3ème3 2009-2010 Chapitre 11 : Nombres entiers et rationnels. PGCD I. Ensembles de nombres 1/ Les nombres entiers Définition Les nombres entiers naturels sont les nombres positifs qui peuvent s'écrire sans virgule. Exemples 12 ; 3,1×102 ; 7,00 ; 4 121 ; 124 . Définition Les nombres entiers relatifs sont les nombres positifs et négatifs qui peuvent s'écrire sans virgule. Exemples 56 ; 87 ; – 10 12 . – 7 2/ Les nombres décimaux Définition Un nombre décimal est un nombre qui s'écrit avec une partie décimale finie. Exemples −124 sont des nombres décimaux. 5,124 =0,05124 ; 7×10 100 Attention ! 1 n'est pas un nombre décimal car 1÷3=0,333333333333 ... . 3 1 2 7 De même : ; ; . 7 11 13 3ème3 2009-2010 3/ Les nombres rationnels Définition a et b sont deux nombres entiers ; b étant différent de 0 . Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous la forme a . b Exemples – 12,548= – 12548 1 15 45 – 70 2 – 45= – 7= ; ; ; ; ; 1 000 3 19 1 10 11 . Remarque Il existe des nombres dits irrationnels qui ne peuvent pas s'écrire sous la forme a : b 2 ; – 4 3 ; … Rappels • Périmètre d'un cercle de rayon r : 2××r . • Aire d'un disque de rayon r : ×r 2 . II. Diviseurs Diviseur (d) Dividende (D) Rappel Lorsqu'on pose la division euclidienne de deux nombres, on a : D=d qr et r d . 1 4 8 − 1 2 2 8 2 4 4 12 1 2 Quotient (q) Reste (r) 1/ Diviseurs d'un nombre entier Définition a et b représentent deux nombres entiers non nuls. b divise a si le reste de la division euclidienne de a par b est nul. Exemples • Est-ce que 3 divise 111 ? Oui car 3×37=111 (donc le reste de la division euclidienne de 111 par 3 est 0 ). • Est-ce que 17 divise 54 ? Non, car 54=3×173 (le reste est égal à 3 ). 3ème3 2009-2010 S'exprimer On peut dire que : • 3 divise 111 • 111 est divisible par 3 • 3 est un diviseur de 111 . Rappels : critères de divisibilité • Un nombre est divisible par 2 s'il est pair (le chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8). • Divisible par 3 : la somme des chiffres est dans la table de 3 . • Par 5 : évident ! • Par 9 : la somme des chiffres est dans la table de 9 . • Par 10 : évident ! 2/ Recherche des diviseurs d'un nombre Exemple 1 Trouve tous les diviseurs de 84 , sans en oublier ! On trouve toutes les décompositions possibles de façon systématique : 84=1×84 84=2×42 84=3×28 84=4×21 84=6×14 84=7×12 Les diviseurs sont les nombres qui interviennent dans les décompositions : 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 7 , 12 , 14 , 21 , 28 , 42 et 84 Exemple 2 Même question avec 56 . 1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 8 ; 14 ; 28 ; 56 3/ Diviseurs communs à deux nombres Exemple 1 D'après le paragraphe précédent, les diviseurs communs à 84 et 56 sont 1 , 2 , 4 , 7 , 14 et 28 . Le plus grand d'entre eux est 28 . Exemple 2 Trouve les diviseurs communs à 27 et 42 . • Diviseurs de 27 : 1 , 3 , 9 , 27 . Diviseurs de 42 : 1 , 2 , 3 , 6 , 7 , 14 , 21 , 42 • Diviseurs communs : 1 et 3 • Plus grand diviseur commun : 3 . 3ème3 2009-2010 Application à la simplification de fraction 84 Simplifie . 56 On sait que 28 est le plus grand des diviseurs communs à 84 et 56 . On se sert donc de 28 pour simplifier : 84 28×3 3 = = 56 28×2 2 On obtient directement une fraction irréductible. 