Calcul Analytique et Numérique de la Résistance de Prise de Terre

Quatrième Conférence Internationale sur le Génie Electrique CIGE’10, 03-04 Novembre 2010, Université de Bechar, Algérie
Calcul Analytique et Numérique
de la Résistance de Prise de Terre
S. Flazi et A. Benomar,
Département d’Electrotechnique
Faculté de Génie Electrique, Université des Sciences et de la Technologie d’Oran
BP 1505, 31000 El M’Naouer, Oran, Algérie
[email protected], [email protected]
Résumé
Dans cette communication on a résumé une étude bibliographique concernant le calcul analytique de la
résistance de la prise de terre. Les limites de l’application du calcul analytique ont été évoquées et une
méthode du calcul numérique a été présentée avec trois applications sur trois formes de prise de terre. Les
résultats du calcul numérique ont été satisfaisants et ont donné une possibilité de calcul analytiquement à
priori impossible.
I.
Introduction :
Le calcul de la résistance de prise de terre
est très important et indispensable pour les
réseaux électriques, spécialement, pour la
protection des équipements, la protection des
utilisateurs, les régimes de neutre, la tension de
pas et la tension de touche.
Le problème de la détermination de la
résistance d’une prise de terre est extrêmement
complexe sauf dans le cas d’une électrode
hémisphérique enfouie à la surface d’un terrain
homogène. Pour les autres formes, le calcul est
non seulement approximatif, mais en plus on
trouve plusieurs formules pour la même forme
de prise en fonction du rapport entre longueur et
largeur ou profondeur. De plus, le calcul devient
très difficile, voire impossible si la terre est nonhomogène.
La précision dans les calculs numérique
dépend étroitement de l’affinement du maillage,
de plus il est applicable sur n’importe quelle
forme d’électrode et pour tous type de terre,
homogène ou non.
II. Calcul Analytique de la résistance de
prise de terre [1-5]:
Par définition, la résistance d’une prise de
terre est égale au rapport de son élévation de
potentiel, mesurée par rapport à une référence
infiniment éloignée (terre lointaine) au courant
qu’on y injecte.
Dans ce point, nous résumons une étude
bibliographique sur le calcul analytique de la
résistance de prise de terre dans un terrain
homogène (ou unique).
Le principe de calcul pour une prise de terre
dans un sol de résistivité ρ, sera toujours le
même pour les terres uniques, c'est-à-dire qu’à
une distance L on trace une surface (s) de forme
semblable à l’électrode de la prise de terre, on
calcule cette surface, le résultat on l’intègre de r
à l’infini.
II.1. Resistance d’une prise de terre demisphérique (Figure 1)
Considérons une prise de terre de forme
demi-sphérique de rayon r.
dL
r
Prise de terre
hémisphérique
L
Surface
hémisphérique S
Figure (1) : Prise de terre de forme
hémisphérique
La résistance de la prise de terre Rt: c’est-àdire la résistance de terre entre l’électrode demisphérique de rayon r et une électrode demisphérique de rayon ∞.
dR t 
dL
S
dR t 
dL
2L2
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l’Electricité de France, Direction des études et
recherches, 1984 par la relation suivante :
  dL
2 r L2

Rt 
(1)
2r
Rt 
R
II.2. Resistance d’une prise de terre
cylindrique verticale:
Trois relations ont été développées dans la
littérature pour la détermination de la résistance
d’un piquet de terre vertical (figure 2) de forme
cylindrique de longueur L et de rayon r.

