La preuve de la conjecture de Goldbach
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La preuve de la conjecture de Goldbach Yves Meyer [email protected] 1 2 Le congrès international des mathématiciens se tiendra à Séoul, Corée-du-Sud, du 13 au 21 août 2014. Que s’y passera-t-il ? Vous allez le savoir maintenant. 3 1. Les nombres premiers. Un produit n = l × m de deux nombres entiers l ≥ 2 et m ≥ 2 est un nombre composé. Les entiers l et m sont des diviseurs de n. Un nombre premier est un entier naturel n ≥ 2 qui n’est pas composé. Par exemple 6 = 2×3 est composé, tout comme 21 = 3 × 7, mais 11 est premier. En allant un peu plus loin, 97 est premier ainsi que 101, mais 98 = 2 × 72, 99 = 32 × 11, 100 = 22 × 52 ne sont pas premiers. Un nombre pair ne peut être premier (sauf 2). Un test de primalité est un algorithme permettant de savoir si un nombre entier n est premier. Ces tests sont lents et deviennent impraticables dès que n est très grand. En 2002, trois jeunes mathématiciens indiens Manindra Agrawal, Nitin Saxena et Neeraj Kayal ont découvert un test de primalité qui ne nécessite que O((log2 n)12) opérations élémentaires. Les 25 nombres premiers inférieurs à 100 sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 et 97. La première trace des nombres premiers se trouve dans les Éléments d’Euclide (tomes VII à IX). Euclide démontra le théorème suivant il y a deux mille trois cents ans: Théorème 1.1. Il y a une infinité de nombres premiers. 4 Les nombres premiers, écrits dans l’ordre croissant, forment donc une suite infinie (qui ne s’arrête pas) p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, p4 = 7, p5 = 11, p6 = 13, p7 = 17, p8 = 19, p9 = 23, p10 = 29, p11 = 31, . . . On ne sait que très peu de choses sur les nombres premiers. Il n’existe pas d’algorithme produisant automatiquement des nombres premiers. On ne sait pas calculer le n-ième nombre premier (noté pn). Les différences pn+1 − pn valent 2, 4, 6 et 8 lorsque 1 ≤ n ≤ 24. Ces différences sont petites. Le mathématicien américain Yitang Zhang vient de démontrer que de telles “petites différences” apparaissent une infinité de fois dans la suite des nombres premiers : Théorème 1.2. Il existe un entier r inférieur à 7.107 tel que l’on ait pn+1 − pn = r pour une infinité de nombres premiers pn. Ceci sera publié dans quelques mois aux Annals of Mathematics, édité par l’Université de Princeton. Yitang Zhang espère démontrer qu’il existe une infinité de nombres premiers pn tels que pn+1 − pn = 2 (conjecture des nombres premiers jumeaux). Yitang Zhang exposera sa découverte au congrès international des mathématiciens qui se tiendra à Séoul du 13 au 21 août 2014. Les nombres premiers servent à sécuriser les paiements en ligne. 5 Le chiffrement RSA (nommé par les initiales de ses trois inventeurs) est l’algorithme de cryptographie le plus utilisé dans le commerce électronique, et plus généralement pour échanger des données confidentielles sur Internet. Cet algorithme a été inventé en 1977 par Ronald Rivest, Adi Shamir et Leonard Adleman. RSA fonctionne parce que nous ne savons presque rien sur les nombres premiers. Le plus grand nombre premier connu (découvert le 25 janvier 2013, dans le cadre du projet GIMPS) est le nombre de Mersenne P = 257.885.161 − 1. On sait qu’il y a une infinité de nombres premiers mais on ne sait pas les construire. Ceci parce que la preuve du théorème d’Euclide n’est pas constructive. 