Caractéristique d`Euler-Poincaré d`un faisceau et

S ÉMINAIRE N. B OURBAKI
M ICHEL R AYNAUD
Caractéristique d’Euler-Poincaré d’un faisceau et
cohomologie des variétés abéliennes
Séminaire N. Bourbaki, 1964-1966, exp. no 286, p. 129-147
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Séminaire BOURBAKI
année, 1964/65,
17e
n° 286
Février 1965
CARACTÉRISTIQUE D’EULER-POINCARÉ D’UN FAISCEAU
ET COHOMOLOGIE DES VARIÉTÉS ABÉLIENNES
par Michel RAYNAUD
La première partie de cet exposé est consacrée à la démonstration de résultats
inédits obtenus par GROTHENDIECK, la seconde aux travaux de 0GG [5] et de SAFAREVIC
[6] sur les variétés abéliennes.
Nous utiliserons la
troduite
cohomologie étale
des faisceaux
en
théorie des
schémas,
in-
dans [ 1] .
I.
Caractéristique d’Euler-Poincaré d’un faiseeau
défini sur une courbe algébrique.
Soit
k
un
corps
Soit
R
un
anneau, et soit
de torsion
algébriquement clos de caractéristique p, et soit C une
courbe algébrique irréductible, lisse et projective sur k . Notons ~ le point
générique de C,y et i : r~ ~ C le morphisme canonique. Si x est un point de
C , 1 désigne un point géométrique au-dessus de x .
gorie des R-modules finis
est
un
Soit
R-module
A
K(R) le groupe
(c’est-à-dire ayant
cER(M)
fini,
désigne
son
groupes abéliens
de Grothendieck associé à la catéun
image
nombre fini
dans
d’éléments).
Si
M
K(R) .
(pour la topologie étale) qui
est constructible, de torsion, et sur lequel R opère, ou plus brièvement un Rfaisceau constructible de torsion. Par fonctorialité, R opère alors sur les
groupes de cohomologie : H1(C , A) . Nous appellerons caractéristique d’EulerPoincaré de A , sur C , relativement à R, et noterons
A) , l’élément
de K(R) défini par :
un
On posera
faisceau
x(C) =
2 -
en
2g ,
est le faisceau constant
ment,
eu
Z/nZ
g
avec
désigne
sur
C
le genre de
(n, p) = I ,
on a :
129
sur
C, de
lequel
sorte que si
R
opère
A
triviale-
d’exprimer XR(C , A) , lorsque A est d’ordre premier
symboles locaux que nous allons d’abord définir.
Notre but est
moyen de
1. Cas local : Définition
Soit
o
un anneau
quement
Soit t
un
tible de t
équivaut
nombre
torsion
de valuation discrète
G
ou
trivialise
=
Gal
K/K .
groupe
Soit L
caractère
et
caractère
A
un
o .
R-faisceau construc-
de
A
G
opère
groupe d’inertie
la
G = Gal
à travers
M
sur
G,
on
L/K .
peut associer
représentation d’Artin de
une
définie par
G
aG :
représentation
G :
algébri-
=
( n désigne
La
k
Spec o . La donnée de
abélien fini : M
qui est un G - R
AK qui
une extension galoisienne finie de
Rappelons (~7~, chapitre V I), qu’au
représentation vectorielle complexe :
son
à corps résiduel
le corps des fractions de
K
p ~ et notons
c’est-à-dire telle que
A,
complet
premier distinct de p, et soit
au-dessus du point générique 11
à la donnée d’un t,
bimodule,
au
p ~
de
caractéristique
clos de
à
se
d’Artin de
réduit à
aG - uG
contient la
G
et seulement
uG si,
s’annule
sur
une
L)
uniformisante de
de
représentation d’augmentation
si,
les éléments de
est modérément ramifié. Le
G
G
dont l’ordre est divisible
caractère d’une représentation de G rationnelle sur Q ,
qu’il existe un Zl (G)-module projectif:
d’après [8]. Il résulte alors de SWAN
unique à un isomorphisme près, de caractère aG - uG .
et c’est le
est
Le groupe
un
R-module, grâce
[7J
est le groupe de Galois d’une extension
(caractère induit de G’
que
phe
à
G’
al,
Cette remarque
où
G
nous
permet
L’
à
de
G)
à l’action de
K
contenant
de sorte que
R
sur
L~
PG
on
M. Si
°
sait
est isomor-
de définir
est le groupe de Galois d’une extension finie de
K
qui trivialise
A .