 
2L
 1
 ln
L 
2.r.e

Tagg a proposé une relation analytique et
ses approximations qui tiennent compte de la
comparaison entre la longueur du conducteur
enterré et la profondeur d’enfouissement (Avec
L’ = L/2 et S = 2e) [Tagg G.F., 1964].
Pour des valeurs du rapport S/L’ élevées, la
relation devient :
R
Figure 2 : Prise de terre cylindre verticale
  4L 
ln
2L  d 
(2)
  8L

R
ln
 1  (3)

2L  d

c) La relation de Liew-Darveniza
  r L
ln
2L 
r 
'
r
'
4 L 

 1 
 
'2
1 
 4 S 
R 
(4)
II.3. Resistance d’une prise de terre en câble
enterré horizontalement :
Figure 3 : Prise de terre en câble enterrée
horizontalement.
La résistance d’un câble de longueur L et de
rayon r, enterré horizontalement à une
profondeur e (figure 3) est donnée par
 ln 4L

 r
'

'
4 L
Avec ρ la résistivité du sol, L la longueur de
l’électrode et d = 2r le diamètre de l’électrode.
b) La relation de Dwight-Sunde
R
4L
 ln
L
3S
2
2L 
'4


4
5S 
Pour des valeurs du rapport S/L’ faibles,
a) La relation de Rudenberg
R
 
'
 ln
4L
2 
S
S
'
2L

S
2
'2

16L
S
4
'4
512L



III. Calcul numérique de la résistance de
terre :
III.1. Méthode du calcul Numérique:
 On dessine la prise de terre de forme
quelconque, l’hémisphère de tension zéro
très éloigné (de rayon de 1000m) et entre
eux la terre.
 On définit la propriété électrique de chaque
matière (prise, terre …) ;
 On définit les conditions des limites en
injectant le courant (It) sur la surface voulue
de la prise de terre.
 A l’aide d’un logiciel on réalise le maillage
avec une finition adéquate.
 On détermine la tension Uc de la prise de
terre par rapport à la surface de tension zéro.
 A partir de la valeur de tension trouvée on
calcule la résistance de la prise de terre Rt
par la relation suivante :
Rt 
Uc
It
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III.2. Application du calcul numérique :
III.2.1. Cas de prise de terre hémisphérique :
a) La géométrie en 2D axisymétrique et
en 3D :
Nous avons présenté la géométrie de la prise
de terre hémisphérique en 2D axisymétrique et
en 3D sur la figure 4.
Tableau 1: Résultats des calculs et analytique et
numérique de la résistance de prise hémisphérique en
fonction de son rayon
a) Modèle 2D axisymétrique
b) Modèle 3D
Figure 4 : géométrie de la prise de terre
hémisphérique
b) Résultats des calculs et analytique et
numérique de la résistance d’une prise
hémisphérique :
Dans le tableau 1 nous avons présenté les
différentes valeurs des résistances de terre pour
différents rayons de l’hémisphère en cuivre, le
sol étant considéré comme homogène, avec une
résistivité de 100 Ω.m. le calcul analytique est
basé sur la formule (1).
Les résultats du tableau 1 sont présentés par
le graphe de la figure 5. En observant ces
derniers, nous avons constaté que notre
modélisation est valable pour la prise de terre
hémisphérique. Tout en sachant que la précision
dans les calculs par éléments finis dépend
étroitement de l’affinement du maillage. Donc,
Il est plus avantageux d’effectuer des calculs en
axisymétrique,
pour
une
électrode
hémisphérique.
Figure 5. La présentation graphique des résultats des
calculs et analytique et numérique de la résistance
d’une prise hémisphérique
III.2.2 Cas de prise de terre cylindrique:
a) La géométrie en 2D axisymétrique et
en 3D :
Nous avons présenté la géométrie de la prise
de terre cylindrique en 2D axisymétrique et en
3D sur la figure 6.
6.a).Modéle 2D axisymitrie
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Figure 7: La présentation graphique des résultats
des calculs et analytique et numérique de la
résistance d’une prise cylindrique
III.2.3. Cas de prise de terre sous la forme
d’un câble enterré horizontalement :
6 .b). Modéle 3D
Figure 6. La géométrie de la prise de terre
cylindrique