2. La conjecture de Goldbach La conjecture de Goldbach (1690-1764), énoncée en 1742 dans une lettre de Goldbach à Euler, dit que tout nombre entier impair n, supérieur ou égal à 7, est la somme de trois nombres premiers. L’entier n vous étant donné, vous trouverez, en cherchant bien, trois nombres premiers p, q et r tels que n = p + q + r. Vérifions la conjecture de Goldbach sur les entiers impairs inférieurs à 100. On a : 6 99 = 11 + 19 + 67 97 = 11 + 17 + 67 95 = 17 + 19 + 59 93 = 3 + 31 + 59 91 = 3 + 29 + 59 89 = 13 + 17 + 59 87 = 11 + 17 + 59 85 = 7 + 19 + 59 83 = 5 + 19 + 59 81 = 3 + 19 + 59 79 = 3 + 17 + 59 ... 41 = 11 + 13 + 17 ... 7 = 3 + 2 + 2. Le mathématicien suisse Leonhard Euler (1707-1783) répondit à Goldbach en lui proposant une conjecture plus puissante, à savoir que: tout entier pair supérieur ou égal à 4 est la somme de deux nombres premiers. Par exemple 6=3+3. La conjecture initiale de Goldbach est désormais appelée conjecture faible de Goldbach tandis que l’énoncé d’Euler est la conjecture forte de Goldbach. 7 Leonhard Euler, né le 15 avril 1707 à Bâle et mort à 76 ans le 18 septembre 1783 à Saint-Pétersbourg, est un mathématicien et physicien suisse, qui passa la plus grande partie de sa vie en Russie et en Allemagne. Euler fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que la mécanique, la dynamique des fluides, l’optique et l’astronomie. Euler est l'un des plus grands mathématiciens de tous les temps. 8 3. Harald Helfgott Ce jeune mathématicien péruvien de 36 ans a démontré la conjecture faible de Goldbach, un problème que les plus grands mathématiciens au monde n’avaient pu résoudre. 9 La conjecture faible vient d’être démontrée (juin 2013) par le mathématicien péruvien Harald Andrés Helfgott, né le 25 novembre 1977, à Lima (Pérou). Théorème 3.1. Tout nombre entier impair n ≥ 7 est la somme de trois nombres premiers. La conjecture forte n’a toujours pas été démontrée. Elle a été vérifiée pour tous les entiers n ≤ 4.1018, grâce à un programme informatique. Nous nous servirons de cette vérification. Que se passe-t-il pour n > 4.1018 ? Pour tout entier n, on peut donc trouver trois nombres premiers p, q et r tels que n = p+q+r. Il n’y a cependant aucun algorithme fournissant cette décomposition. La preuve est indirecte ; elle n’est pas constructive. Pourquoi a-t-il fallu attendre 250 ans pour que la conjecture de Goldbach soit démontrée ? Euler était pourtant un génie. En quoi Harald Andrés Helfgott dépasset-il Euler ? 10 4. La transmission des savoirs. Dans un texte saisissant Montaigne répond à cette question. Ce que ma force ne peut découvrir, je ne laisse pas de le sonder et essayer et, en retastant et pétrissant cette nouvelle matière, la remuant et l’eschaufant, j’ouvre à qui me suit quelque facilité. Autant en fera le second au tiers qui est cause que la difficulté ne me doit pas désespérer, ni aussi peu mon impuissance... Montaigne, Essais, Livre II, Chapitre XII, (1580). Pascal pense de même quand il écrit : [Les Anciens] s’étant élevés jusqu’à un certain degré où ils nous ont portés, le moindre effort nous fait monter plus haut, et avec moins de peine et moins de gloire nous nous trouvons au-dessus d’eux. C’est de là que nous pouvons découvrir des choses qu’il leur était impossible d’apercevoir. Notre vue a plus d’étendue, et, quoiqu’ils connussent aussi bien que nous tout ce qu’ils pouvaient remarquer de la nature, ils n’en connaissaient pas tant néanmoins, et nous voyons plus qu’eux. Blaise Pascal, Préface sur le traité du vide, (1647). 