PROPOSITION 1.
(a)
(b)
(c)
de t
â (A)
est additif
en
est nul si
A
K’
Soit
torsion
est
modérément ramifié.
A’
séparable de K, et soit
désigne l’image directe de A’
extension finie
une
sur
A .
K’ . Si
A
d(K’/K) désigne le degré du
égal à d(K’/K) + 1 - [K’:K] .
4û
discriminant de
K’
K
sur
un
R-faisceau
K,
sur
on a
est
et
En effet :
(a) PG est projectif,
(b) PG est nul si G est modérément ramifiée
(c) Soit L une extension finie galoisienne de K contenant
= Gal(L/K’)
est un sous-groupe de G = Gal(L/K) . On sait [7]
H
On
a
donc
(où rH
d(K’/K)rH
aH
+
un
isomorphisme
2. Définition de
de
Z (H)
est de la
C,
représentation régulière
H).
de
et
Kx
au
début. Soient
le corps
K
local, complété
le corps des fonc-
de
K
en
la
place
A
un
C(k) .
Le nombre
premier t
étant toujours
faisceau constructible de
t-torsion
que. Si
x E
C(k) ,
où
est
l’image réciproque
où
que
eR(A) .
tions rationnelles de
Puis
de sorte que
modules :r
Nous reprenons les notations énoncées
x E
K’
Ahx
nous
H~(A)
nous
définissons
est le
supposé
sur
C,
distinct de
et soit
A =
p, soit
i*A
sa
fibre
R-
généri-
posons
de
A
par le
morphisme canonique
Spec(Kx)
C .
par la formule
i-ième groupe de cohomologie étale de
A, à
support
dans
x.
(1)
La formule
ailleurs,
Coker
est
u ‘)
met
notons
est
un
u :
en
évidence l’additivité de
A
de sorte que si
A
De
est alors
rapport
par
morphisme canonique.
"faisceau gratte-ciel" concentré
canoniquement isomorphe
plus,
le
i*A
~
en un
à
Le faisceau
nombre fini de
A . Par
Ker
u
(resp.
points, qui
à
est de la forme
égal
i ~ (A ) ,
on a
simplement
à
où
Posons
(A.. ) ° _
Le groupe
~) ,
A-
est d’ordre
premier à
libre à
un
générateur (groupe
premier
à
p)
(a)
Le cup
établit
Nous
un
pro-p.-groupe ;3
x
est
donc obtenu que,
bre
sur
groupe de
un
Remarque. est aussi
est extension d’un pro-groupe
Gx
Kx
d’ordre
déduit facilement que :
(théorème
locale).
avons
G
on en
k.
produit
trivialisé par le groupe fini
où
p ,y et
de Galois de l’extension maximale de
dualité canonique entre les deux groupes du premier membre
une
de dualité
par
est le groupe des racines de i’Unité de
Lorsque
clR HomG(ArtG
si A~
G ,,
on
est
a,
décomposition
Gx
est d ’ ordre
x .
x
, A~)t1
un
R-faisceau de t
avec
G
de
premier
torsion sur n
les notations du n°
au-dessus de
à
t,
on
x .
peut
où
x
dont le caractère est le caractère d’Artin de
1,
montrer que
Zl(Gx)-module,
G .
A~)
li-
3. Enoncé
du théorème principal.
*
THEOREME
faisceau
1. - Soit 1
constructible,
un
nombre
premier distinct
t-torsion, défini
de
Avant de démontrer le théorème
1,
nous
R-
un
C . Alors :
sur
allons
A
p, et soit
de
en
donner
une
traduction
en
coho-
mologie galoisienne.
