre fini de conducteur m premier a
pet on prend pour simplifier F = Q(J.Lm)· Les (1- a-(n+ 1>(o:)(n) forment un
systeme projectif d'elements de
relativement a Ia norme (on a a(o:) = o:P).
On en deduit un element de H~,{p}(F,Zp(1))
que !'on note wa, 1 . On pose
F.;:
Wa
= Wa,1
® €®- 1 E H~,{p}(F,Zp).
On peut alors definir comme en 1.8 un element Lw.. ,F de A®Dp(Qp)F = A®QF
si o: =f:. 1 (resp. de (xbh-1)- 1A®Dp(Qp) si o: = 1). On pose pour t:(Ep) = -1
£K-L(Ep) = -£wa(Ep) = -G(C 1, o:)- 1
L
E(r)- 1p(Lr(w.. ),F)
rEG
pour tout p E Homcont(Goo,c;). Remarquons que £K-dEP) ne depend pas du
choix de o:.
3.1.4.
(lwasawa) Soit E un caractere de conducteur m. Alors, pour
tout caractere TJ de G 00 d'ordre fini et pour tout entier j ~ 0, on a
PROPOSITION.
ou l 'on pose TJ( a) = 0 si TJ est non trivial.
REMARQUE.
Lorsque t:(p)
= 1, Ia valeur de £we. en
pour p E Homcont(G 00 ,C;) tel que t:(p)
cette definition.
pest nulle. On pose
= 1. Nousjustifions en 3.3.5 et suivants
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BERNADETTE PERRIN-RIOU
76
DEMONSTRATION.
Elle est classique. Donnons-en une esquisse. Si
G1(T) = log(1- a(1 + T)) ® e_l,
on a
(1 ® pcp)-(n+l)(Gl)((n- 1) = log(1- 0'-(n+l)(a)(n) ® e_l.
On en deduit que
+ T) = (log(1- a(1 + T))- p- 1 log(1- aP(1 + T)P)) ® e_l.
l'operateur de derivation (1 + T)djaT. On a
Lwa, 1 .(1
Notons D
D'ou, en posant X= 1 + T,
aX
aPXP
Lw .X=
.
"
aX - 1 aP XP - 1
Pour 'T/ de conducteur pn+l, on a
L
ry(r)- 1 r(Di(Lwa .X)IX=<n-d = xiry(Lwa)G(ry-l' (n)
0
'T'EGal(Fn /F)
Lorsque
eest le caractere trivial et done a= 1 et j
> 0, on a
d'ou par des formules classiques
.
. Bi+l
.
x1 (LwJ = (1- r)-.- 1 = -(1- r)(( -j).
J+
En general, on a
TEG
ou t est le caractere de Dirichlet assode
l:TEGal(Fn/F)
1
ry(r)- r(DJ(l::o~a<m
0
a e.
II est classique que
xa
e(a) 1 _ Xm)IX=<n-l
-
1
= -G(ry- 1,(n)L(-j,ery).
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LA FONCTION DE KUBOTA-LEOPOLDT
D'ou le resultat.
77
0
3.1.5. Faisons le lien avec la fonction de Kubota-Leopoldt. Notons w(x) le
compose de x avec la projection Zp -+ J.Lp- 1 (on a done x = w(x) < x > ). On
doouit de la proposition 3.1.3 que, si ~est un caractere de conducteur met "1 un
caractere de G 00 d'ordre fini et si j 2:1
et done que pour tout s E Zp- {1},
3.2. Valeurs de LK-L en ~,.,x-i.
3.2.1. Dans toutle paragraphe 3.2, on fixe un caractere ~de G de conducteur
-1
m, un caractere "1 de G 00 de conducteur pn+ 1 et un entier j tels que ,;(~"'xi)=
(les formules seraient encore vraies lorsque ,;(~"'Xi)=
1 en rempl~ant
LK-L par
Cwa, car identiquement nulles !). L'entier j sera negatif dans le paragraphe 3.2.2
et positif dans les paragraphes 3.2.3 et 3.2.4
Posons
-rEGal(Fn /Q)
= p(~TJ)(wa
® f®i) E
H 1(Fn, Qp(j))(~TJ)
ou wa est !'element cyclotomique defini en 3.1.3. Lorsque j est positif, Ci(~"')
est un element de H}(Fn, Qp(j))C~TJ)
; lorsque jest negatif, Ci(~"')
est seulement
un element de H 1 (Gs,F",Qp(j))C~TJ>.
Lorsque le caractere est le caractere trivial
1, on pose simplement Ci = Ci(l).
3.2.2.
PROPOSITION. Supposons j < 0. Pour "1 trivial et ,;(~x-i)=
(1- p-i~(a))-1(1-
-1, on a
® e_i
pi-1~(a)-1)£K-d~x-i)
= r( -j + 1)G(C 1 , a)- 1 ~p(i),F(Ci(~)).
=
Si "1 est non trivial de conducteur pn+ 1 et ,;(~"'X-i)
(p1-i~(a))-(n+1)
LK -d~"'x-i)
® e_i
= r( -j + 1)G(,.,- 1C
lei ,\Qp(j),FCi("'~)
-1, on a
= ~(Gal(Qn/Q))-
1
~p(j),Fn
1 , a(n)- 1 ,\Qp(i),F(Ci("'~)).
Ci("'~).
DEMONSTRATION. Ce n'est qu'une retraduction de la proposition 2.2.2.
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0
BERNADETTE PERRIN-RIOU
78
En termes des valeurs de la fonction L complexe (ou des nombres de Bernoulli),
cette formule devient pour j < 0 tel que E(~x-i)
= -1
(1 - p-l+i~(a)-
1
+ 1)G(C 1, a)- 1>.Qp(i)(Ci(~)).
)L(j, ~) ® e_i = r( -j
3.2.3.
PROPOSITION.
= -1,
Supposons j > 0. Si E(~x-i)
(1- p-i~(a))-1(1-
® e_i
pi-1~(a)-1).CK_L(~x-i)
= f*( - j
+ 1)G(C 1, a)- 1 log<Mi) Ci(~).
