Chapitre II - Complexes (Partie I) 1 Forme algébrique d’un nombre complexe Théorème 1. et définition. Il existe un ensemble noté C, appelé ensemble des nombres complexes, tel que : 1. l’ensemble C contient l’ensemble R. 2. l’addition et la multiplication dans C suivent les mêmes règles de calcul que dans R. 3. C contient un élément, noté i, tel que i2 = −1 . 4. tout nombre complexe z s’écrit de manière unique z = a + i b avec a et b réels. Définition 1. L’écriture z = a + i b avec a et b réels s’appelle la forme algébrique de z. → a est la partie réelle de z, on la note a = Re(z) → b est la partie imaginaire de z, on la note b = Im(z) Remarque. z = i b (b ∈ R) est un imaginaire pur. Exemple 1. • • Si z1 = 5 − 3 i alors Re(z1) = 5 et Im(z1) = −3 √ 2 est un imaginaire pur z2 = −8 est un réel et z3 = i • 0 est le seul nombre complexe à la fois réel et imaginaire pur. 2 Représentation graphique d’un nombre complexe Le plan est muni d’un Repère Orthonormé Direct (O ; Qu , Qv ). Définition 2. Affixe d’un point Soit a et b réels. • À tout complexe z = a + i b, on associe l’unique point M (x; y) du plan complexe. M est appelé l’image de z. On note M (z) . b Réciproquement, à tout point M (x; y) du plan complexe, on associe l’unique complexe z = a + i b appelé l’affixe du point M ou du vecteur OM. On note zM . • Remarque. • On peut identifier C au plan qui est alors appelé plan complexe. • • M (z) Qv O Qu a axe des imaginaires purs A L’axe (O ; Qu ) est appelé l’axe des réels. L’axe (O ; Qv ) est appelé l’axe des imaginaires purs. Exemple 2. → Qv Le point A(0; 2) a pour affixe zA = 2 i. → zB = 3 est l’affixe du point B de coordonnées (3; 0). → Le nombre complexe z = 2 − i a pour image le point C(2 ; −1). O axe des B Qu réels C 3 Opérations sur les complexes Pour effectuer des calculs dans C, il suffit d’utiliser i2 = −1 et les mêmes règles de calculs que dans R. Proposition 1. Soient deux nombres complexes écrits sous forme algébrique z = z = a + i b et z ′ = a ′ + i b ′ (a, a ′ , b et b ′ réels). • Somme de deux complexes : z + z ′ = (a + i b) + (a ′ + i b ′) = (a + a ′) + i(b + b ′) • Produit de deux complexes : z z ′ = (a + i b) × (a ′ + i b ′) = (a a ′ − b b ′) + i (a b ′ + b a ′) • Inverse d’un complexe non nul : 1 a−ib 1 = = 2 a+ib a + b2 z Démonstration. Dans le cahier de bord Remarque. • Un cas particulier de produit : (a + i b) × (a − i b) = a2 + b2 • Quotient de deux nombres complexes : z a+ib (a + i b) (a ′ − i b ′) = ′ = ′ ′ ′ z a +ib (a + i b ′) (a ′ − i b ′) Exemple 3. Mettre sous forme algébrique les complexes suivants : z1 = (3 − 2 i) (i − 4) ; z2 = z1 = (3 − 2 