S
Soient
On
si
sait [1]
S~~.
leurs,
un
ensemble fini de
points
C(k) ,
de
s =
card(S) ,
et
U = C - S .
H1(U ,
sont finis, et sont nuls pour
que les groupes
Nous pouvons donc définir de manière évidente
XR(U , A)u) .
la suite exacte de cohomologie relative à
sous-espace fermé
un
i
2
Par ail-
nous
donne
les relations :
La formule
En
(2)
est donc
particulier,
si
S
équivalente
contient les
à
points
de
C
dernier cas, si S est non vide et A
mier membre de la formule (2 ter) est simplement :
Or,
dans
où
ni
4.
ce
est le groupe fondamental de
Démonstration
ou
A
est
ramifié,
de la forme
on
i (A ) ,
obtient
le pre-
U .
du théorème 1.
Etablissons d’abord deux lemmes.
IEMME 1. - Soient
malisée de
faisceau
C
dans
K’
une
K’ ,
constructible°, de
f .c
t
séparable de K ~
morphisme canonique.
extension finie
C’ -~ C
le
torsion, défini
sur
C’1
Soit
la courbe
A’
C’ . Alors la formule
.
nor-
un
R-
(2)
est
A’
vraie pour
En
si,
la suite
effet,
dégénère,
car
morphisme
de
spectrale
elle est vraie pour
si,
de
A’
A’ .
f*
i > 0 . On
est nul pour
a
donc
iso-
un
analogues,
c~p(A-) == ~K’ :K]
ailleurs,
A =
Leray
Rq f
étant fini,
modules :
f
Pour des raisons
Par
et seulement
et la formule de Hurwitz donne ici :
°
eR(.)
Le lemme résulte alors facilement de la définition de
(formule (1))
et de
proposition (1) (c).
la
LEMME 2. - Soient
Galois
G~
C’ , fini
sur
l’action de
G
(2)
de
sur
une
A’
par t ,
C
R =
lequel
sur
façon compatible
avec
les
R-faisceau
de
A ~ image
un
point générique
et
R
de
(cf.
1)
lemme
(2).
Notons
C’ . Le faisceau
Hom(G ,M’) ,
bimodule
régulière
sur
on
compte
fait
de
opérer
C’ . Alors la for-
A’
par le
morphisme
nous
donne
un
isomor-
R-modules
e st
~’
G
Tenant
C’ ,
sur
directe de
faisceau constant
C’ -~ C .
f :
Etudions maintenant le deuxième membre de
où
G
de
de groupe de
un
opère.
Ft (G)
opérations
Démonstration. - La suite spectrale de Leray
phisme
A’
K’ . Soit
dans
K
finie de
galoisienne
et de l’action naturelle de
est vraie pour le
canonique
extension
la normalisée de
et annulé
R
A’
sur
mule
C’
et
K’
.
A
Tl
sur
lequel
G
M’
le
R-module
e st défini par le
opère
par la
représentation
droite
par la
représentation régulière gauche
et
son
action
sur
Al(G-R),,
M’
Soient
un
x
stabilisateur dans
Soit
ArtGx
C(k) ,
point de
x’
)-module,
un Zl(Gx,
t
tère d’Artin de
(1 ter)
G,,
dont le caractère est
et soit
libre
du
au-dessus de
GX,
x ~
son
1
donne ici :
dont le caractère est le
sur
Art(G , x)
indépendant
C’
de
point
un
G . La formule
point
le
G-module induit
x’
choisi.
carac-
Faisons les remarques suivantes :
(a)
Si
N
N’
et
sont deux
libres
ractère (c’est-à-dire qui deviennent isomorphes
dans
(b)
a
K(R)
Si
ou
N
R
est
=
sur
sur
qui
Zt ’
Q, (G) ) ,
ont même
ca-
alors :
F. (G) .
libre
un
même caractère que N.
(c) D’après la définition de
à caractère
sur
P..xt (cf.
n~
1)~
les
Z.)
entier,
)-modules :
ont même caractère.