=
Si rJ est non trivial de conducteur pn+l et E(~rJX-i)
(pl-i~(a))-(n+l)
.CK-d~rJx-i)
on a
-1, on a
® e_i
= r• (- j + 1)G(,.,- 1C 1, a(n)- 1 logQp(j) Ci(~rJ).
Cela se deduit de la proposition 2.1.2. Comme
= Lp(],~rJw(x)-i+l),
.CK-d~rJx-i)
on obtient ainsi une formule pour Lp(j,~rJw(x)-i+
_
(p1-i~(a))-{n+1)(1
_
p-i,.,(a)~(a))-1(1
Lp(j, ~ryw(x)-i+
=
f*( - j
1
) avec E(~rJXi)
= -1:
pi-1,.,(a)~(a)-1)
1
) ® e_i
+ 1)G(rJ- 1C
1, a(n)- 1 log1Qp(i) Ci(~).
On retrouve done dans le cas ou rJ est trivial un resultat de Kurihara (demontre
dans [G-K90] pour j < p -1) (notons que l'on traite ici le cas d'un caractere de
conducteur premier ou non premier a p). En utilisant les proprietes des sommes
de Gauss, la formule peut aussi s'ecrire sous la forme : pour tout caractere
d'ordre fini p de GQ de conducteur c(p) divisible par p et j entier > 0 tels que
E(pxi) = -1, on a
Lp(j, pw(x)-i+ 1) ® e_j
= c(~)-
1
f*( - j
= .CK-dPx-i) ® e_j
+ 1)(x-irJ)(a;;(~))c(p)-Ci-
1
)G(p-
ou p = ~"1 avec rJ de conducteur une puissance c(ry) de
premier a p.
3.2.4.
pet~
1
)-
1
logiQp(j)
de conducteur
Supposons toujours j > 0. Remarquons que
(1- pi- 1a- 1)- 1 log1Qp(j)(wa ® E®i)
=
log1Qp{i/~:::>(jn2';0
On pose
C jDel(~)
u.
_ "'"'P(j-1)nw
L....t
,.-n{o)
-
n2';0
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Ci(P)
1
)nW,.-n(o)).
c(~)
79
LA FONCTION DE KUBOTA-LEOPOLDT
et
cfel<~)
=
2: ~(r)-lcfe'crca)).
'TEG
La premiere formule de 3.2.3 devient alors
L:K-L(~x-i)
® e_; =
r•( -j + 1)(1 -
p-i~(u))G(C
1
, et)- 1 logQp(j) cfe
1 (~).
D'autre part, !'application c;,2;-l de (G-K90] est (1-p-iu) log 9 p~)· Je presume
que }'application de (De89J (qui, avec ses notations, associe t/J; (0) ax ou t/Jp
est le Frobenius cristallin associe ax vu comme torseur, cf. §2.9) est
±(pi- u) lo~p(j)
= ±pi(1- p-iu) logQp(j).
On en deduirait alors (et c'est en tout cas le resultat qu'affirme Kurihara dans
(G-K90]) que Cfe 1 (~) est l'image dans Q(~) ® H 1(F, Qp(j)) de !'element defini
par Deligne comme extension de Q par Q(j) dans Ia categorie des motifs mixtes
de Deligne et dont I'image par I' "application regulateur a l'infini" (que l' on
notera ici logQ(;)) est -(j - 1)!L(j, ~). De l'art et de Ia methode de faire apparaitre et disparaitre les "facteurs d'Euler". Nous y reviendrons d'ailleurs dans
les remarques de 5.2.
3.2.5. L'expression en termes de polylogarithmes se deduit facilement de Ia
proposition 3.2.3 : d'apres (Co82], si et est une racine de l'unite d'ordre m et si
~ est un caractere de conducteur m premier a p, on a
L:K_L(~x-i)
=
G(C 1, et)- 1
ou l~p) est le polylogarithmep-adique: l~p)(x)
L
=
~(r)-
:E
de Ia proposition 3.2.2 que
® e_;
£K-L(~x-i)
=
r·( -j + 1)(1- p-i~(u))G(C
1
' et)- 1
1 l~P>(r(a))
n~l
(n,p)=l
xnjni. On deduit que
L ~(r)-
1
Io~p(j)
et done que
(1- p-iu) logQp(j) cfe1(et) = ( -1)i(j- 1)!l~p)(et)e-;
ou encore si l;,p(et) = (1- p-iu)-
1 l~p)(et),
logQp(j) cfe1(et)
= (-1)i(j- 1)!l;,p(et}e-;
(on a d'autre part
logQ(j) cfe1(et) = (-1)i(j -1)!l;,oo(et)
ou l;,oo est le polylogarithme complexe : l;, 00 (x) = Ln~l
xn jni).
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cfel(ret)
BERNADETTE PERRIN-RIOU
80
3.3. "Conjecture" principale.
3.3.1. Si A = A ou A[G] = Zp[[r]] ® Zp[G x A], on note Frac(A) l'anneau
total des fractions de A. On note A± = ( 1 ± c )A ou c est Ia conjugaison complexe
de A ou de G x A. Si M est un A-module de type fini, on peut alors definir
([K-M76]) leA-module libre de rang 1 : detA(M) et son dual: detA(M)- 1.
Lorsque M = 0, detA(O) est egal a Frac(A). Lorsque M est annule par un
element non diviseur de 0, on a une application canonique de detA(M) dans
Frac(A) (par abus, on considere alors detA(M) comme contenu dans Frac(A)).
Si M est un A-module sans torsion de rang r, tout A-homomorphisme de M
dans unA-module libre L se prolonge en une application du A-bidual M•• de M
dans N. En remarquant que detAM ~ detAM••, on en doouit une application
de detA M dans Ia puissance exterieure r-ieme de L. On utilise ici ce fait pour
r = 1 : si M est un A-module sans torsion de rang 1, on peut ainsi prolonger
tout A-homomorphisme de M dans un module libre Len un A-homomorphisme
de A-modules libres de detA M dans L.
