Formes différentielles (sur R#) 1. Formes différentielles et intégrales

Formes di¤érentielles (sur R2 )
1. Formes di¤érentielles et intégrales curvilignes
a) Dé…nition et notation di¤ érentielle, champ de vecteurs associé à une forme di¤ érentielle
Soit U un ouvert de Rn .
Dé…nition : Une forme di¤érentielle sur U est une application de U dans L(R2 ; R):
Rappel : dx : U ! L(R2 ; R) est l’application constante (x; y) 7 ! x, et de même pour dy:
Alors toute forme di¤érentielle s’écrit sous la forme !(x; y) = a(x; y) dx + b(x; y) dy .
On dit que ! est de classe C n ssi a et b sont de classe C n :
Important : Toute forme di¤érentielle est naturellement associée à un champ vectoriel
!
A : U ! Rn
On a ainsi !(x; y)(h; k) =
b) Intégrale curviligne
(x; y) 7 !
a(x; y)
b(x; y)
:
D!
E
A (x; y); (h; k) pour tous (x; y) 2 U et (h; k) 2 R2 .
Dé…nition : Soit un arc de classe C 1 paramétré par : [ ; ] ! R2 t 7 ! (x(t); y(t)).
R
R
R
a(x(t); y(t)) x0 (t) + b(x(t); y(t)) y 0 (t) dt:
!( (t))( 0 (t)) dt =
On dé…nit
!=
R
R
!( (t))( 0 (t)) dt ne dépend pas du choix de .
! est valide, car la valeur de
Remarque : La notation
R
R !!
!
Remarque :
! est noté aussi
A : dl , appelé intégrale de ! (ou travail de A ) le long de :
R !! R
A( (t)): 0 (t) dt:
On ainsi
A : dl =
2. Formes di¤érentielles exactes et fermées
a) Formes di¤ érentielles exactes
Dé…nition : On dit qu’une forme di¤érentielle !(x; y) = a(x; y) dx + b(x; y) dy dé…nie sur U est exacte ssi il existe
0
1
@f
!
(x;
y)
a(x; y)
B
C
une application f de classe C 1 de U dans R telle que ! = df , c’est-à-dire ssi
= @ @x
A.
@f
b(x; y)
(x; y)
@x
!
!
Autrement dit, une forme di¤érentielle ! est exacte ssi le champ A dérivé d’un potentiel f , c’est-à-dire A = rf :
!
Terminologie : Une telle fonction f s’appelle une primitive de ! (ou un potentiel de A ).
R
Important : Dans ce cas,
! = f (B) f (A), où A et B sont les extrémités de l’arc .
H
En particulier, pour tout chemin fermé inclus dans U , on a
! = 0: On a en fait la caractérisation suivante :
H
!=0:
Prop : Une forme di¤érentielle ! est exacte ssi pour tout chemin fermé inclus dans U , on a
Preuve : On peut supposer U connexe (c’est-à-dire que deux points de U sont reliés par un chemin continue).
H
R
Supposons
! = 0 pour tout chemin fermé. Alors la valeur de
! ne dépend que des bornes.
On …xe un point O dans U , et on dé…nit alors f (M ) comme l’intégrale de ! sur tout chemin reliant O à M .
On montre alors que f est de classe C 1 , et que df = !:
b) Formes di¤ érentielles fermées
Dé…nition : On dit qu’une forme di¤érentielle ! : (x; y) 7 ! a(x; y) dx + b(x; y) dy de classe C 1 est fermée ssi
@a
@b
(x; y) =
(x; y):
@y
@x
P
Remarque : Plus généralement, en dimension n, ! : X 7 ! ni=1 ai (X) dxi de classe C 1 est fermée ssi
8(i; j) 2 f1; 2; :::ng2 ,
@aj
@ai
(X) =
(X)
@xj
@xi
c) Théorème de Poincaré
Par le théorème de Schwarz, toute forme di¤érentielle de classe C 1 et exacte est fermée .
Théorème de Poincaré : Sur un ouvert étoilé, toute forme di¤érentielle de classe C 1 fermée est exacte .
R
Idée de la preuve : On considère un centre O de l’ouvert étoilé. On dé…nit f (M ) = [OM ] !, et on montre que ! = df:
y) dy est exacte sur R2 :
Exemple : La forme di¤érentielle ! = (x + y) dx + (x
En e¤et, avec a(x; y) = x + y et b(x; y) = x
On cherche f tel que
@f
@x
= x + y et
@f
@y
=x
y, on a
@a
@y
@b
@x , donc !
= 12 x2 + xy
=1=
y, donc f (x; y)
est fermé, donc exacte (car R2 est étoilé).
1 2
2y
+ k convient, avec k constante.
R1!
On peut aussi retrouver f par la méthode générale, en considérant f (x; y) = 0 rf (tx; ty):(x; y) dt:
R1
R1
On obtient en e¤et f (x; y) = 0 xa(tx; ty) + yb(tx; ty) dt = 0 (x2 + 2xy y 2 )t2 dt = 12 x2 + xy 12 y 2 :
Remarque : La propriété est fausse sur un ouvert quelconque. Par exemple, considérons sur U = R2 n f(0; 0)g,
!(x; y) =
x2
y
x
dx + 2
dy
2
+y
x + y2
Alors ! est une forme di¤érentielle fermée, mais n’est pas exacte, car son intégrale curviligne sur le cercle unité
(paramétrée par t 7 ! (cos t; sin t)) vaut 2 , alors qu’elle serait nulle si la forme di¤érentielle était exacte.
3. Formule de Green-Riemann (dans R2 )
a) Formule de Green-Riemann
Prop : Soit K un compact de R2 délimité par une courbe fermée
de classe C 1 orientée dans le sens direct.
Soit ! : (x; y) 7 ! P (x; y)dx + Q(x; y)dy une forme di¤érentielle de classe C 1 dé…nie sur un ouvert U contenant K.
H
RR
@Q @P
Alors
P (x; y) dx + Q(x; y) dy = K
dxdy:
@x
@y
H
Remarque : On retrouve le fait que si ! est une forme exacte, alors
! = 0:
Idée de la preuve : On prouve la propriété pour un rectangle, puis on approche K par des réunions de pavés (en
utilisant l’additivité des termes considérés).
b) Application à des calculs d’aires
On choisit P et Q tels que
@Q
@x
Exemple : Considérons K :
x2 y 2
+ 2
a2
b
Alors Aire(K) =
R2
0
@P
=e
1. Ainsi, l’aire de K délimitée par
@y
I
I
Aire(K) =
x dy =
y dx
x( )y 0 ( ) d = ab
(orienté dans le sens direct) vaut
1 délimité par l’ellipse de paramétrage M ( ) = (a cos ; b sin ):
R2
0
(cos )2 d = ab, car la valeur moyenne de (cos )2 vaut
1
:
2