Il est clair alors que
égale à
x)
l’expression trouvée plus
®Z ~P M’)
faisceau
A
si,
et seulement
désigne
opère trivialement,
Or,
si
!t
si,
haut pour
de sorte que la formule (2)
on a
sera
est aussi
vraie pour le
l’égalité:
le faisceau constant
on a un
x
isomorphisme
sur
de
C’
défini par
R-modules :
sur
lequel
R
(3)
de sorte que
déduit "par tensorisation par
se
(3)
obtenue pour
Il nous suffit donc de
Considérons alors les groupes de cohomologie étale
.
définis
comme
limite
projective
de Tate de
la jacobienne de
revêtement galoisien C’ -~ C
de
libres
(a)
que
(4)
C’ .
t-adique
Appliquons
F~
"
de la formule
(3) lorsque
de
A’
Z.) ~
Z) :
la formule ’de Weil
(~ 1?~ ~ C 8~ )
au
caractères
Z~ :
sur
(3) ~
dans le
~~~ opération qui
cas
a un sens
A’ =
dé-
se
d’après
la
remar-
ci-dessus.
que la
formule de Weil provient elle-même d’une formule de Lefschetz
et,de
l’interprétation
GX, ,
comme
des valeurs des caractères d’Artin des groupes d’inertie
étant des ordres de
multiplicité
des
points
fixes de
C’
en un
nombre fini de
points
nulé
de la forme
i~
A~ ,
(2)
sont
concen-
C(k) .
de
Nous pouvons donc supposer que
G.]
sous
Fin de la démonstration du théorème 1. - Notons que les deux membres de
additifs en A , et que (2) est trivialement vraie si A est un faisceau
tré
=Fp .
C’:
. On obtient la relation suivante entre
par "réduction modulo t
[Rappelons
y
démontrer
des groupes
Il suffit alors de remarquer que la formul.e
duit de
sur
A
est
puis ,
R-faisceau constructible sur C , anque R opère fidèlement sur A- . L’anneau
un
nilpotent. Filtrant A- par les In A- ,
on se ramène au cas ou
iL est un R-module simple, puis au cas ou R est simisomorphe à Z . On peut alors supposer R trivial.
ple, de sorte que K(R)
R
est alors fini et
radical I
son
est
est
Soit
K’
une
extension
galoisienne
de
de groupe
G ,y qui
trivialise
A .
D’après un théorème d’Artin, les représentations de G obtenues en induisant à G
les représentations rationnelles sur Q des sous-groupes cycliques de G, engendrent un sous-groupe d’indice fini de K[Q(G)] . D’après SWAN [10] y ce résultat
est encore vrai dans K[F
(G) ~ . Quitte à remplacer A par A®’~ (r > 0), ce qui
est
loisible,
on
peut
donc
se
limiter
au cas
où
A~
est
un
G-module de la forme:
où
est
H
Si
et
G .
de
cyclique
sous-groupe
est le corps des invariants de
L
le
f
un
C’ .~
morphisme
A
C,
C’
H ,
la
normalisée de
est donc de la forme
A’
f
C
où
L~
dans
A’,
est tri-
théorème
1 pour A’ .
vialisé par H . Grâce au lemme 1 ,~ il suffit de démontrer le
On se ramène au cas où le groupe cyclique H opère de manière simple et fidèle
mais alors, H est nécessairement d’ordre
sur le
F~ espace vectoriel
premier
’, ,
à t .
A
Nous supposons donc que
et trivialisé par le’ groupe
galoisien
A’
=
f*
A’
et
où
R =
F~(G)
~
A
est
faisceau
au
premier à t,
R ),
tation de
G
qui n’est
est
A-
annulé par
le revêtement
C’
Soient
morphisme canonique C’ -~ C .
A’ grâce à l’action de
sur
A
des invariants de
est
somme
ÂG
directe de
A
Soient
G
sur
(2)
relative à
A ;
autre que la formule
on
(2)
G . Comme l’ordre de
sous
et de
de sorte que le foncteur des invariants
tout foncteur additif. Prenons alors les invariants
de la formule
où
à~.