i) (i − 4) = 3 i − 12 − 2 i2 + 8 i = 3 i − 12 + 2 + 8 i = −10 + 11 i 2 2 (1 − 6 i) 2 − 12 i 2 − 12 i = = = z2 = 1 + 6 i (1 + 6 i) (1 − 6 i) 1 + 36 37 2i+5 (2 i + 5) (−1 − 3 i) −2 i − 6 i2 − 5 − 15 i 1 17 1 − 17 i = = = = − i z3 = −1 + 3 i (−1 + 3 i) (−1 − 3 i) 1+9 10 10 10 2 1+6i et z3 = 2i+5 . −1 + 3 i Tale S2 Chapitre II - Complexes (Partie I) Guist’hau - 2014/2015 4 Égalité de deux complexes Théorème 2. Deux nombres complexes sont égaux si, et seulement si, ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire. a + i b = a ′ + i b ′ équivaut à a = a ′ et b = b ′ Remarque. Soit z = a + i b (a et b réels) z est un réel si, et seulement si, Im(z) = b = 0 z est un imaginaire pur si, et seulement si, Re(z) = a = 0 z = 0 si, et seulement si, a = 0 et b = 0 Exemple 4. 1. Déterminer les réels x et y tels que (i − 3) x + 4i y (2 i − 1) = −2 + i (i − 3) x + 4i y (2 i − 1) = −2 + i ⇔ i x − 3 x − 8 y − 4 i y = −2 + i ⇔ −3 x − 8 y + i (x − 4 y) = −2 + i 3. À quelle condition le nombre complexe z = x + 1 + i (−i x + x) + 3 i − 3 i x est-il un imaginaire pur ? z = x + 1 + i (−i x + x) + 3 i − 3 i x = (2 x + 1) + (3 − 2 x) i z imaginaire pur équivaut à Re(z) = 0, ⇔ 4. Dans le plan muni d’un repère orthonormé, déterminer l’ensemble des points x+1+i y M (x ; y) tels que Z = x + i (y − 1) soit un réel. ⇔ 2. Résoudre dans C l’équation Pour z −3 x − 8 y = −2 x −4 y = 1 x= 4 5 y=− 1 20 ce qui équivaut à 2 x + 1 = 0 soit x = − 1 2 = 2. Z = On pose z = x + i y avec x et y réels. = −1, −i z+1 −i z+1 = 2 ⇔ −i = 2 (z + 1) = ⇔ −i = 2 (x + i y) + 2 ⇔ −i = 2 x + 2 + i (2 y) ⇔ ⇔ donc l’équation −i z+1 = 2x+2=0 2 y = −1 x = −1 y = −0,5 = 2 a pour solution z = −1 − d’où Im(Z) = 1 2 i. x+1+iy x + i (y − 1) (x + 1 + i y) (x − i (y − 1)) x2 + (y − 1)2 y 2 − y − i y + x2 + i x + x + i x2 + (y − 1)2 y 2 − y + x2 + x + i (x − y + 1) x2 + (y − 1)2 x−y+1 2 x + (y − 1)2 x−y+1 donc Z réel équivaut à Im(Z) = 0, ce qui équivaut à x2 + (y − 1)2 = 0 soit x − y + 1 = 0 et (x; y) (0 ; 1) L’ensemble cherché est la droite d’équation x − y + 1 = 0 privée du point de coordonnées (0; 1). 5 Conjugué d’un nombre complexe Définition 3. Le conjugué d’un nombre complexe z = a + i b est le nombre complexe noté z̄ = a − i b . Exemple 5. Si z = 5 − 2 i alors z̄ = 5 + 2 i 7 i = −7 i Si Z = −8 alors Z̄ = −8 Exemple 6. Résoudre dans C l’équation i z̄ − 1 = 2 z + i. On pose z = x + i y avec x et y réels. Alors z̄ = x − i y. i z̄ − 1 = 2 z + i ⇔ i (x − i y) − 1 = 2 (x + i y) + i ⇔ ix+ y −1=2x+2 yi+i ⇔ y − 1 + ix = 2 x + (2 y + 1) i ⇔ ⇔ y −1=2x x=2 y+1 x = −1 y = −1 Proposition 2. z + z̄ = 2 Re(z) Proposition 3. Interprétation