I. Puissances de dix 1. Puissance de 10 d’exposant positif a. Exemple Raymond Queneau a écrit un recueil de poèmes intitulé « Cent mille milliards de poèmes » 1. Ecrire ce nombre. 2. Essayer de l’écrire sur la calculatrice. 3. Ce livre peut-il exister ? Chercher les définitions des préfixes déca hecto, kilo, mega, giga, tera, b. Définition Pour tout entier n positif : 10n = 10 × 10 × 10 × ×10 = 1000 n fois 0 n zéros n est appelé l’exposant. c. Exemples Le carré et le cube : 2 10 = 10 × 10 = 100 103 = 10 × 10 ×10 = 1000 2. Propriétés a. Exercice Calculer 102 × 103 Trouver un moyen simple de calculer 1012 × 1025 b. Propriété Pour multiplier des puissances de dix d’exposants positifs, on ajoute leurs exposants. n et p sont des nombres entiers positifs : 10n × 10 p = 10n + p c. Exercice Trouver un moyen simple de calculer (102 ) 3 d. Propriété Pour élever une puissance dix à une autre puissance, on multiplie entre eux les deux exposants. a et b sont des nombres entiers positifs : (10a ) = 10a×b b e. Exercice Trouver un moyen simple de calculer 4ème 105 103 1 f. Propriété Pour calculer le quotient d’une puissance 10 par une autre puissance de 10, on soustrait l’exposant du bas à celui du haut. 10n n et p sont des nombres entiers positifs : = 10n − p p 10 3. Puissance de dix d’exposant négatif a. Exemple 1 1 1 , , 10 1000 1012 Chercher les définitions des préfixes déci, centi, milli, micro, nano, pico, femto, atto. Le diamètre d’un atome d’hydrogène est égal à : 0, 000 000 000 074 m. Comment peut-on l’écrire plus rapidement ? Avec la calculatrice calculer b. Définition Pour tout entier n positif : 1 10 − n = n = 0, 00 01 10 n zéros n est appelé l’exposant. c. Exemples 1 1 = 2 = 10 −2 10 × 10 10 1 1 = 3 = 10−3 10 × 10 × 10 10 d. Propriétés On a les mêmes propriétés qu’avec les exposants positifs : n et p sont des nombres entiers négatifs : 10n × 10 p = 10n + p a et b sont des nombres entiers négatifs : (10a ) = 10a×b b 10n n et p sont des nombres entiers négatifs : = 10n − p p 10 4. Exemples Calculer 105 × 10−2 10 2 10−2 B = −3 10 A= 4ème 2 II. Notation scientifique, ordre de grandeur 1. Définition Tout nombre décimal peut s' écrire sous la forme a × 10 n , où a est un nombre décimal tel que 1 ≤ a < 10 , et n est un entier relatif. C' est la notation scientifique de ce nombre. 2. Exemples : Donner l’écriture scientifique des nombres suivants : Nombres 0,000021 Ecritures scientifiques 2,1× 10-5 -3526 −3,526 ×103 10−2 1× 10−2 Ecriture décimale Ecriture scientifique 19032,58 1,903258 × 104 écriture à virgule flottante à 7 chiffres significatifs décimal compris entre 1 et 10 exclu Ordre de grandeur 1× 104 ≈ 10 4 on remplace le décimal par 1 ou 10 suivant qu’il est supérieur ou inférieur à 5. III. Puissance d’un nombre non nul 1. Définition Pour tout nombre relatif a non nul et pour tout entier positif n supérieur à 1 : 1 a n = a × a × a × × a et a − n = n . a n fois 2. Exemples 25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 52 = 5 × 5 1 1 3−2 = 2 = 3 9 3. Remarques a =1 0 a1 = a 4. Propriétés On a les mêmes propriétés qu’avec les puissances de 10 : n et p sont des nombres entiers relatifs : a n × a p = a n + p a et b sont des nombres entiers relatifs : (a ) n et p sont des nombres entiers relatifs : an = an− p p a 4ème n p = a n× p 3