3.3.2.
Considerons les A[G]-homomorphismes suivants :
(A[G] ® Dp(Qp)).io=O-+ (A® Dp(Qp)F ).io=O-+ Z~,p(F,
Zp)/ IBvJp Zp;
le premier homomorphisme est !'application naturelle de localisation en p (c'est
une injection car Leop( Qp) est vrai) ; le deuxieme homomorphisme est detini a
partir de !'application f2Q' ,.,oF·
'
Posons
A~~;(FjQ,
Zp) = ®iE{1,2}(detA[a]H:X,,{p} (F, Zp))(- 1)'
= ®iE{1,2} (detA[G]z:X,,p(F, Zp))(- 1)'
Aoo,p(FjQ, Zp) = A~~!(FfQ,
Zp) ® A:~p(F/Q,
Zp)- 1.
A:~p(FjQ,
Zp)
On definit un isomorphisme de A[G]-modules >.F/Q :
Aoo,p(FjQ, Zp)± 1 -+ HomQ,.(Ad± D(Qp), Frac(A[G])±)
avec d+ = 1, d_ = 0 : si Wglob est une base de A~~~(F/Q,
base de A:~P(F/Q,Zp)±,
on definit >.F/Q,± par
>.F/Q,±(w;i!b ® W!ac)(s)w~!
Zp)±, si Wtoc est une
= Ad±f2(_p,, 0 (s) A w;i!b
pours E Ad±D(Qp)· L'espace d'arrivee de)._ est canoniquement Frac(A[G]);
celui de >.± s'identifie a Frac(A[G]) en utilisant Ia base de D(Qp)· On identifiera done en general HomQ,. (Ad± D(Qp), Frac(A[G])±) avec Frac(A[G]±) ; il
est cependant interessant de se souvenir qu'il s'agit d'une identification (cf. Ia
remarque de 5.2).
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81
3.3.3.
DEFINITION.
Soit li.arith(FjQ, Zp)± l'image de 6.oo,p(FjQ, Zp)± dans
Ho11l<lp(f\d±D(Qp), Prac(A[GJ)±) ~ Prac(A[G])±
et l!arith(F jQ, Zp) le sous-A[G]-module libre de rang 1 dont les ±-composantes
sont les li.arith(FjQ,Zp)±. Si e est un caractere de G de conducteur egal au
conducteur de F, on note l!arith(e, Zp) le A[G]<e>_module l!arith(F/Q, Zp)W.
On detinit de Ia meme maniere pour tout entier j un A[G]-module
6.oo,p(FjQ, Zp(j))
et une application
>.F/Q,j :
6.oo,p(F/Q, Zp(j) )±
-+
HomQp (/\ d±•; D(Qp(j) ), Frac(A[G])±) ~ Frac(A[G])±
avec f.j le signe de (-1)3. Si li.arith(FjQ,Zp(j))± est l'image de
6.oo,p(F/Q, Zp(j) )±
dans Frac(A[G])± et li.arith(FjQ, Zp(j)) le A[G]-module dont les ±-composantes
sont les li.arith(FjQ,Zp(j))±, on verifie facilement que
Si
eest un caractere de G de conducteur le conducteur de F jQ, on note encore
3.3.4. Dans les deux paragraphes qui suivent, nous allons ecrire li.arith(e, Zp)
de maniere differente afin de retrouver les modules classiques qui interviennent
dans les differentes formulations de Ia conjecture principale. La definition que
nous venons de donner se generalise a des representations p-adiques cristallines
en p quelconques ([Pb]).
PROPOSITION.
Soit w un element du A[Gj_-module H:.O,{p}(F,Zp)- engen-
drant un A[G]_-module libre de rang 1. Alors, li.arith(e, Qp) est le sous-A[G]W
-module de .Frac(A[G]<e>) determine par
(i) si f.(r>e) = -1,
p(li.arith(e,Zp)) =
pe((detA[c]H~,{p}
(ii) si €(pe)
(F, Zp))- 1 ®detA[GJ (H:.0,{p} (F, Zp)/ A[G]w))Cw(Pe)
= 1,
p(li.arith(e, Zp)) = pe((detA[GJH~,{p}
(F, Zp))- 1 ®detA[G]H~,{p}
Pour Ia definition de Cw, voir 1.8. On identifie ici Dp(Qp) avec Qp.
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(F, Zp)).
BERNADETTE PERRIN-RIOU
82
DEMONSTRATION. La proposition se doouit de la definition de llarith(~,Zp)
de ce que 1'application
et
A[G] ® detzpDp(Zp) -+ ®iE{1,2} (detA[GJZ:X,,{p} (F, Zp) )( -l)'
induite par
(A® Dp(Zp)OF ).3-o=O- z!x,,p(F, Zp)l EBvlp Zp
est un isomorphisme ([Pa, §4], se deduit du theoreme (A)).
3.3.5.
On note
0
X:.0, 8 (F, Zp(j)) le dual de Pontryagin de
Hi(Gs,Faa, Qp(j)IZp(j)) ·
Le A[G]-module Xfx, 8 (F,Zp(1)) est egal a Gal(MooiFoo) ou Moo est la plus
grande p-extension ~belienne
de Foe non ramifiee en dehors de S = {oo,p}.
Soit Aoo la limite projective des composantes p-primaires des groupes de classes
d 'ideaux des Fn.