géométrique Les images de z et z̄ sont symétriques par rapport à l’axe des réels. Qv donc l’équation i z̄ − 1 = 2 z + i a pour solution z = −1 − i . O et M (z) b z − z̄ = 2 Im(z) Q u −b z est un réel si, et seulement si, z est un imaginaire pur si, et seulement si, z̄ = −z z̄ = z a M ′(z̄ ) ⇔z + z̄ = 0 ⇔ Re(z) = 0 ⇔z − z̄ = 0 ⇔ Im(z) = 0 Remarque. En cas de doute, vérifier pour des cas simples : • • z = 5 (réel) équivaut à z = z̄ = 5 z = 3 i (imaginaire pur) équivaut à z = −z̄ = 3 i Proposition 4. Opérations sur les conjugués Soit z et z ′ deux nombres complexes. 1 1 z z̄ = et = ¯′ z + z ′ = z̄ + z¯′ z z ′ = z̄ z¯′ et z n = z̄ n z z̄ z′ z Proposition 5. Si z = a + i b alors z z̄ = a2 + b2 (réel positif ou nul). Démonstration. Immédiate, dans le cahier de recherche 2 z̄¯ = z Tale S2 Chapitre II - Complexes (Partie I) Guist’hau - 2014/2015 6 Équation du second degré à coefficients réels Théorème 3. Soit l’équation a z 2 + b z + c = 0, d’inconnue z ∈ C, où a, b et c sont des réels (a 0). Le discriminant de cette équation du second degré est le réel : ∆ = b2 − 4 a c . 1. Si ∆ > 0 : L’équation a z 2 + b z + c = 0 a 2 solutions réelles distinctes : √ √ −b − ∆ −b + ∆ z1 = et z2 = 2a 2a 2. Si ∆ = 0 : L’équation a z 2 + b z + c = 0 a une solution double réelle : b z0 = − 2a 3. Si ∆ < 0 : L’équation a z 2 + b z + c = 0 a 2 solutions complexes conjuguées : √ √ −b − i −∆ −b + i −∆ z1 = et z2 = z¯1 = 2a 2a Démonstration. Dans la cahier de bord √ √ √ Exemple 7. x2 = 3 a pour solutions − 3 et 3 et 2 x2 = −7 a pour solutions −i 4 √ 7 et i √ Exemple 8. Résoudre dans C les équations suivantes : −10 z + 2 z − 1 = 0 et z + 6 z − 7 = 0. √ 1. −10 z 2 + 2 z − 1 = 0 a pour discriminant : ∆ = −36 < 0 et −∆ = 6 donc cette équation a deux solutions complexes conjuguées : z1 = −2 − 6 i −20 = 7. 2 1+3i 10 et z2 = z¯1 = 1−3i 10 2. Posons Z = z 2. L’équation z 4 + 6 z 2 − 7 = 0 est équivalente à Z 2 + 6 Z − 7 = 0. Z 2 + 6 Z − 7 = 0 a pour discriminant : ∆ = 64 > 0 −6 + 8 −6 − 8 donc cette équation a deux solutions réelles : Z1 = 2 = −7 et Z2 = 2 = 1 d’où z 4 + 6 z 2 − 7 = 0 ⇔ z 2 = −7 ou z2 = 1 ⇔ z = −7 i ou z = 7 i ou z = −1 ou z = 1 On en déduit donc que z 4 + 6 z 2 − 7 = 0 a pour ensemble de solutions S = {−7 i; 7 i; −1; 1} Proposition 6. Dans C, le trinôme a z 2 + b z + c peut toujours être factorisé (éventuellement avec z1 = z2 = z0 ) a z 2 + b z + c = a (z − z1) (z − z2) 7 Module, argument et forme trigonométrique Le plan est muni d’un Repère Orthonormé Direct (O ; Qu , Qv ). Définition 4. Soit z = a + i b un nombre complexe et M (a; b) le point d’affixe z. • Le module de z, noté |z | est égal à la