(cf. lemme 2). Le théorème 1 est alors vrai pour le R-faisceau
d’après le lemme 2. D’autre part, le morphisme canonique A -~ A
C’
identifie
le
A
i
d’ordre premier
correspondant à G, f
A = f A’ . Faisons opérer
et
sur
G
C
de
A
est de la forme
IA ( I
sous
sous
G
=
G
A
G
idéal d’augmen-
va
commuter à
dans les deux membres
obtient la relation :
Ceci achève la démonstration du
A =
pour
théorème 1.
II.
Cohomoiogie
des
variétés abéliennes.
v
Formule de
1.
Remarques générales.
Nous
n
la
les notations introduites dans la
conservons
p , K . Si
en
w
Ogg-Safarevic.
x
est
un
point
de
C(k) , K
Le nombre ~
est
abélien,
(resp.
première partie : k, C , ~ ,
désigne le corps local, complété de K
un nombre premier distinct de
place
p, et l’entier
parcourt les puissances positives de t . Nous notons D le groupe
Si
x.
M
est un groupe
la
multiplication
par
n
M
n
dans
M ;
)
M(t)
est le noyau
est la
(resp.
composante t
le
conoyau)
primaire
de
de
M.
Soit
A
variété abélienne définie
une
dimension
une
cohomologique ~
A)
groupes
Hi(K ,
et
A)
K
K . Comme les corps
sur
(théorème
1
et
Lang),
i > 2 , d’après [9]
sont nuls pour
ont
KX
de Tsen et théorème de
les
12).
A)
Nous allons étudier le groupe
ses
de fibrés
principaux homogènes
A) ),
(resp.
définis
A
de groupe
(resp.
K
sur
groupe des clas-
K ).
2. Cas local.
paragraphe, o désigne un anneau de valuation discrète hensélien
corps résiduel k, algébriquement clos, de caractéristique p . Soient K
corps des fractions de o , ô et K les complétés de o et K.
Dans
ce
THEOREME
(i)
A
.......
i
...
2. - Soit
B
et soit
A(K)
est extension d’un groupe fini par
A)(~)
Le groupe
où
Tt(B)
ou
fi
est le
est
un
t-groupe
nombre
(iii)
B,
et il est
entier, indépendant
si, Il possède une
morphisme canonique :
un
p .
premier
canoniquement isomorphe
est
de Tate de
et seulement
Le
sur
K ,
qui
groupe
à
divisible pour tout entier t
(ii)
définie
variété abélienne de dimension d
une
variété duale. Alors :
sa
Le groupe
est t
le
~
~
,
de
,
Hl (K ,
y
au
2d
entre
groupe
et
0,
nul
A) (~)
y
est
un
isomorphisme.
NÉRON [4] que l’on peut associer
ayant les propriétés suivantes :
Démonstration. - Il résulte des travaux de
schéma
un
en
groupes a
est lisse et
(b)
(c)
Ceci
La fibre
Le
Spec 0 1
quasi-projectif
sur
de 03B1
générique
morphisme canonique :
étant,
soit
N
(morphisme surjectif, d’après (a)).
groupe
uniquement
a(K)
morphisme
est un
de
à
un
groupe
spécialisation : CL(o) -~ CL(k)
produit
d’un tore de dimension
N
Il résulte du lemme de Hensel que
algébrique
dt
algébrique
et d’un groupe
~
est
da‘ ,
par
unipotent
un
un
est exten-
de dimension
connexe :
lui-même extension d’une variété abélienne de dimension
re
A .
isomorphisme.
~-divisible. D’autre part, le groupe
sion d’un groupe fini par
A
à
o .
est K isomorphe
eL(o) -~
le noyau du
sur
si,
o .
sur
~1) (~) -~
groupe
isomorphe
compris
"bonne réduction"
au
d,
groupe linéai-
connexe.
Comme le
(~ )°(k)
groupe
est
t-divisible,
prenant pour A (K~ ° le sous-groupe de
De plus, N étant uniquement l-divisible,
donc,
est
à
un
un
quotient
nombre entier
près,
fini
0
entre
compris
et
p(A)
Le nombre
isomorphe
A()(l)
2d . Il
a(k) (t) ,
isomorphe à
est
(D)
isomorphe à
est
(i) du théorème en
image réciproque de ( t~) ° (k) .
démontrons l’assertion
nous
eu
=
en
"mesure" le
f3(A)
résulte que
degré
de
est
dégénérescence
du
en particulier,
modèle de Néron
p(A) est nul si, et seulement si) A possède une "bonne réduction" en o , c’est-à-dire si CL est un schéma abélien.