4/ Nombres premiers entre eux Définition Deux nombres sont premiers si le seul diviseur commun est 1 . Remarque On pourrait dire aussi que ces deux nombres ne sont pas dans une même table de multiplication. Exemples • 3 et 7 • 18 et 25 Interprétation 3 18 et sont irréductibles. 7 25 III. PGCD 1/ Définition/Notation Définition Le PGCD de deux nombres est le Plus Grand Commun Diviseur. Exemple/Méthode Quel est le PGCD de 24 et 36 ? • Diviseurs de 24 : 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 12 et 24 . • Diviseurs de 36 : 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 9 , 12 , 18 et 36 Le PGCD est 12 . Notation PGCD( 24 , 36 )= 12 3ème3 2009-2010 2/ Méthode par soustractions successives (avec calculatrice) a. Activité Comparer le PGCD de deux nombres ainsi que celui du plus petit et de leur différence. On pourra prendre 36 et 48 . • On trouve PGCD(36,48)=12 • Plus petit des deux : 36 Différence : 48-36=12 PGCD(12,36)=12 On remarque que PGCD(36,48)=PGCD(36,48-36). On continue sur le même principe : • Plus petit entre 36 et 12 : 12 Différence : 36-12=24 PGCD(12,24)=12 Encore... • Plus petit entre 12 et 24 : 12 Différence : 24-12=12 PGCD(12,12)=12 b. Méthode sur un exemple Quel est le PGCD de 1035 et 322 ? 1035 Plus petit des deux 322 322 322 69 69 69 69 46 23 322 Différence des deux 713 391 69 253 184 115 46 23 23 3ème3 2009-2010 Puisque PGCD(1035,322)=PGCD(322,713)=...=PGCD(23,23) alors PGCD(1035,322)=23. Par ailleurs, on a : • 1035÷23=45 et 322÷23=14 322 322÷23 14 • 1035 = 1035÷23 = 45 Autre exemple Même question avec 2886 et 1258 2886 Plus petit des deux 1258 1258 370 370 370 148 148 74 74 1258 Différence des deux 1628 370 888 518 148 222 74 74 0 Donc PGCD(2886,1258)=74 Et encore un Calcule le PGCD de 2170 et 4433 . 2170 Plus petit des deux 2170 2170 93 93 93 93 93 93 93 93 93 93 93 93 93 93 93 93 4433 Différence des deux 2263 93 2077 1984 1891 1798 1705 1612 1519 1426 1333 1240 1147 1054 961 868 775 682 93 Plus petit des deux 93 93 93 93 93 93 93 31 31 682 Différence des deux 589 496 403 310 217 124 31 62 31 Donc PGCD(2170,4433)=31. C'est un peu long ! 3ème3 2009-2010 3/ Méthode d'Euclide (avec calculatrice) a. Activité On considère 36 et 48 . Comparer le PGCD de ces deux nombres avec le PGCD du diviseur et du reste. • On trouve assez facilement que PGCD(36,48)=12 • Posons la division euclidienne de 48 par 36 . Diviseur (d) Dividende (D) 4 8 − 3 6 1 2 36 1 Quotient (q) Reste (r) PGCD(36,12)=12 On remarque PGCD(nombre1,nombre2)=PGCD(diviseur, reste) b. Méthode sur un exemple Calcule PGCD(1035,322) Dividende 1035 322 69 46 diviseur 322 69 46 23 reste 69 46 23 0 quotient 3 4 1 2 PGCD(1035,322)=PGCD(46,23)=23. On remarque que c'est le dernier reste non nul. 3ème3 2009-2010 Autre exemple Calcule le PGCD de 2170 et 4433 par la méthode d'Euclide, et retrouve plus rapidement le résultat précédent. Dividende 4433 2170 93 diviseur 2170 93 31 reste 93 31 0 quotient 2 23 3 Le dernier reste non nul est 31 , c'est donc le PGCD recherché. 4/ Méthode par décomposition (cas simples) On a 210=2×3×5×7 et 84=2×2×3×7 . On trouve le PGCD en prenant les nombres en commun dans les décompositions : PGCD 210,84=2×3×7=42 .