11 Les mathématiques sont encore dans l’enfance. Elles grandissent, s’enrichissent et se perfectionnent jour après jour. Comme la vie sur Terre ! La vie n’était au départ constituée que de quelques brins d’ARN inorganisés et épars. Ensuite la vie s’est complexifiée au cours de l’évolution et l’homme est apparu, homo habilis, puis homo erectus et enfin homo sapiens. L’évolution des mathématiques prolonge la grande évolution qui a conduit à l’homo sapiens. Ce progrès puissant, continu et incessant des mathématiques est évident dans la preuve de la conjecture de Goldbach. C’est grâce aux découvertes faites par un paysan français (François Proth), par un indien (Srinivasa Ramanujan), par deux anglais (Hardy et Littlewood), par un russe soviétique (Vinogradov) et par un péruvien (Helfgott) que la conjecture de Goldbach a pu enfin être démontrée. Les mathématiques se moquent des nations et des frontières. C’est pourquoi les congrès internationaux des mathématiciens sont bouleversants. Nous y venons de tous les pays au monde pour partager notre passion pour la recherche. 12 5. Christian Goldbach Né le 18 mars 1690 à Königsberg en Prusse (actuellement Kaliningrad en Russie), Christian Goldbach était le fils d’un pasteur. Dès 1710, il entreprit ses premiers voyages en Europe, au cours desquels il rencontra les principaux mathématiciens de son temps. En 1725, il fut nommé professeur de mathématiques et historien à l’Académie impériale de Saint-Pétersbourg qui venait d’être créée. Ses recherches mathématiques concernaient alors le domaine de l’analyse : il résolut en particulier divers cas d’équations différentielles de Ricatti et proposa des méthodes nouvelles d’analyse des séries infinies. Il s’installa à Moscou comme tuteur du tsarévitch Pierre II à partir de 1728, mais sa carrière de précepteur s’achèva deux ans plus tard avec la mort prématurée de son élève. Goldbach resta néanmoins au service de la famille impériale à Moscou, puis à Saint-Pétersbourg lorsque la cour s’y installa en 1732. De 1729 à 1763, Goldbach entretint une correspondance suivie avec le mathématicien suisse Leonhard Euler (1707-1783) et c’est dans ce cadre que se développa sa contribution à la théorie des nombres. Dans une lettre à Euler du 7 juin 1742, il énonça la conjecture suivante : Tout nombre entier supérieur ou égal à 7 est la somme de trois nombres premiers. Goldbach mourut le 20 novembre 1764 à Moscou. 13 La lettre de Goldbach à Euler où Goldbach énonce sa conjecture est reproduite sur la page suivante. 14 15 6. Les travaux fondateurs Les premiers travaux sont dus à Hardy (G.H. Hardy, 1877-1947), Littlewood (J.E. Littlewood, 1885-1977) et Ramanujan. Srinivâsa Aiyangâr Râmânujan (1887-1920) est un mathématicien indien, issu d’une famille brahmane, pauvre et orthodoxe. Râmânujan était un autodidacte. Il apprit les mathématiques à partir de deux livres qu’il s’était procurés à 15 ans. Ramanujan a énoncé, sans les démontrer, des résultats très profonds sur la théorie des nombres. Il tenta alors d’intéresser les mathématiciens européens à son travail. Une lettre de 1913 à Godfrey Harold Hardy contenait une longue liste de formules et de théorèmes sans démonstration. Hardy considéra tout d’abord cet envoi inhabituel comme une supercherie, puis, interpelé par l’étrangeté de certains théorèmes, Hardy en discuta longuement avec John Littlewood pour aboutir à la conviction que son auteur était certainement un “homme de génie”. 