Suites numériques Question de logique ! Déterminer le nombre manquant 19 15 11 3 9 27 Introduction - Historique • Dans l’antiquité, on utilisait des méthodes de calculs (algorithmes) permettant d’obtenir une succession de valeurs afin d’approcher un nombre (angle, aire, volume…). On définissait déjà ce que l’on appelle les suites. •Ainsi en Grèce, Archimède (287 à 212 avant JC) connaissait les suites arithmétiques et géométriques. •Un des problèmes utilisant les suites reste célèbre : En 1202, Fibonacci (grand mathématicien du moyen âge) s’intéresse au nombre des descendants que deux lapins peuvent avoir en une année. •Ce n’est qu’à la fin du XVIIIème siècle que les notation indicielles vont être introduite par Lagrange (1736-1813), l’un des premiers professeurs de l’Ecole polytechnique. I - Suites numériques - Généralités Définition : • Une suite numérique est une suite définie sur ou sur une partie de . • à chaque entier naturel n, on associe un nombre réel un. • on dit que l’ensemble des nombre un forme la suite de terme général un. Notation : Cette suite est notée (un). I - Suites numériques - Généralités Une suite peut être déterminée soit • Par la donnée de ses termes successifs • Sous forme fonctionnelle (un en fonction de n) • Sous forme récurrente : un+1 en fonction de un La représentation graphique d’une suite est l’ensemble des points Mn(n;un) Exemples : • • • • un = n u0 =... u1 =... u5 =... c’est la suite des nombres entiers naturels un = 4n + 3 u0 =... u1 =... u5 =... u0 =... u1 =... u5 =... un = 2n + 1 C’est la suite des nombres entiers naturels impairs la suite des inverses des nombres entiers naturels est : 1 1 u1 = 1 u2 = u3 = Donc un =... 2 3 II - Suites arithmétiques (1/8) +5 3 1 +5 8 +5 13 +5 18 … - Définition – Une suite arithmétique est une suite numérique dont chaque terme s’obtient en ajoutant au précédent un nombre réel constant a appelé raison. – Pour tout nombre n de ou *, on a : un +1 = un + a Suites arithmétiques (2/8) Exemples un+1 = un + 5 définit une suite arithmétique. Suite des nombres entiers naturels impairs Remarque : Pour démontrer qu’une suite est arithmétique, il suffit de vérifier que un+1 - un est constant pour tout n ; cette constante est la raison a. Suites arithmétiques (3/8) 2 - Expression du terme un en fonction de a – Démonstration – Exemple d’utilisation : Suite arithmétique de 1er terme u0 = 3 et de raison a = 2 Calculer u10 et u12 Suites arithmétiques (4/8) Théorème : – Pour une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison a, on a : u n = u0 + na – Pour une suite arithmétique de premier terme u1 et de raison a, on a : u n = u1 + (n − 1)a – Pour une suite arithmétique de premier terme up et de raison a, on a : u n = u p + (n − p )a Suites arithmétiques (5/8) 3 - Représentation graphique sous la forme (n;un) d'une suite arithmétique de raison a et de premier terme u0. 8 6 4 Paramètres u0 = 7 a = -2 2 0 -2 0 -4 -6 -8 -10 -12 2 4 6 8 10 Suites arithmétiques (6/8) Application • Représentation de la suite arithmétique 1er terme u0=3 et de raison a=2 • Représentation de la suite arithmétique 1er terme v0=5 et de raison a=0 • Représentation de la suite arithmétique 1er terme w0=10 et de raison a=-1,5 0 un vn wn 1 2 3 4 5 Suites arithmétiques (7/8) 25 20 15 10 5 0 0 -5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Suites arithmétiques (8/8) La représentation graphique de la suite arithmétique de premier terme u0 et de raison a est constituée des points de la droite d’équation y=ax+ u0 (son coefficient directeur est a) – Si a>0, la droite est croissante (croissance linéaire) – Si a<0, la droite est décroissante (décroissance linéaire) Réciproquement, si les points représentant une suite sont des points alignés, alors la suite est arithmétique III - Suites géométriques (1/8) 1 - Définition – Une suite géométrique est une suite numérique dont chaque terme s’obtient en multipliant au précédent un nombre réel constant b appelé raison. – Pour tout nombre n de ou *, on a : un +1 = bun Suites géométriques (2/8) Exemples un+1 = un x 5 définit une suite géométrique. Remarque : Pour démontrer qu’une suite est géométrique, il suffit de vérifier que un +1 un est constant pour tout n ; cette constante est la raison b. Suites géométriques (3/8) 2 - Expression du terme un en fonction de b – Démonstration – Exemple d’utilisation : Suite géométrique de 1er terme u0 =2 et de raison a = 1,3 Calculer u10 et u12 Suites géométriques (4/8) Théorème : – Pour une suite géométrique de premier terme u0 et de raison b, on a : n n 0 u = u ⋅b – Pour une suite géométrique de premier terme u1 et de raison b, on a : n −1 n 1 u = u ⋅b – Pour une suite géométrique de premier terme up et de raison b, on a : n− p n p u = u ⋅b Suites géométriques (5/8) 3 - Représentation graphique sous la forme (n;un) d'une suite géométrique de raison b et de premier terme u0. 30 25 20 15 Paramètres 10 u0 = 2 5 b = 1,3 0 0 2 4 6 8 10 Suites géométriques (6/8) Application • Représentation de la suite géométrique 1er terme u0=0,5 et de raison b=2 • Représentation de la suite géométrique 1er terme v0=5 et de raison b=1 • Représentation de la suite géométrique 1er terme w0=12 et de raison b=0,8 0 un vn wn 1 2 3 4 5 Suites géométriques (7/8) 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 0 1 2 3 4 5 6 Suites géométriques (8/8) La représentation graphique de la suite géométrique de premier terme et de raison b est constituée des points qui sont situés sur une courbe exponentielle ; cette courbe n’est pas une droite. • Si b>1 , cette courbe est croissante (croissance exponentielle). • Si 0<b<1 , cette courbe est décroissante (décroissance exponentielle). • Lorsque b=1, tous les points de coordonnées (n;un) sont situés sur une droite horizontale (tous les termes sont égaux au terme initial)