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L3 - Biologie générale - 2005 - 2006 - Mathématiques
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TD n0 8 : Equations diophantiennes - Nombres premiers
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Equations diophantiennes
Exercice 1.1. Examen juin 2002. Pour chacune des équations suivantes, dire si elle admet ou n’admet
pas de solutions entières dans Z ( et justifier pourquoi) :
1)
2)
9x + 15y = 1
9x + 15y = 12
Si elle admet des solutions entières, la justification pourra être d’en donner une.
Exercice 1.2. Résoudre dans Z × Z, les équations :
– a) 5x + 3y = 1
– b) 26x + 65y = 13
– c) 25x − 21y = 3
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Nombres premiers
Exercice 2.1. [Lyon 2004] Un nombre entier strictement supérieur à 1, divisible seulement par 1 et par
lui-même, est un nombre :
A - fondamental
B - initial
C - parfait
D - premier
E - transcendant
Exercice 2.2.[Rennes 2005] Un nombre est premier lorsqu’il n’est divisible que par 1 et par lui-même.
Ainsi 7 est-il premier, alors que 6 ne l’est pas. Parmi les nombres suivants, lequel n’est pas premier ?
A ) 49 357
B ) 3 289
C ) 733
D ) 71 301
E ) 34 017
Exercice 2.3. [Terracher] Déterminer à l’aide de divisions successives si les nombres suivants sont premiers et si non, donner leur décomposition en produits de nombres premiers :
97 ;
319 ;
109 ;
1187 ;
117 ;
1411 ;
271 ;
1763 ;
317 ;
2557.
Exercice 2.4. [Rennes 2002] L’expession 212 × 122 est égale à
A - 9 × 216
B - 2414
C - 1424
D - 2424
E - 214 × 36
Exercice 2.5. [Aquitaine 2003] Les filets anti-marée noire ont la structure suivante :
flotteur
maille
noeud
On compte 12 mailles, 6 nœuds et 14 flotteurs. Les mailles contiennent les filets qui récoltent le mazout.
Un filet plus grand comporte 24 mailles et 15 nœuds. Combien de flotteurs possède-t-il ? (1 réponse
correcte)
A - 20
B - 22
C - 28
D - 29
E - 50
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Exercice 2.6. Examen Juin 2001 Dans un collège, on veut regrouper les élèves par classes de 27 ou 39,
selon les activités. A chaque fois, il en reste 11.
1. Donner deux égalités différentes que doit vérifier le nombre d’élèves du collège.
2. Sachant que ce collège compte entre 1000 et 1400 élèves, déterminer le nombre d’élèves du collège.
3. Est-il possible de les regrouper en classes ayant un nombre égal d’élèves, entre 20 et 30 ?
Si oui, donner ce nombre.
Exercice 2.7. Partiel avril 2002.
1. On sait que 2002 = 6 × 331 + 16. Donner les résultats de la division euclidienne de 2002 par 6.
2. Décomposer 2002 en facteurs premiers.
3. Donner les dix premiers multiples de 13.
4. Calculer les six premières puissances de 10 modulo 13, dans un tableau comme le suivant :
10 102 103 104 105 106
10 9
Les nombres trouvés doivent être entre 1 et 12.
5. En utilisant les formules sur les puissances :
ab×c = (ab )c am+n = am × an
calculer 102002 modulo 13.
Exercice 2.8. [Terracher] Soit n ≥ 2 un entier.
a) Etablir l’égalité n4 + 4 = (n2 + 2)2 − 4n2 .
b) L’entier n4 + 4 peut-il être premier ?
Exercice 2.9. [Bordas-S] Existe-t-il un entier n tel que le nombre a soit un nombre premier dans chacun
des cas suivants :
a) a = n2 − 1
b) a = n3 − 1
c) a = n3 + 1
Exercice 2.10. [Bordas-S]
1. Quel le plus petit entier qui, multiplié par 1998, est un carré parfait ?
2. Même question lorsque le multiplicateur est 5246.
Exercice 2.11. Parmi les propositions suivantes, dire celle qui est vraie ou celles qui sont vraies :
A : si un nombre est pair et multiple de 6, alors il est divisible par 12,
B : si un nombre est multiple de 24, alors il est divisible par 2, par 3, par 4, par 8, par 16 et par 24,
C : pour qu’un nombre soit multiple de 45, il faut et il suffit qu’il soit à la fois multiple de 3 et de 15,
D : si un nombre est à la fois multiple de 3, de 4 et de 5, alors il est multiple de 12, de 15, de 20 et de
60.
Exercice 2.12. [Alsace]
1. Ecrire 60 sous la forme d’une somme de trois nombres consécutifs.
2. Ecrire 60 sous la forme d’un produit de trois nombres consécutifs.
Exercice 2.13. [Rennes 1999] Parmi les nombres suivants un seul est divisible par 24, lequel ?
A - 224 444
B - 242 421
C - 424 242
D - 634 896
E - 551 754
Exercice 2.14. [Orléans-Tours 2001] On veut remplir chaque case de la grille ci-contre par un nombre
entier de 1 à 9 de telle façon que les neuf nombres soient utilisés. La forme et la disposition des cases
font que certains nombres sont alignés. Le produit des nombres disposés selon certains alignements est
indiqué sur le dessin.
Ainsi, 7 et 8 sont alignés et leur produit est 56.
On cherche l’entier qui occupe la case où se trouve le point d’interrogation. Combien y a-t-il de solutions ?
3
126
6
7
?