16 17 Hardy lui répondit et invita Ramanujan à venir en Angleterre ; une collaboration fructueuse, en compagnie de Littlewood, en résulta. Hardy déclara, à propos de certaines formules qu’il ne pouvait comprendre, qu’“un seul coup d’œil sur ces formules était suffisant pour se rendre compte qu’elles ne pouvaient être pensées que par un mathématicien de tout premier rang.” Hardy aimait classer les mathématiciens sur une échelle de 1 à 100. Il s’attribuait 25, donnait 30 à Littlewood, 80 à David Hilbert et 100 à Ramanujan. La méthode inventée par Ramanujan est appelée aujourd’hui la méthode du cercle. Elle consiste à traduire des problèmes d’arithmétique portant sur des nombres entiers en des calculs d’intégrales portant sur des sommes de sinus et de cosinus. L’arithmétique devient l’analyse où de nouvelles compétences sont utilisées. Ce mélange entre analyse et arithmétique s’appelle la théorie analytique des nombres. Hardy et Littlewood démontrèrent, en 1923, qu’au delà d’un nombre entier C1 tout nombre impair n ≥ C1 est la somme de trois nombres premiers. Mais, pour ce faire, ils devaient admettre l’hypothèse de Riemann généralisée (GRH). Le mathématicien soviétique Vinogradov (Ivan Vinogradov, 1891-1983), prouva, en 1937, le même résultat sans avoir besoin de GRH. Il suffira donc de vérifier la conjecture pour les nombres plus petits que C1 ! 18 Malheureusement le nombre C1 obtenu par Vinogradov est tellement grand (C1 ' 101000) qu’il est impossible de vérifier la conjecture de Goldbach pour tous les entiers plus petits que C1. Même en utilisant les ordinateurs les plus puissants au monde. Olivier Ramaré démontra, en 1995, que tout entier pair est somme de six nombres premiers. Terence Tao prouva, en 2012, que tout entier impair n ≥ 3 est somme de cinq nombres premiers au plus. 7. La preuve de Helfgott La preuve se décompose en deux parties. 7.1. Première partie. En améliorant les travaux de Vinogradov, Helfgott réussit à remplacer C1 ' 101000 par C0 = 8, 876 · 1030 dans le théorème de Vinogradov. On a donc Lemme 7.1. Tout entier impair n > C0 = 8, 876·1030 est la somme de trois nombres premiers. La preuve est basée sur la méthode du cercle, inventée par Hardy, Littlewood et Ramanujan. La méthode du cercle relie la théorie des nombres et l’analyse mathématique (l’étude des fonctions et le calcul de certaines intégrales). La méthode du cercle fait partie d’un programme plus général qui est la théorie analytique des nombres. 19 7.2. Seconde partie : les échelles de nombres premiers. Il reste ensuite à régler le cas des entiers n ≤ C0 = 8, 876 · 1030. Cette partie de la démonstration est basée sur la construction d’échelles de nombres premiers de très grande longueur et telles que la distance entre deux nombres premiers consécutifs soit la plus petite possible, compte tenu de la longueur. Définition 7.1. Une échelle de nombres premiers de raison r et de taille l est une suite croissante q1 < q2 < . . . < ql composée de nombres premiers et telle que q1 ≤ r, et qj+1 − qj ≤ r (1 ≤ j ≤ l − 1) (1) La taille d’une échelle est donc le nombre de ses barreaux. La longueur de l’échelle est ql − q1. Pour un r donné, la taille l de l’échelle ne peut dépasser er /r. Cela résulte du théorème de Gauss sur la répartition des nombres premiers (le nombre de nombres premiers compris entre 1 et N est asymptotiquement logNN ). Le théorème de Green-Tao, démontré en 2004 par Ben Joseph Green et Terence Tao, dit que pour tout entier l, il existe une progression arithmétique qj 1 ≤ j ≤ l, composée de l nombre premiers. Helfgott et David Platt démontrèrent le théorème suivant: 20 Théorème 7.1. Il existe une échelle de nombres premiers dont la raison est r = 4.1018 et qui permet de monter jusqu’à ql = 8, 876.1030. Le nombre l de barreaux de cette échelle (c’est-à-dire le nombre de nombres premiers construits) dépasse 2, 219.1012. Montrons que ce théorème implique la conjecture de Goldbach. Si n > 8, 876.1030, le lemme 7.1 permet de conclure : n est la somme de