Démontrons la deuxième assertion du théorème.
La suite exacte "de Kummer" :
donne la suite exacte de
cohomologie :
que K a un groupe de Galois
de dimension cohomologique 1 ].
[noter
H1(K ,
Ceci prouve que
H1(K ~
A)(~~
est
isomorphe
leurs, l’assertion (i)
est
isomorphe
à
A)
est
isomorphe
à celui de
.~-divisible et que
à
et s’identifie à
K,
H~(K ,
lim H1(K ,
n
du théorème entraîne que
H(K
lim
n
,
K
donc
est
A)n .
0 donc
est aussi
fini,
donc
Par ail-
H1(, A)(l)
A).
Le théorème de dualité locale
(cf.
lre
partie,
n°
2)
donne
un
isomorphisme
cano-
nique :
A)(l)
Finalement,
c’est-à-dire à
B
étant
que le
(B) (K) ,
Hom[Tl
à
K-isogène
L’assertion
est
(iii)
A ,
Il est donc
à
Hom[lim
isomorphe à
B
(K) > D] ,
Notons que
~(A) .
on a
du théorème résulte
morphisme canonique :
suite, nous travaillerons
plut8t qu’avec les hensélisés.
dans la
canoniquement isomorphe
simplement
~ln ) -~
avec
les
de
qui précède et du fait
est un isomorphisme. Aussi,
ce
A n)
complétés des
anneaux
locaux de
C ,
3. Cas
global.
Soit A une variété abélienne de dimension d définie sur
K, et soit B la
variété duale de A . Notons AF (resp.
la partie fixe (appelée aussi K/k-
BF )
[2])
(resp. B ),
D’après une propriété fondamentale
trace
de
A
de
fini
type
Désignons
schéma
en
et
va
sur
par
et soit
Z ;
a.
nous
la dimension
d0
de la trace
noterons
r
son
(3~,
groupes, lisse
sur
C,
BF .
et
A(K)/AF(k)
est
rang.
modèle minimal global de A
un
AF
de
commune
le groupe :
dont la fibre
~4~ ,
C
sur
générique
est
a
est donc
K ~ isomorphe à A,
fini de points de
représenter
i*
S l’ensemble
ne possède pas une bonne
réduction, et notons f la composante
nexe de l’origine de
est un
a ~ de sorte que le faisceau quotient 3 =
faisceau à fibres finies, nulles en dehors de
S .
qui
C(k)
où
le faisceau
A . Soit
A
Nous pouvons
tructibles de
appliquer
les résultats de la
~-torsion
sur
que sont
le groupe de Galois d’une extension de K
groupe d’inertie au-dessus de
et à
à ~
ou
~ix
G,
(ire partie,
n°
C(k) .
1).
Nous
qui
et
CL
=
aux
PGx’
cons-
Soit donc
i
trivialise
Notons
faisceaux
et soit
con-
Gx’
G
un
le module de Swan relatif
alors amenés à poser :
sommes
les notations du théorème 2.
avec
=
x E
première partie
(aO)t
C
un
"
x
S
Soit alors
un
ensemble fini de
points
de
C(k)
ayant
s
éléments. Nous al-
préciser la structure du groupe H (C - S , ~) ~ groupe des classes d’espaces
principaux homogènes de groupe a., triviaux aux points de C - S .
lons
THEOREME 3.
(i)
à
D
Si
S
est
.
Si de
non
vide,
plus
S
H (C - S ,
contient
~L) (~)
So’
est
un
groupe
divisible, isomorphe
est donné par la formule :
(ii) Le groupe
A)(~)
est
extension
d’un
général
cas
D ,
(iii)
où
est divisible pour presque tout t
groupe fini par un groupe divisible
e st donné par la f ormule de
Il existe des suites exactes
Si
S
est
non
vide :
Si
S
est
non
vide et contient
,
et dans le
à
isomorphe
Ogg-0160afarevi :
canoniques :
S :
o
eu
~° désigne
Etablissons
la
composante
du
modèle minimal global de
S , a)
i ~. ~ .