Si ~ est un caractere de G de conducteur m, et si M est un A[GJ(~)-module
de torsion, on note f M une serie caracteristique de M. La proposition suivante
Zp(j)) en termes plus classiques ([C77])
calcule llarith(~,
PROPOSITION. Soit
un caractere de Gal(FIQ) de conducteur m et "1 un
caractere de Gal(Fol F). Alors,
(i) si f(~ryxi)
= 1, on a
llarith(~,
(ii) si E-(~"lxi)
1Iarith(~,
~
Zp(j))('1)
= A[GJ(~'1)
fH!,.{p}(F,Zp(j))<E.,>I fzp(j)(E.,)
= A(GJ(~'1)
JA
00
(j-l)(E.,) I /zp(j)(E"'l
= -1, on a
Zp(j))('1)
= A[G](~1J)
= A[G](~'1)
JGal( Moo/ F
00
)(j-l)(E"'l I fzp(j-l)(E"'l
fx1(Zp(j))<E.,>I fx!,, 5 (z,(j))<E.,>
DEMONSTRATION. II suffit de demontrer la proposition pour j = 1. On ale
diagramme commutatif dont les lignes et les colonnes sont exactes
0
l
0-+
Eoo,{p}
o-
Eoo
l
l
0
-
EBvES,Zp
l
Z!x,,p(F, Zp(1))
l
Uoo
l
0
-
-
X!x,, 8 (F, Zp(1))
II
X!x,, 8 (F, Zp(1))
-+ A 00 -+0
ou Eoo,{p} = H!x,,{p}(F, Zp(1)) est la limite projective des unites en dehors de p
de Fn, £ 00 la limite projective des unites des Fn et U00 la limite projective des
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LA FONCTION DE KUBOTA-LEOPOLDT
83
unites semi-locales de F.. en p. La suite exacte de Poitou-Tate donne d'autre
part Ia suite exacte
0-+ H!:,,{p}(F,Zp(l))-+ z~.p(F,Zp(l))-+
X~. 8 (F,Zp(l))
-+ H!,,{p}(F, Zp(l))-+ Z!,,{p}(F, Zp(l))-+ X!,, 8 (F, Zp(l))-+ 0.
Si f(~7J) = -1, on a Z!,,p(F,Zp(l))C~fl)
= 0, X!,, 8 (F,Zp(l))C~fl)
= 0. On en
deduit que (Aoo)C~fl)
= H!,,{p}(F,Zp(l))C~fl).
Le premier cas s'en doouit a l'aide
de Ia proposition 3.3.2. Le deuxieme cas se deduit de cette meme suite exacte. 0
3.3.6.
PROPOSITION. (lwasawa) On a llarith(FjQ,Zp(j)) = llarith(FjQ,Zp(l- j)y
out est l'involution de A[GJ induite parT~--+
.,.-l pour r E Ga~Foo/Q).
Soit Iarith(FjQ,Zp) un generateur de llarith(F/Q,Zp); Ia proposition signifie
qu'il existe une unite u de A[GJ telle que, sip E Homcont(Gal(Foo/Q), c;), on a
p(Iarith(F/Q, Zp)) = p(u)(x-lp- 1 )(Iarith(FjQ, Zp)).
II suffit de nouveau de demontrer Ia proposition pour j =
1. lwasawa demontre qu'il existe un homomorphisme injectif de A[GJ-modules
DEMONSTRATION.
a conoyau fini. Comme fzp(j) = t(fx!,,s(F,Zp(l-j))), Ia proposition s'en doouit.
Rappelons Ia construction de l'homomorphisme d'lwasawa. La conjecture de
Leopoldt est vraie pour F... On en deduit que H 2 (Gs,F",Zp(l)) est egal a A..
et est fini pour tout entier n. II en est de meme de tA(X~, 8 (F, Zp))r" ou
tA(M) designe le sous-A-module de torsion d'un A-module M: en effet, pour
tout caractere ~ de Gal(Fo/Q), si s(~) est le rang de X~ 8 (F, Zp)W comme
A[GJC~>-module,
le rang sur Zp de X!.o,s(F, Zp)~~ est !Fn : F 0 Js(~) : pour cela,
on utilise de nouveau Ia conjecture de Leopoldt et le fait que X!.o,s(F, Zp)~~2 est
egal a un groupe fini d'ordre borne pres a (H 1 (Gs,F"' QpjZp)~)<e>
; un argument
simple sur les Zp[[f]]-modules demontre Ia finitude de tA(X!.o,s(F,Zp))r". On
en doouit que tA(X~.s(F,Zp))r"
est egal a un groupe fini d'ordre borne pres au
sous-Zp-module de torsion de X!.o,s(F, Zp)r". D'autre part, on a Ia suite exacte
0-+ Qp/Zp ® H 1 (Gs,F"' Zp(l))-+ H 1 (Gs,F"' Qp(l)/Zp(l))
-+ H 2 (Gs,F",Zp(l))-+ 0
ou Ia surjectivite se deduit de Ia finitude de H2(Gs,Fn,Zp(l)). On obtient des
homomorphismes de A[GJ-modules dont les noyaux et conoyaux sont finis d'ordre
borne par rapport a n
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BERNADETTE PERRIN-RIOU
84
Par passage a Ia limite projective sur n, on obtient a gauche H~.{p}{F,Zp{1))
eta droite Extl(tA(X~
8 (F,Zp)), A)' en remarquant que si M est unA-module
de torsion et Si Wn =
1, avec 'Y generateur topologique de r, est premier a
Ia serie caracteristique de M pour tout entier n (ce qui est equivalent a ce que
Mr" soit fini pour tout entier n), on a
"l; -
Extl{M,A)' = l~{Mrn)~=
{l~Mr")~
n
ou Ia limite inductive est relative aux applications de transition
Mrn+l-+ Mrn
x 1-+ (wn+lfwn).x.
La proposition s'en deduit. D
3.3.7.
DEFINITION.
LK-L(~.)
Soit
~
un camctere de
la fonction sur Hom( Goo,
c;)
REMARQUE. Pour tout element p
meme !'equation fonctionnelle
E
de conducteur m.
determinee par
Ga~F/Q)
si
c::(~p)
si
c::(~p)
Homcont{G 00 ,
Notons
= -1,
=
1
c; ), on a par definition
3.3.8.
THEOREME.
module 1larith(~,
(Mazur-Wiles) Il existe un genemteur Iarith(~,Zp)
Zp) tel que pour tout caractere p de Homcont(Goo,
du A[GJ<~>on a
c; ),
Nous n'avons fait bien sur que reecrire Ia conjecture principale. Dans sa
formulation meme, le theoreme 3.3.8 contient les deux versions classiques de Ia
conjecture principale.