Le modèle de l’électrode horizontale est
représenté par la figure 3. Les calculs devraient
donc être faits en 3D car les conditions
d’axisymétrique ne sont pas vérifiées.
a) La géométrie en 3D :
Nous avons présenté la géométrie de la prise
de terre câble enterré en 3D sur la figure 8.
b) Résultats des calculs et analytique et
numérique de la résistance d’une prise
cylindrique :
Dans le tableau 2, nous avons présenté les
différentes valeurs de la résistance de terre ;
pour une électrode cylindrique en cuivre de
rayon 0.08m, dans un sol homogène de
résistivité 100 N.m, en fonction de sa longueur,
en axisymétrique et en 3D. Sont aussi
représentées Tableau 2: Résultats des calculs et
analytique et numérique de la résistance d’une prise
cylindrique
sur le graphe de la figure 7. En observant ces
derniers, nous avons constaté que notre
modélisation est valable pour la prise de terre
cylindrique pour des distances supérieures à 3m.
Le calcul analytique des résistances Rudenberg
(R1), Dwight-Sunde (R2) et Liew-Darveniza (R3)
est basé sur les formule (2), (3) et
Figure 8. La géométrie du câble enterré
horizontalement modèle 3D.
b) Résultats des calculs et analytique et
numérique de la résistance d’une prise en
câble enterré horizontalement :
Les résistances de prise de terre réalisées
avec une électrode horizontale en cuivre de
rayon 0.1m, dans un sol homogène de résistivité
100 Ω.m enterrée à une profondeur de 1m, pour
différentes longueurs sont donnée par le tableau
3, les résistances calculées avec les relations
analytiques de Tagg (R2); Electricité de France,
Direction des études et recherches, 1984 (R1).
On remarque que la différence entre les résultats
des trois méthodes est très grande pour des
distances inférieures à 3m. Cette différence entre
la méthode d’EDF et la simulation en 3D
devient négligeable pour des distances
supérieures à 4 m qui correspondent à des cas
réels.
(4).respectivement.
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IV. Conclusion
Tableau 3 : Résultats des calculs et analytique et
numérique de la résistance d’une prise en câble
enterré horizontalement
Ainsi nous avons présenté ces résultats sur
le graphe de la figure 9.
Pour calculer la résistance des prises de
terre de forme quelconque, une méthode de
calcul par éléments finis en 2D axisymétrique
et en 3D et des applications sur des prises de
formes différentes, ont été proposées,
Ces modèles de calcul, qui ont l’avantage
de se rapprocher de la situation physique réelle,
et qui s’appliquent à des configurations plus
complexes, ont été validés en comparaison avec
les calculs analytiques, avec des écarts
relativement faibles.
Ces résultats ont permis de constater que
les calculs axisymétriques sont beaucoup moins
onéreux en termes de temps, de calcul et de
ressources car ils permettent des maillages
beaucoup plus fins.
Cependant,
une
grande
partie
de
configuration réelle de prise de terre doit être
modélisée en 3D. Les ressources et le temps de
calcul sont très importants.
Références
Figure 9. La présentation graphique des résultats de
calcul et analytique et numérique de la résistance
d’une prise en câble enterré horizontalement
[1] Mémotech Electrotechnique, 3émé adition 91,
Eleducalive, Edition CASTEILLA-Paris
[2] EDF, Centre de Normalisation, H115 Principes
de conception et de réalisation des mises à la terre,
1984.
[3] EDF, Spécification technique. HN64-S-55 1997,
prise de terre pour réseaux électriques de
distribution.
[4] ‫ تأليف األستاذ محمد نضال الريس‬،‫كتاب الحماية من الصواعق‬
.3002‫ دمشق‬،‫واألستاذ محمد زهيره‬
[5] ‫ تأليف الدكتور‬،‫كتاب التأريض الوقائي والحماية من الصواعق‬
.3992 ‫ تيروت‬،‫ دار الراتة الجامعية‬،‫عثد المنعم موسى‬
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