Le lemme résulte de la suite
sur
spectrale
sont des groupes de torsion pour
de
Leray,
relative
au
ailleurs,
la suite exacte :
donne la suite exacte de
morphisme
H1(K ,
S , compte
tenu du fait que les groupes
A) et
de torsion pour i = 1, et sont nuls pour i 2 . Ainsi
pour
conclut à l’aide de la suite exacte :
Par
B
C.
quelques résultats auxiliaires :
IEMME 3. - Les groupes
et 2, et soht nuls pour
~ ~ C -
connexe
cohomologie :
=
1
i~ :
A)
i = 1
i
et
sont
2,
on
H~[C - S , (a°) ~
Comme les groupes
~1~,
sont finis
les
quotients
de Herbrand
Hi(C - S , a°) , relatifs à l’entier l sont définis. Nous posons :
s , a°) - ~
S , a°~ (~) .
hp H’-(C - s , a~°) _ Long,,
Long-
des groupes
D’autre part, de la suite exacte :
H~(C - S ~ ~)
e t du f ait que le s groupe s
on
à
déduit que le quotient de Herbrand :
S,
h?
Le groupe
divisible
OL°) ,
A(K)
AF(k)
H
1
(C - S ,
L’entier
(a)~
CL
0
(i). ~
on
égal
à
soit finalement :
A(K)/AF(k)
r :
égal
la relation :
par le groupe
Si
S
n’est pas
vide,
H-(C - S ~ (~°) ) ~ 0 .
De la
n
déduit alors :
est
isomorphe
à
D
rS(l)
est donné par la relation
Utilisant la formule
est
hn
de sorte que la suite exacte
de sorte que :
)(l)
rS(~)
S ,(1)
(a) donne
i >~ 1 ,
est défini et est
est extension du groupe de rang
Démonstration de
suite exacte
s ont f ini s et même nuls pour
(2 bis)
de la
,
et
il
en
est donc de même de
(b) :
première partie,
on
voit que le second membre
Démonstration de (üi) . _ La suite spectrale de Leray relative à l’immersion :
C _ s
-~
C
fournit les suites exactes suivantes
H~(C-S ,a)=0
si
isomorphisme
de sorte que
(*)
de la suite exacte
Hz(C ,
canonique entre
étant de type fini
l-divisibles.
tenu du lemme 3 et de
S~~):
Pour déduire la suite exacte
B(K)/BF(k) ,
(compte
sur
(d),
A)(t)
et
Z,
contient pas de
ne
il suffit d’exhiber
D] .
un
Mais le groupe
points indéfiniment
Donc,
l’isomorphisme cherché
s’obtient par passage à la limite inductive
sur
n , à
partir
de la suite exacte
(** ) .
Pour établir
(**),
notons que
l’hypothèse
S 3
So
entraîne que l’on
a une
suite
exacte "de Kummer" :
et par
suite,
S ,
le
théorème
de
ailleurs,
s’envoie
surjectivement
dualité locale donne
tandis que le théorème de dualité globale
Le
Hz(C , ~ ) n ~
~1~
un
sur
isomorphisme
donne
un
S a)n ,
canonique :
°
Par
ar
isomorphisme canonique :
morphisme
inclus dans la suite exacte (c), corresA ) n -~
pond alors au transposé de l’injection canonique : B (K) ~ B
il rén
n (Kx ). . Enfin,
sulte du théorème 2 que l’on a un
isomorphisme canonique :
Nous résumons les remarques
dessous est exact :
mais alors
précédentes
en
disant que le
diagramme commutatif
D~ ,
(u)
s’identifie canoniquement à
achève de prouver l’exactitude de (**).
