Devoir de Sciences-Physiques Ephémérides I. Exploitation des courbes publiées par la revue 5 y en 10 km y C Callisto y G Ganymède 15 y E Europe 10 L’ y I Io 5 M’ K’ 0 -5 N’ -10 -15 t en jours 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1. 2. Le couple L' et N' (ou K' et M') correspond à une demi période d'Europe soit 1,75j d'où T = 2×(tL' - tN') = 2×1,75 = 3,5j. 3. Le couple L' et N' permet de déterminer le diamètre de la trajectoire d'Europe : yL' - yN' = 1,4.106 km 4. Le satellite le plus proche de Jupiter est Io (courbe ayant l'amplitude la plus faible, donc rayon de la trajectoire le plus faible). Le satellite ayant la plus grande période est Callisto. uur uN II. Détermination de la masse de Jupiter 1. Système : {satellite} étudié dans le référentiel "Jupiterocentrique" considéré galiléen (solide imaginaire constitué par le centre de Jupiter et 3 directions uuur d'étoiles lointaines). u JS Satellite Bilan des forces extérieures : force gravitationnelle exercée par Jupiter uuur uuur J m.M uuur FJ / S avec FJ / S = −G 2 u JS r uuur Jupiter avec u JS vecteur unitaire dirigé de J vers S, G constante de gravitation universelle, r rayon de la trajectoire et M masse de Jupiter. r v 2 uur v 2 uuur 2. L'accélération d'un satellite à mouvement circulaire uniforme a pour expression : a = u N = − u JS Œ r r uuur r D'après la deuxième loi de Newton appliquée au satellite : ΣFext = m.a uuur r r m.M uuur M uuur v2 M GM d'où : FJ / S = −G 2 u JS = m.a et a = −G 2 u JS • En identifiant Œ et • : = G 2 d'où v = Ž r r r r r 3. Le satellite le plus rapide est le plus proche de Jupiter car d'après Ž si r diminue alors v augmente. La vitesse d'un satellite ne dépend pas de sa masse (m n'intervient pas dans la relation Ž), il n'est pas possible de choisir entre le plus léger et le plus lourd. 4. La période T est la durée nécessaire au satellite pour faire un tour dans le référentiel d'étude. uuur FJ / S T= circonférence de l 'orbite 2πr r r3 = = 2πr = 2π vitesse v GM GM 5. En élevant au carré : T 2 = 4π2 T 2 4π2 r3 d'où 3 = • (3ème loi de Kepler) : il y a proportionnalité entre T2 et r3. GM r GM 6. a. La courbe est une droite qui passe par O : la troisième loi de Kepler est bien vérifiée car il y a proportionnalité entre T2 et r3 : 4π² 4π2 b. T2 = k × r3 avec k = 3.10-16 s2.m-3 d'après l'énoncé soit T2 / r3 = k or d'après • k = d'où M = GM G.k 4.10 4 10 4 4 = = ×10 ×1026 = 1027 = 1,3.1027 kg ≈ 1027 kg 10−10 × 3.10−16 3 10−26 3 3 L'ordre de grandeur (puissance de 10 la plus proche) de la masse de Jupiter est de 1027kg. En fait, la masse exacte de Jupiter est de 1,90.1027kg. A.N. : M ≈ DS49#COR.doc