Obstruction et transgression cofiomologique - ETH E

Thèse
no
3841
Obstruction et transgression
cofiomologique
dans les espaces fibres
THESE
présentée
à l'École
polytechnique fédérale,
Zurich
pour l'obtention du
grade de
Docteur es sciences
mathématiques
par
FRANÇOIS SIGRIST
math.
né le
de Rafz
acceptée
sur
2
dipl.
EPF
février 1940
(Canton de Zurich)
proposition
du rapporteur: professeur B. Eckmann
du corapporteur: professeur K. Voss
Juris Druck + Verlag Zurich
1967
1
INTRODUCTION.
travail
Ce
à
l'obstruction
entre
l'étude de la relation qui existe
a
d'un
section
une
fibre d'une part,
espace
transgression d'un élément transgressif
la
et
consacré
est
de
fibre
la
d'autre
part.
Dans
espaces
fibration
p
E
:
les
(U.)
X
compatibilité usuelles;
homéomorphismes
des
Rappelons
base
la
X
au-dessus
s
est
des
X
à
s
obstruction que
une
système
le
fibre
soit
trivialement
La
eu
(s)
C
«
de
a
à
la
(x;{t(
X
produit
,
,
p
:
tout
E
-»
(F).
k
cet
on
est
diagramme
:
X
X
-*
de
X
les
k
E
,
dans
valeurs
groupes
local,
la
de
le
grandeur
une
à
section
rencontre
E
-*
par
c'est-a-dire
cochaîne
s'effectue
petit
il
que
7t
(F)
7t
faut
exiger
(F)
opère
de
Par
d'obstruction
ainsi:
pour
restreinte
d'homotopie
p
l'aide
de
au
bord
(s)
on
note
(a )
la
un
soit
simplexe
homéomorphe
décomposition
la
de
l'image sphérique
ou
considère
on
que
a
,
sur
obtenue
la
en
fibre;
fournit
un
cochaîne qui à chaque
élément.
sait,
adaptée
X
})
section,
la
associe
Comme
(F)
:
système
Lorsque
la
croissante
s
formé par
un
projette alors, à
on
élément de
fibres,
_.
groupe
.
la
suffisamment
;
classe
a
(F)
de
s
identité.
=
dimension
locaux
bien
de
c'est
section:
construire
a
n-cochaîne
(n-1)-simple,
it
sur
ps
partielle
une
soit
construction
xF
a
c'est
{k _.(F)j
que
la
que
d'une
peut caractériser
coefficients
de
de
application
une
l'on
algébrique précise:
Pour
X
section
une
que
cherche
on
(k)
le
alors
est
telle
[9].
telle
,
{uif
F
conditions
les
avec
,
l'existence
de
polyèdre,
xF
structural
groupe
E
-*
U.
a
fibre
de
d'ouverts
famille
une
fibre
la
squelettes
de
prolongement
de
:
un
Connaissant
base.
le
problème
le
application
une
par
homéomorphe
soit
de
application
Une
triviale,
localement
des
notion
la
est
("fiber bundle").
fibration
peut recouvrir
p
première
La
triviale
appelée
est
définitions habituelles
deux
interviennent.
localement
X
-*
l'on
si
que
travail,
ce
fibres
à
une
il
des
existe
une
autre
définition des
questions d'homotopie.
fibration
commutatif
avec
Une
espaces
application
"relèvement des homotopies"
si
peut être complété
Dans
la
plupart des
propriété
la
une
de
fibration
triviale.
diagramme commutatif
un
une
cas,
fibration
triviales
système
grand
un
fibrations
les
images
la
inverses
a
résultat,
ici
Jt
groupes
base,
_.
des
mentionné
cas
la
généralisation
de
la
Il
s'agit
explicite pour
procédé
de
fibre
se
que
général,
localement
fibrations
des
consacré
I
est
la
notion
la
peut
est
Si
classique
Il
système
un
soient
le
pour
homo¬
le
que
local
alors
système
sur
(n-1)-simples.