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LA FONCTION DE KUBOTA-LEOPOLDT
85
4. Cohomologie galoisienne
4.1. Notations. Soit toujours S = {oo,p}. On detinit H}(F, Qp(j)) comme
!'ensemble des elements de H 1 (Gs,F,Qp(j)) dont !'image par localisation en p
appartient a H}(Fp, Qp(j)) et H}(F, Zp(j)) !'image reciproque de H}(F, Qp(j))
dans H 1 (F, Zp(j)). Pour X= Zp, Qp ou Qp/Zp, notons Locp,X(j) !'application
de localisation
H 1 (Gs,p,X(j))--+ a7vlpH 1 (Fv,X(j)).
On verifie facilement que pour j < 0, H}(F, Qp(j)) est egal a ker Locp,Qp(j) ;
pour j > 1, H}(F, Qp(j)) = H 1 (Gs,F, Qp(j)).
Soit H}(F,Qp(j)/Zp(j)) !'ensemble des elements de H 1 (Gs,F,Qp(j)/Zp(j))
dont !'image par localisation en p appartient a Qp/Zp ® a7vlpH}(Fv,Zp(j)).
Pour j < 0, H}(F, Qp(i)/Zp(j)) est egal a ker Locp,Qp(j)/Zp(j) ; pour j >
1, c'est !'ensemble des elements de H 1(Gs,F, Qp(j)/Zp(j)) dont !'image dans
€BvlpH 2 (Fv,Zp(j)) est nulle. Definissons comme dans [B-K90] le groupe de
Shafarevich-Tate ID(Zp(j)) comme le quotient de Hj(F,Qp(j)/Zp(j)) par son
sous-groupe divisible maximal. On deduit de la suite exacte
0--+ Qp/Zp ®zp H 1 (Gs,F, Zp(j))--+ H 1 (Gs,F, Qp(j)/Zp(j))
--+ H 2 (Gs,F,Zp(j))tors--+ 0
que pour j > 1
ID(Zp(j)) = ker(H 2 (Gs,F,Zp(j))tors--+ €BvlpH 2 (Fv,Zp(j))).
Lorsque j < 0, on deduit du theoreme de dualite de Poitou-Tate que le groupe
Hj(F, Qp(j)/Zp(j)) est le dual de Pontryagin du noyau de !'application de localisation
H 2 (Gs,F,Zp(j))--+ €BvlpH 2 (Fv,Zp(j)).
On en deduit une dualite de groupes finis
ID(Zp(j)) x ID(Zp(1- j))--+ Qp/Zp,
ce qui est connu de maniere beaucoup plus generale ([Fl90]), [F-P92]).
4.2. Cohomologie galoisienne et dimensions. Le thooreme qui suit se
doouit de thooremes dus a C. Soule ([SoSO], [So83], [So87]). Rappelons que
d+ = 1, d_ = 0
4.2.1.
THEOREME.
Soit ~ un caractere de Gal(Fo/Q).
(A) H 2 (Gs,F0 ,Qp(j)) est nul pour j ~ 2.
(B) H 2 (Gs,F 0 ,Qp(j))<~>
est nul pour j < 0 et t:(~xj)
= -1.
(C)
(i) H 1 (Gs,F0 , Qp(j))W est de dimension d-E(~x;)
pour j ~ 2.
(ii) Cj(~) engendre dans H 1 (Gs,F0 ,Qp(j))W un sous-Zp[~]-module
bre de rang 1 pour j ~ 2 et t:(~xj)
= -1.
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li-
BERNADETTE PERRIN-RIOU
86
(iii) (ker Loc,,Qp(j))W est nul si et seulement si logQp(j) C;(e) est non
nul, ce qui est encore equivalent ala non nullite de LK _L(ex-i) =
Lp(j, ew(x)-i+ 1).
(D) H 1(Gs,F0 ,Qp(j))W est nul pour j ~ 2, f(exi) = 1.
(E) Hj(Fo, Qp(j)) est nul pour j < 0.
(F) Si j est un entier < 0 tel que f(exi) = 1, H 2 (Gs,Fo• Qp(j))W est nul si
et seulement si LK -L(exi-l) est non nul.
4.2.2. Faisons quelques commentaires rapides sur Ia demonstration de ce
theoreme (voir aussi [I-S87)). Le point crucial et tres profond que demontre
Soule est !'assertion (A). La demonstration generalisant une demonstration de
Tate pour j=2 utilise le theoreme de Borel sur Ia dimension des groupes de
K-theorie K2;-2CFo). Soule montre alors qu'il existe un isomorphisme
c;,2 : Qp ® K2;-2(Fo) ~ H 2 (Gs,F0 , Qp(j)).
Les assertions (C,i) et (D) sont equivalentes a (A) grace aux formules de caracteristique d'Euler de Tate. Comme H 2 (Gs,p0 ,Qp(j)) est le dual de
ker Locp,Qp(l-j) C H 1 (Gs,F0 ,Qp(1-j)),
(B) se deduit de (D). Comme H}(Fo,Qp(j)) = ker Locp,Qp(j) pour j < 0 est
le dual du noyau de H 2(Gs,F0 ,Qp(1-j))--+ E9vlpH 2(Fo,v,Qp(1-j)), (E) est
equivalent a (A). Soule deduit (C,ii) de Ia conjecture principale (theoreme de
Mazur-Wiles et de Wiles) et de Ia nullite de H 2 (Gs,F0 ,Qp(j)) pour j > 0. Remarquons (comme le fait Kurihara) qu'un resultat recent de Beilinson montre
que les C; proviennent d'un element non nul de Q®zK2;- 1 (Fo) par !'application
de Chern c;, 2. Cette application etant injective (Soule), on en deduit que C;(e)
est non nul.