80
8
56
9
A - aucune solution
B - une solution
C - deux solutions
D - trois solutions
Exercice 2.15. [TangArith] On prend un nombre premier p différent de 2 et 3. On l’élève au carré et on
lui ajoute 11. Quel est le reste de la division du nombre obtenu par 24 ?
Exercice 2.16. [Terracher] Nombre de diviseurs
αr
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a) Soit n ≥ 2, admettant la décomposition en facteurs premiers n = pα
1 . . . pr , où p1 , . . . pr sont des
nombres premiers distincts et αi > 0 pour 1 ≤ i ≤ r.
Montrer que le nombre de diviseurs de n est :
d(n) = (α1 + 1) . . . (αr + 1).
b) Déterminer le nombre de diviseurs des entiers suivants :
1000 ;
1515 ;
100100
1850 ;
pn , avec p premier ; 2n .pm , avec p premier impair.
Exercice 2.17. [Limousin 2004] Parmi les propositions suivantes, quelle est ou quelles sont celles qui
sont fausses ?
A : La somme des carrés de deux entiers consécutifs est toujours un nombre impair.
B : Le produit de quatre entiers consécutifs est toujours divisible par 8
C : Le produit de trois entiers consécutifs est toujours divisible par 6.
D : Le nombre 60 a exactement 10 diviseurs.
E : 143 n’a que deux diviseurs.
Exercice 2.18. [Annales] Je suis un nombre entier. Lorsqu’on additionne tous mes diviseurs positifs, on
trouve mon double.
Parmi ces nombres quel(s) est(sont) celui(ceux) pour qui l’affirmation est vraie :
A:6
B : 12
C : 24
D : 28
E : 36
Exercice 2.19. Combien faut-il mettre de 0, après le 8, pour que le nombre 80....0 admette 88 diviseurs ?
Exercice 2.20. [Rennes 1997] Avec 12 tuiles carrées, je peux construire au choix trois rectangles différents.
Avec 120 tuiles, combien puis-je construire de rectangles différents ?
A - 5 rectangles
D - 16 rectangles
B - 8 rectangles
E - 30 rectangles
C - 15 rectangles
Exercice 2.21. [Rennes 1996] Soit a l’arête d’un cube, son volume est a × a × a, son aire est 6 × a × a.
Un cube a pour volume 216 cm3 .
A - Son aire est inférieure à 216 cm2
B - Son aire est égale à 216 cm2
C - Son aire est supérieure à 216 cm2
D - On ne peut pas savoir.
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Exercice 2.22. [Loire 2001] On considère les parallélépipèdes rectangles de volume 12 cm3 et dont les
mesures en centimètres des trois dimensions sont des nombres entiers naturels. Combien y a-t-il de tels
parallélépipèdes ?
A:1
B:3
C:4
D:6
E : 21
Exercice 2.23. [Terracher] Une boı̂te, de forme parallélépipédique, a des dimensions qui s’expriment, en
centimètres, par des nombres premiers. Son volume est 22,661 dm3 .
Quelles sont ses dimensions ?
Exercice 2.24. Montrer que, pour tout n entier, n7 − n est divisible par 42.
Exercice 2.25. [Terracher] Quel est le plus petit entier écrit en base 10 uniquement avec des 7 qui est
divisible par 3 ? par 9 ?
Exercice 2.26. On appelle nombre de Mersenne (1588 - 1648) tout nombre de la forme Mn = 2n − 1.
Calculer Mn pour quelques valeurs de n. Montrer que si Mp est un nombre premier alors p est un nombre
premier.
La recherche des nombres premiers de Mersenne se poursuit encore aujourd’hui, grâce aux ordinateurs.
En 1998, on a trouvé M859433 qui n’a pas moins de 258 716 chiffres.
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Théorème de Gauss
Exercice 3.1. [Terracher]
1. Déterminer les restes des divisions de :
– 1024 par 11 et par 31
– 4 × 1024 par 21
– 10242 par 41
2. En déduire que le nombre 260 − 1 est divisible par 11 × 21 × 31 × 41.
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Culture mathématique
Exercice 4.1. [Lyon 2004] Laquelle (lesquelles) de ces affirmations est (sont) vraie(s) ?
A : Descartes a établi la théorie de la relativité.
B : Eratosthène a énoncé le postulat selon lequel :”Par un point extérieur à une droite, on ne peut tracer
qu’une parallèle à cette droite”.
C : Copernic a mis en évidence le fait que les planètes tournent autour du soleil.
D : Newton a établi la loi de l’attraction universelle, selon laquelle tout corps exerce une force d’attraction
sur tout autre corps.
E : Pascal a écrit le ”Discours de la méthode”.
Exercice 4.2. [Lyon 2002] Laquelle (lesquelles) de ces phrases est (sont) vraie(s) ?
A : Le prix Nobel de mathématiques a été attribué à un français
B : Il n’existe pas de prix Nobel de mathématiques.
C : La médaille Fields est décernée tous les 4 ans à des mathématiciens âgés de moins de quarante ans.
D : L’algèbre est le domaine des mathématiques qui s’occupe de l’étude des nombres entiers.
E : Euclide a écrit le premier traité de géométrie analytique.
Exercice 4.3. [Lyon 2002] Laquelle (lesquelles) de ces phrases est (sont) vraie(s) ?
A : La décision d’utiliser le système métrique en France a été prise en 1795.
B : Le préfixe centi signifie que l’unité est multipliée par 100.
C : Le préfixe giga signifie que l’unité est multipliée par 1000 000.
D : Le radian est une unité de mesure d’angle
E : L’are est une unité de mesure agraire qui vaut 1 m2 .