MPSI Lycée Rabelais Semaine du 18 décembre 2008 Entiers relatifs, arithmétique Divisibilité Exercice 7 : Montrez que pour tout entier n ∈ N⋆ , 1. (n2 + n) ∧ (2n + 1) = 1 Exercice 1 : Résoudre dans Z les équations suivantes : 2. (3n2 + 2n) ∧ (n + 1) = 1. 1. x − 1|x + 3 Exercice 8 : Soit (a, b, c) ∈ Z3 tel que a et b sont premiers entre eux. Montrez que a ∧ bc = a ∧ c. 2. x + 2|x2 + 2 Exercice 2 : Résoudre dans Z2 les équations suivantes : Exercice 9 : Soient a et b deux nombres premiers entre eux. 1. xy = 2x + 3y 1 1 1 + = 2. x y 5 3. x2 − y 2 − 4x − 2y = 5 1. Montrez que a ∧ (a + b) = b ∧ (a + b) = 1. 2. Déduisez-en que (a + b) ∧ ab = 1. Exercice 10 : Soit n ∈ N. ⋆ 3 1. Montrez qu’il existe un couple (an , bn ) ∈ N2 , unique tel que √ √ (1 + 2)n = an + bn 2. Exercice 3 : Soit (a, b, n) ∈ (N ) . On note q le quotient de la division euclidienne de a − 1 par b. Déterminez le quotient de la division euclidienne de abn − 1 par bn+1 . 2. Montrez que an et bn sont premiers entre eux. PGCD et PPCM Exercice 11 : On considère la suite (Fn )n∈N définie par les relations Exercice 4 : Déterminez le PGCD de a et b et établissez une égalité de Bezout lorsque F0 = 0, F1 = 1, et ∀n ∈ N⋆ , Fn+1 = Fn + Fn−1 1. a = 33, b = 24 Les Fn sont des nombres entiers naturels appelés nombres de Fibonacci . 2. a = 37 et b = 27 1. Montrez que pour tout entier naturel n ∈ N⋆ , Fn+1 Fn−1 − Fn2 = (−1)n . Déduisez-en que Fn et Fn+1 sont premiers entre eux. 3. a = 270 et b = 105. 2. Montrez que pour tout couple (n, p) ∈ N × N⋆ , Fn+p = Fp Fn+1 + Fp−1 Fn . Déduisez-en que Exercice 5 : Résolvez dans Z2 les équations suivantes : 1. 221x + 247y = 15 2. 198x + 216y = 36 P GCD(Fn , Fp ) = P GCD(Fn+p , Fp ) 3. 323x − 391y = 612 3. Démontrez finalement, 2 Exercice 6 : Résolvez dans N les systèmes suivants : x∧y = 5 1. . x ∨ y = 60 x + y = 100 2. x ∧ y = 10 ∀(n, p) ∈ N2 , P GCD(Fn , Fp ) = FP GCD(n,p) Nombres premiers, décomposition primaire des entiers Exercice 12 : Montrez que les nombres suivants sont composés : 1. a = 4n3 + 6n2 + 4n + 1, n ∈ N⋆ . Nombres premiers entre eux 2. b = n4 − n2 + 16, n ∈ Z. 1 Exercice 13 : Soient a et p deux entiers supérieurs ou égaux à 2. Montrez que si ap − 1 est premier, alors a = 2 et p est premier. Exercice 14 : Montrez que si p et q sont deux entiers naturels premiers entre eux, alors 2p − 1 et 2q − 1 sont premiers entre eux. √ 2 Exercice 15 : Soit √ N. Montrez que n ∈ Q ⇐⇒ ∃m ∈ N, n = m . √n∈ Déduisez-en que 2, 3 sont irrationnels. Exercice 16 : Petit théorème de Fermat Soit p un nombre premier. p est divisible par p. k 2. Déduisez-en que pour tout entier n ∈ N, np − n est divisible par p. 1. Montrez que pour tout k ∈ [[; 1, p − 1]], Exercice 17 : Soit n ∈ N, on note pn le nième nombre premier. 1. Montrez que pn+1 ≤ p1 p2 · · · pn + 1. 2. En déduire que pn ≤ 22 . n 3. Soit x ∈ R+ . On note π(x) le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x. Démontrez que pour x assez grand, ln(ln x) ≤ π(x) ≤ x. Indication : vous pourrez utilisez le fait que pour n ≥ 3, ee n−1 ≥ 22 . n Exercice 18 : Soit (m, n) ∈ N2 un couple d’entiers naturels, premiers entre eux. On suppose qu’il existe des entiers naturels A, x et y tels que A = xn = y m . Montrez qu’il existe z ∈ N tel que A = z mn . Indication : vous pourrez utiliser les décompositions primaires de x et y). 2