Montrons maintenant (C,iii) (Soule). Comme H 1 (Gs,F0 ,Qp(j))W est de
dimension 1 et que C;(e) est non nul, celui-ci l'engendre. Comme logQp(j) est
injective sur E9vipH 1 (Fo,v, Qp( j)), logQp(j) C;(e) f. 0 si et seulement si le
noyau de localisation sur H 1(Gs,p0 ,Q1,( j))W est nul. Par Ia proposition
3.2.3, cela est equivalent a Ia non-nullite de £K -L(ex-i) = Lp(j, ew(x)-i+ 1).
REMARQUE. Le theoreme precedent est suffisant pour Ia partie de Ia conjecture de Bloch-Kato donnant l'ordre du zero de Ia fonction L du motif Q(1- j) en
termes de r(e, Qp(j)) = diffiQPHj(Fo, Qp(j))W - dimQpH 0 (Fo, Qp(j))(() (dans
Ia version [F-P91], [F-P92], [F92)). On a en effet :
rCe, Qp(j)) =
enon trivial
0
si j < 0 ou j = 0,
-1
si j = 0,
o
1
si j = 1,
1
si j ~ 2, f(exi) = -1
0
si j ~ 2, f(exi) = 1.
si j = 1,
etrivial
enon trivial
etrivial
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4.3. Demonstrations
87
a la "Kolyvagin".
4.3.1. Nous allons demontrer Ia proposition suivante sans supposer le theoreme 4.2.2 en suivant les idees de Kolyvagin (cf. Kurihara [Ku92)). Posons
(i) Si j est un entier impair et si .CK-dx-i) ':1 0, alors
H 1 (Gs,Q, Zp(1- j)) est fini et annule par Tp(1- j).CK-dx-i).
(ii) Si j est un entier impair > 0 et si Ci = Cj(1) est non nul, alors
Hj(Q, Qp(1 - j)/Zp(1 - j)) est fini et annuli par l'indice de Ci dans
H 1 (Gs,Q, Zp(j)).
PROPOSITION.
La demonstration est donnee dans 4.3.3 et suivants.
La proposition implique une partie du theoreme 4.2.2 pour F = Q et
impair et negatif, on
en deduit Ia nullite de H 1 (Gs,Q, Qp(1- j)) et done de H 2 (Gs,Q, Qp(1- j)) et de
H 2 (Gs,Q,Qp(j)), c'est-a-dire (A) pour j pair positif, (D) et (B).
Pour j positif, impair, Ia proposition implique que si .CK-dx-i) est non nul,
H 1 (Gs,Q, Qp(1-j)) et H 2 (Gs,Q, Qp(1-j)) sont nuls (moitie de (F)). (ii) implique
Qp(j))
que si Ci est non nul, Hj(Q, Qp(1- j)), H 2 (Gs,Q, Qp(1- j)) et ~(Gs,Q,
sont nuls (j impair, positif). Enfin, Ia non-nullite de .CK-dx-i) pour j impair,
positif implique Ia non nullite de Ci.
La proposition 4.3.1 n'utilise pas Ia K-theorie. Par contre, il ne semble pas y
avoir jusqu'a present de moyen d'eviter Ia K-theorie pour montrer que Ci ':1 0
pour j impair, positif.
REMARQUE. Montrons que ID(Z(j)) = E9pill(Zp(j)) est fini. Pour j < 0
et impair, il est en effet annule par
Tp(1 - j)L(j, w(x)i+ 1 ) qui est un rationnel. Si j > 0 et impair, il est annu!e par le produit des indices de Ci
dans H 1 (Gs,Q, Zp(j)). Pour p assez grand, les Zp-modules Zp ®z K2j-1(Z) et
H 1(Gs,Q,Zp(j)) sont des Zp-modules libres de meme rang. Or !'application
4.3.2.
ecaractere trivial. Comme .CK -L(x-i) est non nul pour j
n
Zp ®z K2j-l(Z)-+ H 1 (Gs,Q, Zp(j))
est surjective ([D-F85, theorem 8.7 et remark 8.8)). On en deduit facilement
que l'indice de Ci dans H 1 (Gs,Q, Zp(j)) est egal a 1 pour presqu~
tout p. Le cas
ou j est pair se deduit du cas oil j est impair par Ia dualite decrite dans 4.1.
4.3.3. Nous donnons ici une demonstration de Ia proposition 4.3.1 due essentiellement a Kurihara au moins pour Je (ii) (d'apres les idees de Kolyvagin).
Soit j un entier impair, M une puissance de p et S(M) !'ensemble des entiers naturels sans facteurs carres et dont Jes facteurs premiers sont congrus a 1
mod M. Si L E S(M), posons S = {p,oo} et SU {L} = Su {ll£}. Choisissons un systeme de racines de !'unite aL d'ordre L pour toutLE S(M) tel que
= a.L/1 pour tout liL. Choisissons un generateur r1 de GaJ(Q(J.LL)/Q(J.LL/I))
at
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88
pour tout nombre premier liL. Si L est un element de S(M), on definit un
element Pj(L) de H 1 (Gsu{L},Q• (Z/MZ)(j)) de la maniere suivante: Soient
1-2
DL
= ITLirf
IlL i=l
l'operateur de Kolyvagin et P(waL) E H 1 (Gsu{L},Q(~J.L)'Zp(j))
par
defini (cf. 3.3.1)
rEGal(Q,. {~J.L)/Q)
Alors, l'image de DL(P(waL,j)) dans H 1 (Gsu{L},Q(~J.L)'
(Z/MZ)(j)) est invariant
0 Q<~<L>
sous !'action de Gal(Q(JLL)/Q). La nullite de (Z/MZ)(j)
(j est impair)
implique par la suite inflation-restriction qu'il existe un unique element Pj(L) de
H 1 (Gsu{L},Q• (Z/MZ)(j)) dont !'image dans H 1 (Gsu{L},Q(~J.L)'
(Z/MZ)(j)) est
DL(P(waL,j); on a Pj(1) = P(wj) = Cj(l). L'interet de ces elements vient de
leurs proprietes locales. Comme JLM est contenu dans Q 1 pour l = 1 mod M,
on a des isomorphismes non canoniques
H 1 (Qj'r /QI, (Z/MZ)(j)) = Homz(Gal(Qj'r /QI), (Z/MZ)(j)) ~ (Z/MZ)(j)
et
H 1 (Q,, (Z/MZ)(j))/ H 1 (Qj'r /QI, (Z/MZ)(j))
= Hl(Qj'r,(Z/MZ)(j))Gal{Qj'rfQ,)
= Homz(Zp(1 ), (Z/ MZ)(j) )Gal{Qi'r /Q!)
