Ld 2M05 Test formatif Corrigé : Trigonométrie Exercice 1 Calculer la valeur exacte de sin(75◦ ). Solution √ √ √ 2 3 21 sin(75 ) = sin(45 + 30 ) = sin(45 ) cos(30 ) + cos(45 ) sin(30 ) = + = 2 2 2 2 √ √ 6+ 2 4 ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ Exercice 2 La fonction ci-dessous est-elle périodique et si oui, quelle est sa période (exprimée en radians) ? f (x) = sin(3x + π 5x ) + tan( ) 3 3 Solution 2π π ) est de 2π ÷ 3 = 3 3 5 3π 5x La période de tan( ) est de π ÷ = 3 3 5 10π 3π 9π 90π 2π = = ppmc(10; 9) = 90 ⇒ période de f (x) = = 6π 3 15 5 15 15 La période de sin(3x + Exercice 3 Résoudre l’équation en donnant la solution en radians : 1 t π cos( − ) = 2 6 2 Solution 1 π 1 π = cos( + k.2π) ou = cos(− + k.2π) avec k ∈ Z ⇒ 2 3 2 3 t π π t π • − = + k.2π ⇒ = + k.2π ⇒ t1 = π + k.4π 2 6 3 2 2 t π π π t π • − = − + k.2π ⇒ = − + k.2π ⇒ t2 = − + k.4π 2 6 3 2 6 3 Trigonométrie Ld, 21/10/2011 2 Exercice 4 Résoudre l’équation en donnant la solution en radians : sin( 4x x ) + cos( ) = 0 3 2 Solution 3π 4x x π sin( ) = − cos( ) ⇔ Comme sin(α) = − cos( + α) ou − cos( − α) 2 2 3 2 π 4x x π 4x x • − cos( + ) = − cos( ) ⇒ + = + k.2π 2 3 2 2 3 2 π 12π 3π 5x = − + k.2π ⇒ x1 = − + k. 6 2 5 5 x 3π 4x x 3π 4x − ) = − cos( ) ⇒ − = + k.2π • − cos( 2 3 2 2 3 2 11x 3π 12π 9π = + k.2π ⇒ x2 = + k. 6 2 11 11 Exercice 5 Résoudre l’équation : sin(t) + 3 cos(t) = 3 Solution sin(t) = 3(1 − cos(t)) ⇒ sin2 (t) = 9(1 − cos(t))2 = 9 − 18 cos(t) + 9 cos2 (t) Comme sin2 (t) + cos(2 (t) = 1 ⇒ 9 − 18 cos(t) + 9 cos2 (t) + cos(2 (t) = 1 ⇔ 10 cos2 (t) − 18 cos(t) + 8 = 0 Posons y = cos(t) ⇒ 5y 2 − 9y + 4 = 0 ⇔ (5y − 4)(y − 1) = 0 • y= 4 5 = cos(t) et sin(t) = 3(1 − cos(t)) = 3(1 − 45 ) = 3 5 ⇒ t1 ∼ = 36, 9◦ + k.360◦ • y = 1 = cos(t) et sin(t) = 3(1 − cos(t)) = 0 ⇒ t2 = k.360◦