Intro Recherche Opérationnelle Corrigé 11: Diviseur Dr. Rudolf Riedi HTA-FR, 2016-17 1. Déterminer la décomposition en facteurs premiers des nombres 4027 et 4087. √ La racine de 4087 est 4087 = 63.93. Il faut, alors, cherche des facteurs premiers jusqu’à 63 seulement. Les facteurs premiers plus grands que 63 vont sortir automatiquement. Ces nombres premiers sont: 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 On trouve qu’aucune de ces nombres divise 4027, alors 4027 est premier et ces facteurs sont: 4027=4027. On trouve que parmi ces nombres seulement 61 divise 4087. On trouve 4097/61=67. 67 est premier. Les facteurs premier de 4087 sont alors: 4087=61*67. 2. Calculer pgdc(987, 517) à l’aide de l’énumération des diviseurs, puis à l’aide de l’algorithme d’Euclide. On trouve rapidement, que 3 et 7 sont des diviseurs de 987. On calcule 987/21=47, un nombre premier. Alors, 987 = 3 · 7 · 47. On trouve rapidement, que 11 est un diviseur de 517. Par division, 517/11=47. Alors, 517 = 11 · 47. L’algorithme d’Euclide brèvement: 987-517=470; 517-470=47; le pgdc de 470 et 47 est clairement 47. 3. Calculer à l’aide de l’algorithme d’Euclide le pgcd des nombres a et b suivants: (a) a = 1233, b = 9999; (b) a = 12345, b = 54321. Voir 3. 4. Trouver les nombres premiers parmi les nombres suivants: a = 401; premier b = 559; 13 · 43 c = 643. premier Les nombres premier à essayer comme facteur sont 2 3 5 7 11 13 17 19 23 parce que 292 = (30 − 1)2 = 900 − 2 · 30 + 1 = 841 est déjà plus grand que 643. 5. Calculer les nombres s et t tels que s · a + t · b = pgcd(a, b), avec les nombres a et b suivants: (a) a = 72, b = 39; (b) a = 1993, b = 210. Ensuite, trouver une solution des équations Diophantines suivantes ax + by = 15 dans les deux cas. (a) a = 72, b = 39; Euklid: u v -------------------------(1) 72 1 0 (2) 39 0 1 (1)-(2) 33 1 -1 (2)-(3) 6 -1 2 (3)-5*(4) 3 6 -11 -------------------------- Alors, le pgdc vaut 3, comme on voit facilement. On obtient aussi que pgdc(72, 39) = 3 = 6 ∗ 72 − 11 ∗ 39 (Test: 6*72=432, 11*39=429) L’équation est 72x + 39y = 15 Comme 15 est un multiple du pgdc, l’équation possède une solution. On l’obtient en multipliant le décomposition donnée par l’algo de Euclid étendu par 5. (15/pgdc(72,39)=15/3=5). On trouve 3 ∗ 5 = 6 ∗ 5 ∗ 72 − 11 ∗ 5 ∗ 39 alors 15 = 30 ∗ 72 − 55 ∗ 39 et la solution x = 39, y = −55. (b) a = 1993, b = 210. Similaire. On voit rapidement, que l’équation n’a pas de solution parce que 15 est un multiple de 3,5 et 15 seulement, et ni 3, ni 5 sont des facteurs communs de a et b. Alors, 15 est certainement pas un multiple de pgdc(a,b), et il n’y a pas de solution. Calcul du pgdc avec Euler comme avant. 2