~
(Z/MZ)(j).
Soit u 1 un generateur de H 1 (Qi'r /Q1, (Z/MZ)(j)). Si L e S(M) et liL, !'image
Pj(L/l)t de Pj(L/l) dans H 1 (Qt, (Z/MZ)(j)) est dans H 1 (Qir jQ,, (Z/MZ)(j))
et on pose
Pj(L/l),
ou
u1
= m,(L/l)u,
est un generateur de H 1 (Qir/Qt,(Z/MZ)(j)) avec m,(L/l) e Z/MZ.
4.3.4.
LEMME. Si v est une place divisant L, on peut ecrire
Pj(L)t:.:: m,(L/l)UI
mod H 1 (Qj'r /QI, (Z/MZ)(j))
avec U1 un generateur de H 1(Q1, (Z/MZ)(j))/H 1 (Qi'r /Ql, (Z/MZ)(j))).
Le lemme se deduit de la proposition 2.4 de [Ru90] (remarquons que pour l
premier divisant L, Q 1 contient (Z/MZ)(l)).
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89
4.3.5. Reprenons Ia demonstration de 4.3.1. On suppose toujours j impair (lorsque j est pair, les Ci sont nuls). Remarquons que H 1 (Gs,Q, Zp(j))
et H 1 (Qp, Zp(j)) sont sans torsion (Ia torsion est egale a H 0 (Gs,Q, Qp(j)/Zp(j))
eta H 0 (Qp,Qp(j)/Zp(j))) respectivement. Soit m Ia plus grande puissance de
p par laquelle Pj(l) = Ci est divisible dans H 1 (Gs,Q,Zp(j)). Ecrivons Ci = mz
avec z E H 1 (Gs,Q,Zp(j)). De meme, Ci = mpup ou up est un generateur de
H 1 (Qp,Zp(j)) avec mjmp. Ce qui suit n'a d'interet que si mp est non nul.
Nous le supposons et calculons mp plus tard. On a z = m- 1mpup. Soit
x E H 1 (Gs,Q, (M- 1Zp/Zp)(l- j)). Par Ia dualite globale et comme z est non
ramifie en dehors de p , on a < z, x >p= 0. Done
< up,m -1 mpx >p= 0 .
On en doouit que l'image de m- 1 mpx dans H 1 (Qp, (Qp/Zp)(l - j)) est nulle et
done de mpx aussi.
Si l E S(M) et si m(l) est la plus grande puissance de p telle que P(l) =
m(l)z(l) avec z(l) E H 1 (Gsu{I},Q• (Z/MZ)(j)), on a
< z(l), X >1 + < z(l), X >p= 0.
D'ou
< z(l), m- 1 mpx >t= 0.
D'autre part, l'image de z(l) dans H 1 (Q~, (Z/MZ)(j))/ H 1 (Qjr /Qt, (Z/MZ)(j))
est egale a m(l)- 1m 1(1)U1. Comme x, etant non ramifie en l, est orthogonal
a H 1 (Qjr /Qt, (Z/ M7L.)(j)), l'image dans H 1 (Q1, (Z/MZ)(l - j)) de l'element
m(l)- 1 mt(l)m- 1 mpx est orthogonale a H 1 (Q1, (Z/MZ)(j)) et est done nulle.
En particulier, l'image de m 1(1)m- 1mpx dans H 1 (Q1, (Z/MZ)(l- j)) est nulle.
L'application restriction
H 1 (Gs,Q, (ZjM'lL.)(j))-+ H 1 (Gs,Q(JLM)' (71../MZ)(j))
= Homz,(Gs,Q(JLM)' (Z/M'lL.)(j))
est injective. Soit H !'extension cyclique d'ordre Mjm de Q(J.l-M ), galoisienne sur
Q, definie par Ci: l'image de Ci dans Homz,(Gs,Q(JLM)' (Z/MZ)(j)) se factorise
done exactement par Gal(H/Q(J.l-M )). Si l E S(M) est tel que le Frobenius en l
engendre Gal(H/Q(J.l-M )), on a m1(1) = m. Pour un tell, l'image de mpx dans
H 1 (Q1, (Z/MZ)(l- j)) est nulle et !'extension KjQ(J.lM) definie par mpx est totalement decomposee en l. Ce qui est impossible par le theoreme de Chebotarev
sauf si K = Q(J.l-M ). En effet, necessairement, HnK = Q(J.l-M) ; soit hun element
de Gal(H.K/Q(J.l-M)) se projetant sur un generateur de Gal(H/Q(J.l-M)) et sur
un generateur de Gal(K/Q(J.l-M )). II existe un nombre premier l tel que le Frobenius en l dans Gal(HK/Q) soit h ; ainsi l appartient necessairement a S(M) et
}'extension K/Q(J.l-M) doit etre totalement decomposee en l, ce qui est contradictoire avec le choix de h. L'image de mpx dans H 1 ( Gs,Q(JLM)' (M- 17l.p/Zp)(l- j))
est done nulle. Ainsi, mpx appartient a H 1 (Q(J.l-M)/Q, (M- 1 7l.p/Zp)(l- j)).
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90
BERNADETTE PERRIN-RIOU
Comme l'image de mpx dans H 1 (Qp, (M- 1Zp/Zp)(1- j)) est nulle, on en deduit
que mpx = 0.
