FICHE 4 CONGRUENCES Dénition Soit m un entier naturel strictement positif donné. On dit que deux entiers a et b sont congrus modulo m si leur diérence b − a est un multiple de m. On note : a ≡ b (mod.m) ou a ≡ b [m]. Exemples 43 ≡ 83 (mod.10) puisque la diérence 83 − 43 = 40 est un multiple de 10. 351 ≡ 843 (mod.41) puisque la diérence 843 − 351 = 492 est un multiple de 41. 55 ≡ −37 (mod.23) puisque la diérence −37 − 55 = −92 est un multiple de 23. Propriété fondamentale a ≡ b [m] si et seulement si a et b ont le même reste dans la division euclidienne par m. Démonstration Si a ≡ b [m], cela signie que pour un certain entier k : b − a = km. Écrivons la division euclidienne de a par m : a = mq + r avec 0 ≤ r < m. On a donc : b = m(k + q) + r avec 0 ≤ r < m ce qui montre que le reste dans la division de b par m est aussi r. Réciproquement, si a et b ont le même reste r dans la division euclidienne par m, on a : a = mq + r et b = mq 0 + r d'où : b − a = m(q − q 0 ). b − a est bien un multiple de m : a ≡ b [m]. Propriétés a, b, c et d désignent des entiers quelconques. m est un entier naturel strictement positif. 1. a ≡ a [m] 2. Si a ≡ b [m], alors b ≡ a [m] 3. Si a ≡ b [m] et b ≡ c [m], alors a ≡ c [m] 4. Si a ≡ b [m] et c ≡ d [m], alors a + c ≡ b + d [m] 5. Si a ≡ b [m] et c ≡ d [m], alors ac ≡ bd [m] 6. Si a ≡ b [m] alors ap ≡ bp [m] (p ≥ 1) ¨ §Ex ¥ 4.1 ¦ Démontrer les propriétés 3. et 5. ci-dessus. Indication : bd − ac = d(b − a) + a(d − c). ¨ §Ex ¥ 4.2 ¦ Démontrer que si n n'est pas divisible par 7, n6 − 1 l'est. FICHE 4 1 CONGRUENCES ¨ §Ex ¥ 4.3 ¦ Vérier que : 10 ≡ 3 [7] , 100 ≡ 2 [7] , 1000 ≡ −1 [7] , 10 000 ≡ −3 [7] , 100 000 ≡ −2 [7] , 1 000 000 ≡ 1 [7]. En déduire, parmi ces nombres, quels sont les multiples de 7 : 4 123 ; 321 083 ; 39 398 ; 1 111 117 ; 3 333 337. ¨ §Ex ¥ 4.4 ¦ Montrer que 9 divise 73n − 1 pour tout n nombre entier naturel. ¨ §Ex ¥ 4.5 ¦ Démontrer que 33 ≡ 1 [13] et 33n ≡ 1 [13]. En déduire que le nombre 36n+2 + 33n+1 + 1 est un multiple de 13 pour tout entier naturel n. ¨ §Ex ¥ 4.6 ¦ Démontrer que 32n+1 + 2n+2 ≡ 0 [7] pour tout n nombre entier naturel. ¨ §Ex ¥ 4.7 ¦ Vérier que 9 ≡ −1 [10]. En déduire le chire des unités des nombres 92n et 92n+1 pour tout n nombre entier naturel. Vérier que 99 ≡ −1 [100]. En déduire le chire des unités des nombres 992n et 992n+1 pour tout n nombre entier naturel. ¨ §Ex ¥ 4.8 ¦ 1. Quel est le reste de la division par 7 du nombre 3245 ? 2. Quel est le reste de la division par 19 du nombre 57 383114 ? 3. Quel est le reste de la division par 7 du nombre 91 2341 998 ? ¨ §Ex ¥ 4.9 ¦ Démontrer en utilisant les congruences que si a, b et n sont des entiers naturels non nuls, a − b divise an − bn et si de plus n est impair : a + b divise an + bn . Indication : Si a > b, écrivons que a ≡ b [a − b]. D'après la propriété 6. . . Dans le système décimal : Divisibilité par 2 Un entier naturel est divisible par 2 (autrement dit est pair) si et seulement si son chire des unités est pair (0, 2, 4, 6 ou 8). Divisibilité par 3 Un entier naturel est divisible par 3 si et seulement si la somme de ses chires est divisible par 3. Divisibilité par 4 Un entier naturel est divisible par 4 si et seulement si le nombre formé par ses deux derniers chires est divisible par 4. Divisibilité par 5 Un entier naturel est divisible par 5 si et seulement si son chire des unités est 0 ou 5. Divisibilité par 9 Un entier naturel est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chires est divisible par 9. Divisibilité par 10 Un entier naturel est divisible par 10 si et seulement si son chire des unités est 0. FICHE 4 2 CONGRUENCES Exemple de preuve : le critère de divisibilité par 9 Soit un entier naturel écrit dans le système décimal : n = cp 10p + cp−1 10p−1 + . . . + c1 10 + c0 . 10 ≡ 1 [9] , d'où 10k ≡ 1 [9] pour tout entier naturel k : n ≡ cp +cp−1 +. . .+c1 +c0 [9]. On en déduit le critère déjà cité. En eet : n ≡ 0 [9] sera vériée si et seulement si : cp + cp−1 + . . . + c1 + c0 ≡ 0 [9]. ¨ §Ex ¥ 4.10 ¦ Énoncer et démontrer les critères de divisibilité par 8, 11, 25, 100, 125. ¨ §Ex ¥ 4.11 ¦ Quel est le chire x pour que : 1. le nombre 3x79 soit divisible par 9 ? 2. 12345x soit divisible par 3 ? 3. 351x4 soit divisible par 4 et par 3 ? ¨ §Ex ¥ 9.12 ¦ Déterminer les chires x et y pour que : 1. 43xy soit divisible par 4 et par 5 ? 2. x431y soit divisible par 5 et par 9 ? 3. 28x 75y soit divisible par 8 et par 9 ? FICHE 4 3 CONGRUENCES