Coker
(ü) . - Posons X =
principaux homogènes de groupe A, définis
A) =
Démonstration de
En
les suites exactes
comparant
donc
card
Mais
T
X(n)
est
un
égal
ailleurs,
à
(**),
on
voit facilement que :
B(K)/BF(k) .
DJ
est
p, il existe
égal
un
entier
tel
m
que tm
tout ~ ~ et,
X
soit
l-divi-
X .
sait que
on
hp
hp
et
sont localement triviaux.
divise l’ordre du sous-groupe de torsion T de
groupe fini, donc X(t) est divisible pour presque
pour tout l distinct de
sible et d’indice fini dans
Par
(*)
qui
d’espaces
groupe des classes
K, qui
sur
ce
ci-
=
à
est
h. H°(C , CL) = 2d - r. , et que hl H2(C , 03B1)
2dLa structure trouvée pour X(t2 montre que
Pour obtenir la formule de Ogg-Safarevc, il suf-
(b)
fit alors d’utiliser la relation
dans le
cas
où
S
est vide. On trouve :
Remarque s.
l.o OGG
[5]
et
0160AFAREVI [6],
la formule ci-dessus dans le
ne
cas
disposant
eu
A
Leur démonstration utilise la structure
pas de l’invariant
03B1lx ,
démontre
ont
supposé modérément ramifié sur
précise du groupe fondamental modéré
est
C .
do
C - S .
20 GROTHENDIECK
dent pas du nombre
a
montré (non
premier ~
publié)
que les invariants locaux
distinct de
p .
03B1lx
ne
dépen-
~’° Il résulte de travaux
est
compactifié
dimension
et
la même
d ,
on
montre
propriété.
a
qu’il
existe
constant
non
On
peut supposer
valeur trouvée plus haut,
tant à la
H~ (C ~ 0)
une
X
courbe
une
défini
~~
que
lisse et
que, si
d
=
1~
C ~
abéliennes de
projective
C . Le schéma dual B
sur
décomposé
est
C . En
sur
constate que, dans le
on
sur
k ~
possède
se
repor-
présent,
cas
n’est pas le groupe unité.
3. A lication à la théorie des surfaces
Soit
elliptiques
de Satake de la variété des modules des variétés
schéma abélien
un
les courbes
sur
toujours un groupe divisible. Par contre, supposons que k soit le
complexes et que d soit au moins égal à 2 . Utilisant alors la struc-
corps des
ture du
de M. ARTIN
une
surface
singulière,
non
(d’après
connexe
factorisation du morphisme structural de
connexe, projective
et
k ~
sur
f
est
et
X ~
M.
ARTIN).
projective
sur
ou
une
Y
est
k . Soit :
courbe
lisse,
morphisme génériquement lisse, à fibres
point générique de Y , X la fibre gé11
un
géométriquement intègres. Soient ~ le
nérique de f , 1 : q - Y le morphisme canonique.
Les
hypothèses
~
faites entraînent les
Gm
=
désigne
propriétés
le groupe
suivantes :
multiplicatif) .
=
(iii) R~
La suite
=
spectrale
donne alors
surface
en
un
0
de
pour
Leray :
isomorphisme canonique
X
et le groupe
évidence la jacobienne
avec Z~
i $. 2 .
=
Z . Mais
est d’indice fini. On
i
A
H" (Y , Zy)
en
entre le groupe de Brauer
P).
Pour calculer
de la fibre
est nul et
X . On
a
l’image
de
ce
dernier
donc
une
P
(k(~))
déduit que le morphisme canonique :
G)
terme,
de la
mettons
suite exacte :
dans
Z
(k(q))
noyau et
rationnel sur
a un
Par
un
ailleurs,
(c’est
conoyau fini
même
un
isomorphisme
si
X
possède un,point
k (r~ ) ) .
la suite exacte de Kummer :
donne la suite exacte :
Par passage à la limite
G ~ (~ ~
est
égal
les
sur
à
B~ -
p
Le corang de
à
i*
puissances de 1 ,
A~l) ,
=
p
on en
déduit que le corang de
avec :
nombre de Picard de
X .
donné par la formule de
Ogg-0160afarevi,
est donc
égal
8z-p .
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