Devoir Surveillé 1

Faculté des Sciences et Techniques de Limoges
Classe Préparatoire à l’Entrée en Licence
S. Vinatier
2008-09
Semestre 1
Mathématiques
Devoir Surveillé 1
Mardi 4 novembre 2008 - durée 1h30
Une feuille manuscrite A4, ainsi que la calculatrice, sont autorisés pour un usage personnel.
Toutes les réponses doivent être justifiées. Les 4 exercices sont indépendants.
Exercice 1
1. Soient A, B deux ensembles dans un univers Ω. On considère l’ensemble C défini par :
C = (A ∩ B) ∪ B .
Faire un diagramme qui représente les ensembles A, B et C. Déterminer C en justifiant le
résultat par le calcul.
2. Recopier et compléter la table de vérité suivante :
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
P ou P
Q et Q
P et Q
P ou Q
Exercice 2
Un candidat à un jeu doit tirer au sort entre deux papiers. Le premier porte une question facile,
pour laquelle la probabilité de donner une réponse exacte est estimée à 4/5 ; le deuxième porte
une question difficile pour laquelle la probabilité de donner une réponse exacte est estimée à 2/5.
On considère les évènements :
— F : « la question tirée est facile » ;
— E : « la réponse est exacte ».
On suppose de plus que les deux questions ont la même probabilité d’être tirées.
a) Traduire les données de l’énoncé en termes de probabilités (conditionnelles pour certaines)
faisant intervenir les évènements F , E et leurs complémentaires.
b) Calculer P (E) en précisant la formule utilisée.
c) Sachant que le candidat a donné une réponse exacte, quelle est la probabilité qu’il ait tiré la
question facile ? Préciser la formule utilisée.
d) Les évènements E et F sont-ils indépendants ?
Exercice 3
Un test de connaissances est constitué de 3 questions avec 3 réponses possibles pour chacune ; la
réponse A vaut 4 points, la réponse B en vaut 0 et la réponse C en vaut −2. On appelle « grille
de réponses » la donnée d’une des trois réponses pour chaque question.
On suppose que toutes les grilles de réponses possibles sont équiprobables.
a) Donner le nombre de grilles possibles, en précisant la formule utilisée. Quelle est la probabilité
qu’une grille choisie au hasard ait un total de 12 points ?
b) Représenter toutes les grilles de réponses possibles à l’aide d’un arbre. On notera le total de
points correspondant à chaque grille.
c) On note X la variable aléatoire totalisant le nombre de points d’une grille choisie au hasard.
Donner la loi de probabilité de X.
d) Quelle est la probabilité qu’une grille choisie au hasard ait un total de points strictement
négatif ? positif ou nul ?
e) Donner l’espérance de X. Comment expliquer le résultat ?
Exercice 4
1. On donne la liste des nombres premiers inférieurs à 50 :
2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 .
De plus, la somme des valeurs et celle de leurs carrés valent respectivement :
2 + 3 + · · · + 47 = 328
,
22 + 32 + · · · + 472 = 10 466 .
a) Quelle est l’étendue de la série ? une médiane ?
b) Calculer la moyenne, la variance et l’écart-type.
2. On ajoute à la série précédente celle des nombres premiers compris entre 50 et 100 :
53 , 59 , 61 , 67 , 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 .
On regroupe les nombres des deux listes selon les classes [0; 20[, [20; 40[, [40; 60[, [60; 80[,
[80; 100[.
a) Écrire le tableau classes / effectifs ;
b) tracer l’histogramme correspondant et en faire l’interprétation ;
c) calculer la moyenne, la variance et l’écart-type après regroupement. On prendra le milieu
des classes comme valeur représentative.