On a done montre que mp annule H 1 (Gs,Q, (M- 1Zp/Zp)(1- j)) au moins si
mp est non nul. Calculons mp en termes de logQp(i) Ci ou de >..Qp(j)Cj selon le
signe de j, puis de LK-dx-i). Supposons d'abord que j > 1. Ecrivons
avec LogQp(j)Ci E Qp et ei la base canonique de Dp(Zp(j)); l'indice generalise
[H 1 (Qp, Zp(j) )/tors: Dp(Zp(j))] est egal a (1- p-i)- 1 Tamp(Zp(j))- 1 . Comme
Tamp(Zp(1- j)) ""rp(1- j), on obtient en utilisant 1.5 que
Done,
en utilisant 2.1.2 et rp(j) "" 1
Supposons j < 0. On a maintenant Tamp(Zp(j)) "" rp(j) "" 1. Done, avec
~p(j)(Cj)
= ().Qp(j)(Cj))ej et en utilisant 1.5, on trouve
mp ""Tp(1- j)(1- p1- 1 )Tamp(Zp(1- j))- 1 ).Qp(j)(Cj)
""rp(1- j)( -j)!Tamp(Zp{j))- 1 ~p(j)(Cj)
""rp(1- j)( -j)!~p(j)(Cj)
""rp(1- j)LK-dX-i).
D'ou }'assertion (i) de la proposition.
4.3.6. Montrons rapidement (ii). Soit x E Hj(Q, Qp(1- j)/Zp(1- j)), c'est8.-dire dans ker Locp,Qp( 1-j)/Zp( 1-j)· En reprenant la demonstration faite en
4.3.5, on voit qu'il n'est pas necessaire de multiplier x par mp mais uniquement
par m(l). On obtient alors que m annule x, c'est-a-dire que l'indice de Ci dans
H 1 (Gs,Q, Zp(j)) annule Hj(Q, Qp(1- j)/Zp(1- j)).
5. Conjectures p-adiques
Les conjectures qui suivent sont inspirees de nombreux travaux, en particulier
ceux de Schneider, Gros, Bloch et Kato ...
5.1. Si a est toujours une racine de }'unite d'ordre m premier a p et F de
conducteur m, Soule ([So83]) definit un element era"( a) de Zp(a)®K2j-1(0p)
comme la limite des
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91
LA FONCTION DE KUBOTA-LEOPOLDT
oil B : JLpn+l -+ K2(0pn;Zjpn+l7L,) est l'inverse du morphisme de Bockstein.
Avec les notations de ce texte, l'image de Cto"(a) dans H 1 (F,Zp(j)) est
(j- 1)!TrQ(a)/FP(wa ® e®i).
Si
~
est un caractere de conducteur m, posons
:L: ~(r)-
eta"(~)=
1
cto"(ra);
TEG
l'image de cfou(~)
dans H 1 (F,Zp(j))(~)
est done (j- 1)!C;(~).
Les elements
C;(~)
proviennent .done de Qp(~) ® K2;-1(0p) = K2;-1(0p, Qp(~)).
Plus precisement, Beilinson ([Be]) montre que cfe1(a) defini en 3.2.4 provient d'un element de K 2;_ 1(0p), le cas j = 2 avait ete montre par Soule dans
[So87]. Rappelons enfin que cfe 1 (~) = (1- pi- 1 ~(u)- 1 )- 1 C;(~).
5.2.
Si
~
est un caractere de Dirichlet, posons
La proposition suivante a deja ete vue. Nous Ia reecrivons afin de comparer
les formules avec celle de Ia conjecture qui les suit.
PROPOSITION.
Soit
~
un caractere de Dirichlet de conducteur m.
(i) Si j est un entier negatif et si e(~xi)
(ii) Si j est un entier positif et si e(~xi)
(1- pi-
1
~(u)-
1
)-
1
(1-
= -1, on a
= 1, on a
p-i~(u))LK-L(~x-i)
=2r•(j,~)G(C1)-1
£~;~~;/).
CONJECTURE. {theoreme pour j=2 [G-K90]} Soit ~ un caractere de Dirich= -1, pour tout
let de conducteur m. Si j est un entier positif et si e(~xi)
element B non nul de Q®K2;-1(0p)<C\ on a
L K-L (..cx -j) = r•(.J, ..C)L{p}(j,~)(l B ogQ (j) B)/ e_; ) .
1ogQ(j)
p
lei, lo~(j)
designe !'application regulateur complexe et (logQp(i) B)/e-;) est
l'element de Qp tel que
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(i) Si l'on revient ala definition de 1Iarith(F,Zp(j))-E; ou
est le signe de ( -1)3 , celui-ci est dans /\ 0 Dp(Qp(1- j)) ®A(G]-E;, ce
qui explique l'absence de facteurs du type (1- <p)- 1(1- p- 1<p- 1) dans
les formules de (i) et de Ia conjecture : Ia puissance exterieure 0-ieme
d 'un endomorphisme est 1.
(ii) Par contre, Iarith(F, Zp(j))E; est un element de 1\ 1Dp(Qp(1-j))®A(G]E;,
ce qui est egal a Dp(Qp(1-j))®A(G]E;- Dans Ia formule (ii), on reconnait
1 ~(u)1 )- 1 (1-p-3~(u))
Paction de l'operateur (1-<p)- 1 (1dans (1-p3p-1<p-1) sur Dp(Qp(1- j)) ®A(GJ<C 1 >.
(iii) Toutes ces formules peuvent se generaliser a un "motif quelconque"
((Ph]) et on peut en donner alors une formulation unifiee.
(iv) Les formules 5.2 peuvent etre ecrites sous Ia forme de conjectures de
type Bloch-Kato p-adiques sans faire appel aux valeurs complexes de Ia
fonction L.
REMARQUES.
Ej
REFERENCES
[B-K90]
[Be]
[C77]
[Co82]
[De89)
[D-F85)
[FI90]
[F92]
[F-P91)
[F-P92]
[G-K90)
[1-887)
[Iw69)
[Iw73)
[K-M76)
[Ko90]
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