distance OM = r √ |z | = r = a2 + b2 • M (z) b Un argument de z (z non nul), noté arg z est une mesure de l’angle orienté θ = u Q ; OM cos θ = a r arg z = θ + k × 2 π (k ∈ Z) avec sin θ = b |z | = r Qv O arg z = θ a Q u r On note arg z = θ [2 π] et on dit « argument de z égal à θ modulo 2 π » Remarque. • |z | est un réel positif. • Dans le cas |z | = 1, on retrouve les propriétés du cercle trigonométrique. • On verra aussi la notation arg z ≡ θ [2 π] et on dira « argument de z congru à θ modulo 2 π ». 1 A −2 Exemple 9. Dans le plan complexe, placer les points A et B tels que : 3π |zA | = 1 et arg (zA) = 4 [2 π] |zB | = 2 et arg (zB ) = −5 π 6 [2 π] B Exemple 10. Déterminer l’ensemble E1 des points M d’affixe z du plan tels que : |z| = 5. |z| = 5 ⇔ OM = 5 donc E1 est le cercle de centre O et de rayon 5. 3π Exemple 11. Déterminer l’ensemble E2 des points M d’affixe z du plan tels que : arg z = 4 [2 π]. √ √ 3π 3π arg z = 4 [2 π] ⇔ Q u ; OM = 4 [2 π] donc E2 est la demi-droite d’origine O exclu et passant par M − 2 + i 2 . 2 2 Proposition 7. |z |2 = z z̄ = a2 + b2 3 0 1 2 Tale S2 Chapitre II - Complexes (Partie I) Guist’hau - 2014/2015 Théorème 4. et définition. Tout nombre complexe z non nul peut s’écrire sous la forme : où r = |z | et arg z = θ [2 π] z = r (cos θ + i sin θ) Cette écriture est appelée forme trigonométrique de z. Démonstration. Dans le cahier de bord Remarque. • Un nombre complexe écrit sous la forme z = r (cos θ + i sin θ) avec r > 0 a pour module |z | = r et pour argument arg z = θ [2 π]. • Deux nombres complexes non nuls sont égaux si, et seulement si, ils ont même module et même argument modulo 2 π. Si l’on connaît r = |z | et θ = arg z[2 π] alors (z = r (cos θ + i sin θ)) → z = r (cos θ + i sin θ) = (r cos θ) + i (r sin θ) ou → a = r cos θ b = r sin θ Si l’on connaît √ a et b alors r = |z | = a2 + b2 → (z = a + i b) on factorise z par r : z = r et on identifie a r et b r donne z = a + i b cos θ = a r sin θ = b → a r b +i r au cos et au sin d’un angle θ ou permet de déterminer θ = arg z[2 π] r √ √ Exemple 12. q Déterminer le module et l’argument de z1 = − 5 + i 5 et l’écrire sous forme trigonométrique. √ 2 √ 2 √ √ r = |z1| = − 5 + 5 = 5 + 5 = 10 √ • Méthode 1 : (on factorise z1 par r = |z1| = 10 ) √ √ √ √ √ √2 √ √ √ 5 1 5 1 2 = 10 − √ + i √ = 10 − 2 + i 2 forme trigonomérique de z1 z1 = − 5 + i 5 = 10 − √ + i √ 10 2 10 2 d’où arg(z) = 3 π [2 π] 4 • Méthode 2 : (on calcule cos θ = √ − 5 √ 10 √ 1 2 cos θ = = −√ = − 2 2 d’où arg(z) = 3 π [2 π] 4 a r et b et sin θ = r ) √ sin θ = √ 5 10 1 =√ = √ 2 2 2 on en déduit la forme trigonométrique z1 = √ √ √ 2 2 10 − 2 + i 2 Exemple 13. Écrire sous forme algébrique le nombre complexe z2 de module 4 et d’argument − 6 . √ √ √ √ 1 π π π π 3 3 1 (on a aussi : a = 4 cos − 6 = 4 × 2 = 2 3 et b = 4 sin − 6 = 4 × − 2 = −2) z2 = 4 cos − 6 + i sin − 6 = 4 2 − 2 i = 2 3 − 2 i π Proposition 8. Soit z est un nombre complexe non nul, 1. z est un réel si, et seulement si, arg z = 0 [2 π] ou arg z = π [2 π] π 2. z est un imaginaire pur si, et seulement si, arg z = ± [2 π] 2 (ou bien arg z = 0 [π]) π (ou bien arg z = [π]) 2 Proposition 9. Module et argument de l’opposé et du conjugué Soit z un nombre complexe non nul. → arg z̄ = −arg z → arg (−z) = arg z + π → Qv arg z + π |z̄ | = |z | = |−z | |−z | M ′′(−z) z̄ − i Exemple 14. Soit z un complexe tel que z i et Z = z + i . Montrer que |Z | = 1. z̄ − i |z̄ − i| |z̄ − i| |z + i| = |Z | = = = =1 (car |z̄ − i| = |z̄ − i| et z̄ − i = z̄¯ − ī = z + i) z + i |z + i| |z + i| |z + i| Proposition 10. Soit z et z ′ deux nombres complexes non nuls et n un entier naturel. 1. |z z ′| = |z| |z ′| 2. |z | = |z | z |z | 3. ′ = ′ z |z | n n et et M (z) b et arg (z z ′) = arg(z) +arg (z ′) [2 π] arg (z n) = n arg(z) [2 π] z arg ′ = arg(z) − arg (z ′) [2 π] z Exemple 15. Calculer le √ module et l’argument de (1 + i)8. |(1 + i)8| = |1 + i|8 = 2 8 = 24 = 16 (car |z 8| = |z |8 ) π (car arg (z 8) = 8 arg(z) [2 π]) arg (1 + i)8 = 8 arg(1 + i) = 8 × 2 = 0 [2 π] 4 |z | arg z O −b Q u |z̄ | arg z̄ a M ′(z̄ ) Tale S2 Chapitre II - Complexes (Partie I) Guist’hau - 2014/2015 8 Interprétation géométrique des nombres complexes Le plan est muni d’un Repère Orthonormé Direct (O ; Qu , Qv ). Définition 5. Affixe d’un vecteur À tout vecteur w Q (a; b) du plan complexe, on associe l’unique complexe z = a + i b. z est appelé l’affixe du vecteur w Q . On le note zw Q . Proposition 11. zw Q + zw Q ′ = zw Q +w Q′ et zkw Q = k zw Q (avec k ∈ R) Démonstration. Dans le cahier de bord. Proposition 12. Soit A et B deux points d’affixes zA et zB, 1. zAB = zB − zA 2. AB = |zB − zA | 3. Qu ; AB = arg (zB − zA) [2 π] si A B 4. Soit I milieu de [AB], zI = zA + zB 2 Exemple 16. Soient A, B et C trois points du plan dont les affixes sont : zA = −3 + i ; zB = −1 − 2 i et zC = 4 + 3 i. 1. Déterminer l’affixe du vecteur AB . zA B = zB − zA = −3 + i − (−1 − 2 ) = 2 − 3 i donc AB 2 −3 2. Déterminer l’affixe du point D tel que AB C D soit un parallélogramme. ABCD parallélogramme ⇔ AB = DC ⇔ zA B = zDC ⇔ 2 − 3 i = 4 + 3 i − zD ⇔ zD = 2 + 6 i 3. Déterminer l’affixe du centre I du parallélogramme A B C D. On en déduit que zI = zA + zB 2 = −3 + i + (−1 − 2 i) 2 = 1+4i 2 = 1 2 +2i Proposition 13. Soit A, B, C et