trois nombres premiers. Si n ≤ 8, 876.1030 alors n se trouve situé entre deux barreaux consécutifs de l’échelle. On a qj ≤ n < qj+1. On forme ensuite m = n−qj . On a 0 ≤ m ≤ 4.1018. Mais la conjecture forte de Goldbach a été vérifiée numériquement jusqu’à la valeur M = 4.1018 par trois informaticiens, Tomás Oliveira e Silva, Siegfried Herzog et Silvio Pardi. On peut donc écrire m = p + p0 où p et p0 sont deux nombres premiers. Finalement n = qj + p + p0 est la somme de trois nombres premiers. La construction par Helfgott d’échelles très longues de nombres premiers utilise le théorème de Proth. François Proth (1852-1879) était un fermier et un mathématicien autodidacte qui a vécu à Vaux-devant-Damloup près de Verdun. La cause de la mort de Proth n’est pas connue. Proth a démontré quatre théorèmes sur les nombres premiers. Un nombre de Proth est un nombre entier de la forme x = k 2n + 1 où 1 ≤ k < 2n et où k est impair. Le critère de Proth donne une condition nécessaire et suffisante pour qu’un nombre de Proth soit premier. 21 Pour énoncer le théorème de Proth, il faut définir le symbole de Legendre, puis le symbole de Jacobi. On dit qu’un entier a est un résidu quadratique modulo le nombre premier p s’il existe un entier k tel que a − k 2 soit un multiple de p. Définition 7.2.Si p est un nombre premier et a un entier, alors ap désigne le symbole de Legendre (1752-1833). Il vaut : (i) 0 si a est divisible par p (ii) 1 si a n’est pas divisible par p et si a est un résidu quadratique modulo p (iii) −1 si a n’est pas un résidu quadratique modulo p. Dans l’énoncé du critère de Proth ( xa ) désigne le symbole de Jacobi (1804-1851). Voici sa définition. Définition 7.3. Soit x un entier impair supérieur α à 2 et x = pα1 1 pα2 2 · · · pk k la décomposition de x en facteurs premiers. Alors, pour tout entier a, on a : α1 α2 αk a a a = ··· . x p1 p2 pk a 22 Théorème 7.2. Soit x un nombre de Proth. S’il existe un entier a tel que a = −1 x (2) et a(x−1)/2 ≡ −1 (mod x) (3) alors x est un nombre de Proth premier. Réciproquement si x est un nombre de Proth premier, alors (3) est vérifiée pour tout entier a tel que ( xa ) = −1. Les nombres premiers de l’échelle de Helfgott sont des nombres premiers de Proth. Tous les calculs nécessaires ont été implémentés par Dave Platt et ont été réalisés, en partie, au mésocentre de calcul MesoPSL de l’observatoire de Paris (la machine parallèle NEC, à 1472 cœurs et à mémoire distribuée, a été mise en service en décembre 2012). Référence: H.A. Helfgott. Major archs for Goldbach’s problem. Preprint (13 mai 2013). Abstract: The ternary Goldbach conjecture, or three-primes problem, asserts that every odd integer n greater than 5 is the sum of three primes. The present paper proves this conjecture. Both the ternary Goldbach conjecture and the binary, or strong, Goldbach 23 conjecture had their origin in an exchange of letters between Euler and Goldbach in 1742. We will follow an approach based on the circle method, the large sieve and exponential sums, supplemented by rigorous computations, including a verification of zeros of Lfunctions due to D. Platt. The improved estimates on exponential sums are proven in a twin paper by the author. Proth, F. (1876), “Énoncés de divers théorèmes sur les nombres”, Comptes Rendus des Séances de l’Académie des Sciences, Paris 83: 1288-1289. Proth, F. (1878), “Théorème relatif à la théorie des nombres”, Comptes Rendus des Séances de l’Académie des Sciences, Paris 87: 347. Proth, F. (1878), “Théorèmes sur les nombres premiers”, Comptes Rendus des Séances de l’Académie des Sciences, Paris 87: 926.