localement
cas
est
sont
démontrer
effet
en
bien
appelle fibres
(elles
base
encore
fibres
on
Ce
trivial,
possible
complètement homotopique,
notion
la
résume
de
général.
possède
de
est
donner
définition classique de l'obstruction.
définition
comme
(n-1)-simple,
commutatif
les
que
ci-dessus
le
Le
on
fibres
dans
d'une
en
s'adapte particulièrement
locaux
points
des
condition
démontré
chapitre
Le
particulier,
définies homotopiquement.
topiquement équivalentes),
des
en
propriétés
de
nombre
conservé.
est
coefficients
de
aux
[9],
mais
relèvement des homotopies n'est pas
avec
quelques-unes d'entre elles;
de
triviale
localement
relèvement des homotopies
Cependant,
localement
à
en
et
d'applications
demeure
en
soit
:
E
X
polyèdre.
A
un
p
continues
.(n-1)
.(n)
classique
suit:
->
E
-*
B
-»
B
tout
un
une
et
cas
suffisamment
particulier.
fibration,
diagramme
3
peut associer
on
construction
relèvement
g
inclusion
=
induit
met
ne
des
n-cochaîne de
une
|n _1(F)|
local
jeu
en
X
sur
homotopies.
Le
X
s
X
-+
,
par
l'application
triangulation
la
que
à valeurs dans
X
particulier
cas
X(n"1}
S-
partielle
X
cochaîne
une
Si
calcul
au
sens
l'on
de
de
lui
la
la
(X;{tc
C
s
est,
section
directement
ainsi
est
un
autre
obtenue
conserve
si
la
seulement
et
homotopique,
en
il
est
possible
algébrique
des
groupes
avantage:
chapitre
le
III
consacré.
Nous
considérons
extraordinaire
ce
un
l'obstruction
extensible
formalisme
le
triviale,
d'homotopie généralisés d'ECKMANN-HILTON, auxquels
est
appelons
nous
que
effet,
en
définition
Cette
généralité, présente
appliquer
M
localement
co(s)
que
la
.(F)
.
fibration
nulle.
est
E:
-»
yX
généralisation
La
fondamentale:
l'obstruction
plus
io(s)
montre
classique.
,
*E
2
section
suppose
explicite
propriété
si
la
le
et
X
=
P
x<n>
fournit
système
cette
;
X
B
D
obstruction de
g
de
ou
section
=
le
qui
h
n'est pas
appliquer
le
;
une
nous
suite
la
dans
la
supposons
restriction
formalisme
homotopique
dimension
finie,
"calculer
approximativement"
ordinaire
h
(X).
Cette
E^'n
E?'"
E'11
œ
existe
les
suite
et
pour
suite
une
celui
un
groupes
de
spectrale
se
Cn(x; hm-n(So))
=
H^X; hm-n(S0))
Ghm(X).
«n
donnée
cohomologie
de
homotopiquement,
[4].
des
On
polyèdre
lui
peut
suites
X
spectrales.
,
de
spectrale permettant
=
=
théorie
essentielle
Rappelons le résultat fondamental:
il
une
cohomologie
présente
de
extra¬
ainsi:
4
dans
le
h"
h
le
est
C
le
X.
X
cohomologie extraordinaire de
la
Algébriquement,
cohomologie simpliciale
filtration
une
est
G
de
de
groupe
possède
(X)
de
de
groupe
est
groupe
ce
résultat
approximation
h
(X)
la
crucial
point
convergence
des
groupe
est
de
commutatif
S
.
groupe
filtration.
cette
ainsi:
à
possible
est
l'aide
de
de
donner
spectrale mène de
suite
H
la
une
à
(X)
gradué.
et
suite
spectrale.
d'homotopie
classes
Le
description homotopique détaillée
une
la
il
sphère
X.
l'interprétation homotopique domine;
travail,
ce
la
filtré
convenablement
Dans
le
h*(X);
de
à coefficients
,
décomposition squelettique
s'interprète
H*(X),
cohomologie simpliciale
à la
due
gradué associé à
le
de
simpliciales
cochaînes
des
groupe
de
intervient
'
E
paires d'applications
de
comme
rendant
diagramme
le
,(n-l)_
(a)
-»EB_
jn
M)
Ce
groupe
est,
l'isomorphisme
au
chapitre
donc
type
a
(a)
de
la
annulés
'
E
E
'
fourni
est
isomorphe à
B_
C
(X;
directement par
(SQ)),
h
le
et
procédé
décrit
I.