D quatre points deux à deux distincts d’affixes zA, zB, zC et zD, AB ; AC = arg zD − zC zB − zA [2 π] c−a Exemple 17. Soit A, B et C trois points d’affixes respectives : a = 1 − i ; b = 2 + i et c = 3 − 2 i. On pose Z = . b−a Calculer Z et en déduire la nature de AB C. c − a AC = • |Z | = et arg z = AB ; AC [2 π] b − a AB c − a (3 − 2 i) − (1 − i) 2−i 2−i 1−2i −5 i • Z= = (2 + i) − (1 − i) = 1 + 2 i = 1 + 2 i × 1 − 2 i = 5 = −i b−a On en déduit que : |Z | = |−i| et arg(Z) = arg(−i) π AC AB ; AC = − 2 [2 π] = 1 AB AC = AB donc ABC est un triangle rectangle isocèle en A. z+1 Exemple 18. Déterminer l’ensemble E3 des points M d’affixe z du plan tels que Z = est un imaginaire pur. z −1 z+1 imaginaire pur ⇔ Z̄ = −Z Z= z −1 z̄ + 1 z+1 ⇔ =− z̄ − 1 z −1 ⇔ (z̄ + 1) (z − 1) = −(z̄ − 1) (z + 1) et z 1 ⇔ 2 z z̄ = 2 ⇔ z z̄ = 1 ⇔ |z |2 = 1 ⇔ |z | = 1 donc E3 est le cercle de centre O et de rayon 1 privé du point d’affixe 1. ou bien Soit z = x + i y (x et y réels). Z = x2 − (1 + i y)2 x2 − 1 + y 2 − 2 y i z + 1 x + i y + 1 x + 1 + i y x − 1 − i y x + (1 + i y) x − (1 + i y) = = × = × = = z − 1 x + i y − 1 x − 1 + i y x − 1 − i y (x − 1) + i y (x − 1) − i y (x − 1)2 − (i y)2 (x − 1)2 + y2 z+1 imaginaire pur ⇔ Re(Z) = 0 z −1 2 x − 1 + y2 − 2 y i ⇔ Re =0 (x − 1)2 + y 2 2 2 ⇔ x −1+ y =0 et (x, y) (1, 0) ⇔ x2 + y 2 = 1 donc E3 est le cercle de centre O et de rayon 1 privé du point d’affixe 1. Z= 5 Tale S2 Chapitre II - Complexes (Partie I) Guist’hau - 2014/2015 Exemple 19. Résoudre dans C l’équation : z 2 + 7 = 0. z 2 + 7 = 0 ⇔ z 2 = −7 ⇔ z 2 = (i × 7)2 ⇔ z = 7 i ou z = −7 i donc z 2 + 7 = 0 a pour solutions 7 i et −7 i. √ √ √ Exemple 20. Développer 1 − 3 2 puis résoudre dans C l’équation z 2 + 1 − 3 z + 2 − 3 = 0. √ √ 2 • 1− 3 =4−2 3 √ √ • z2 + 1 − 3 z − 3 = 0 √ √ √ √ √ √ √ a pour discriminant : ∆ = 1 − 3 2 − 4 × 1 × 2 − 3 = −4 + 2 3 = − 4 − 2 3 = − 1 − 3 2 < 0 soit −∆ = 1 − 3 donc cette équation a deux solutions complexes conjuguées : z1 = −1 + √ 3−i 1− 2 √ 3 et z2 = z¯1 = −1 + √ 3+i 1− 2 √ 3 Exemple 21. Ensembles de points Soit le complexe z = x2 + y 2 − 2 x − 3 + i (2 x − 1 + y). Déterminer l’ensemble E des points M d’affixe z tel que z soit un imaginaire pur. z imaginaire pur ⇔ Re(z) = 0 ⇔ x2 − 2 x +y 2 − 3 = 0 ⇔ (x − 1)2 − 1 + y2 − 3 = 0 ⇔ (x − 1)2 + y 2 = 22 donc E est le cercle de centre Ω(1; 0) et de rayon 2. Qv b 1 N (z) |z | = r = 1 arg z = θ O a 1 Si l’on connaît r = |z | et θ = arg z[2 π] alors • • z = r (cos θ + i sin θ) = r cos θ + i r sin θ a = r cos θ b = r sin θ Qu Si l’on connaît a et b alors |z| = • cos θ = a r • sin θ = 6 b r √ a2 + b2 permet de déterminer θ = arg z[2 π]