L'examen
de
effet,
en
-*
)
convergence montre
toutes
par
sont
de
plus que
différentielles
explicitement donnés
décomposables
(b)
les
par
les
(aboutissant
les
diagrammes
en
.(n-1)
_L_> xCn-l)
-»
EB
m
,(n)
'n+1
-*
X
éléments
-»
B
de
5
dernier
le
Dans
on
considère
En
décomposant
chapitre,
qui
est
synthèse
une
des
précédents,
diagramme
le
le
diagramme
(d)
constate:
on
interprété
i
cochaîne,
comme
est
i
l'obstruction
i
(e)
est
un
élément
relative
(f)
est
un
résultats
sont
un
élément
la
base.
transgressif
de
la
avec
(p)
h
suite
la
notion
-i
E
et
sa
de
et
spectrale.
à
fournit
fois
la
transgression
propriétés
ces
'
annule
,
transgression
de
(e)
dans
fibre
la
s.
dans
fournit
le
transgression-obstruction:
de
transgressif
|tt
,,m/n
différentielles,
les
toutes
section
cohomologie
la
élément de
interprétation adéquate
Une
Théorème
:
combinés
l'élément de
cohomologique:
f"
de
la
(p).
h
traverse
alors
(s)
de
o
par
Ces
u>
F
B
-*
(F)
locaux
}
_.
-•
lit
affaiblit
de
.
cohomologie
f"
induit
(B
it
.
la
(F)
}
_.
en
)
transforme
système
un
l'obstruction
m
(s)
e
homomorphisme de coefficients,
qui
traverse
de
f",
la
changée
suite
de
spectrale
signe.
considère
le
on
(X;
{k
obtient
pour
(S
h
_.
(F)
un
aboutir
par
coefficients
système
constant
C
élément
un
représenté
homomorphisme de
un
qui
On
(F),
h
})
de
coefficients
)
Si
.
par
élément
à
la
l'on
cet
de
E
'
transgression
6
La
démonstration
de
la
consiste
de
convergence
l'obstruction
de
que
ment
liées.
Comme
deux
1)
théorème
Le
struction
de
est
qui
en
première
la
égale,
plus général
théorème
un
point
de
départ
supérieure
tout
notion
Une
par
BARCUS.
est
due
qui
relie
pour
le
ob¬
(en
de
fibre.
la
constitua
le
l'obstruction
point
et
(par
pour
HILTON
avec
départ
de
Oxford
valable
ECKMANN
fibration
une
décrite
[Quart.J.Math.
à
première
cohomologie ordinaire.
celle
plus générale
encore
arbitraires
re¬
on
transgression
fondamentale
constitue
à
étroite¬
sont
général
La
la
[3],
il
en
d'obstruction
équivalente
à
classe
transgression
de
que
premières approches:
les
étude;
notre
l'autre,
obstruction:
la
et
l'hypothèse
Sous
de
d'ECKMANN
homotopies qui
est
différent)
cations
de
la
générale
des
travail
notre
et
notion
La
relèvement
de
(c)
démontre donc
résultat
du
signe près,
au
cohomologie ordinaire)
2)
furent
diagramme
transgression cohomologique,
l'une
particuliers
cas
on
la
et
indépendamment
énoncés
trouve
spectrale.
partielle,
section
cette
définies
bien
étude du
une
suite
la
section
d'une
l'existence
en
5,
des
(pas
de
procédé
un
150
(1954)].
appli¬
encore
publiée).
L'auteur
à
qui
sation
il
doit
tient
à
l'idée
enrichissante.
remercier
de
ce
ici
travail,
le
professeur
ainsi
que
B.
mainte
Eckmann,
conver¬