Q1 – PGCD (cours + exercices) PGCD Notions de diviseurs et multiples Définition : On dit que est un diviseur de si le reste de la division euclidienne de par est égale à 0. On dit aussi que est un multiple de . Exemple: 6 × 7 = 42 6et7sontdesdiviseursde42 et 42estunmultiplede6etde7 Exercices d’application Exercice 1 : Déterminer dans chacune des opérations suivantes, quel est le multiple et quel est le diviseur. )25 × 2 = 50 )4 × 16 = 64 )48 ÷ 8 = 6 56 =4 14 ")7 × 11 = 77 !) Exercice 2 : Vrai ou Faux. Justifier vos réponses )8estundiviseurde192 ')9estdivisiblepar27 )65estunmultiplede9 ()42estunmultiplede6 )4estdivisiblepar8 ℎ)5estundiviseurde25 !)18estdivisiblepar6 *)52estdivisiblepar13 ")3estunmultiplede18 +)64estundiviseurde8 Exercice 3 : Déterminer si les nombres suivants sont divisibles par 2, 3, 4, 5, 6, 9 et 10. Méthode : Un nombre est divisible par 2 s’il est pair (= s’il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8) Un nombre est divisible par 3 si la somme de ces chiffres est divisible par 3 Un nombre est divisible par 4 si le nombre formé par ces deux derniers chiffres est divisible par 4 Un nombre est divisible par 5 s’il se termine par 0 ou 5 Un nombre est divisible par 6 s’il est divisible à la fois par 2 et par 3 Un nombre est divisible par 9 si la somme de ces chiffres est divisible par 9 Un nombre est divisible par 10 s’il se termine par 0 www.famillefutee.com 1 Q1 – PGCD (cours + exercices) 2 3 4 5 6 9 10 63 147 4 212 2 584 6 755 5 813 1 460 177 Nombres premiers Définition 1 : On dit qu’un nombre est premier s’il n’est divisible que par 1 et lui-même. Exemple: 7estunnombrepremiercar7estuniquementdivisiblepar1etpar7 Définition 2 : On dit que deux nombres premiers entre eux lorsque leur plus grand diviseur commun est égal à 1. Exemple: Lesnombres18et11sontpremiersenbtreeux. En effet : - les diviseurs de 18 sont : 1, 2, 3, 6, 9, 18 - les diviseurs de 11 sont : 1, 11 Le plus grand diviseur qu’ils aient en commun est 1. Contre-exemple : Les nombres 18 et 12 ne sont pas premiers entre eux. Pourquoi ? - les diviseurs de 18 sont : 1, 2, 3, 6, 9, 18 - les diviseurs de 12 sont : 1, 2, 3, 4, 6 et 12 Le plus grand diviseur qu’ils aient en commun est 6 (≠ 1). Exercices d’application Exercice 4 : Déterminer tous les diviseurs des nombres suivants et déduisez-en s’ils sont premiers ou non. a) 35 b) 41 www.famillefutee.com c) 292 d) 139 e) 16 f) 39 g) 461 2 Q1 – PGCD (cours + exercices) Exercice 5 : Les nombres suivants sont-ils premiers entre eux ? Justifier. a) 15 et 33 b) 67 et 13 c) 40 et 28 d) 147 et 12 Fractions irréductibles Définition ∶ Onditquelafraction estirréductiblelorsqueetsontpremiersentre eux. Exemple: 13 estunefractionirréductible. 17 Méthode : On obtient une fraction irréductible lorsque l’on divise le numérateur et le dénominateur par leur plus grand diviseur commun. Exercices d’application Exercice 6 : Déterminer la fraction irréductible des fractions suivantes. ) 48 18 www.famillefutee.com ) 243 15 ) 130 78 3 Q1 – PGCD (cours + exercices) 4 CORRECTION Exercice 1 : )25 × 2 = 50 25 et 2 sont les diviseurs de 50 50 est le multiple de 25 et 2 )48 ÷ 8 = 6 L’opération peut s’écrire :8 × 6 = 48 8 et 6 sont les diviseurs de 48 48 est le multiple de 8 et 6 )4 × 16 = 64 4 et 16 sont les diviseurs de 64 64 est le multiple de 4 et 16 56 =4 14 L’opération peut s’écrire :14 × 4 = 56 14 et 4 sont les diviseurs de 56 56 est le multiple de 14 et 4 !) ")7 × 11 = 77 7 et 11 sont les diviseurs de 77 77 est le multiple de 7 et 11 Exercice 2 : )8estundiviseurde192 Vrai car 8 × 24 = 192 )65estunmultiplede9 Faux car 65 ÷ 9 = 7,22 )4estdivisiblepar8 Faux car 8estdivisiblepar4 Ici 4 est un diviseur de 8 !)18estdivisiblepar6 Vrai car 18 ÷ 6 = 3 ")3estunmultiplede18 Faux car 3 est un diviseur de 18 ')9estdivisiblepar27 Faux car 9 est un diviseur de 27 () 42 est un multiple de 6 Vrai car 6 × 7 = 42 ℎ)5estundiviseurde25 Vrai car 5 × 5 = 25 *)52estdivisiblepar13 Vrai car 52 ÷ 13 = 4 +)64estundiviseurde8 Faux car 8 est un diviseur de 64 www.famillefutee.com Q1 – PGCD (cours + exercices) Exercice 3 : 2 3 4 5 6 9 10 63 147 4 212 2 584 6 755 5 813 1 460 177 Exercice 4 : a) 35 est divisible par : 1, 5, 7, 35 35 n’est pas un nombre premier b) 41 est divisible par : 1, 41 42 est un nombre premier c) 292 est divisible par : 1, 2, 4, 73, 146, 292 292 n’est pas un nombre premier d) 139 est divisible par : 1, 139 139 est un nombre premier e) 16 est divisible par : 1, 2, 4, 16 16 n’est pas un nombre premier f) 39 est divisible par : 1, 3, 13, 39 39 n’est pas un nombre premier g) 461 est divisible par : 1, 461 461 est un nombre premier Exercice 5 : a) 15 et 33 15 est divisible par 1, 3, 5, 15 33 est divisible par 1, 3, 11, 33 Leur plus grand diviseur commun est 3 donc 15 et 33 ne sont pas premiers entre eux. b) 67 et 13 67 est divisible par 1, 67 13 est divisible par 1, 13 Leur plus grand diviseur commun est 1 donc 67 et 13 sont premiers entre eux. c) 40 et 28 40 est divisible par 1, 2, 4, 10, 40 28 est divisible par 1, 2, 4, 7, 14, 28 Leur plus grand diviseur commun est 4 donc 40 et 28 ne sont pas premiers entre eux. d) 147 et 12 147 est divisible par 1, 3, 49, 147 12 est divisible par 1, 2, 3, 4, 6, 12 Leur plus grand diviseur commun est 3 donc 147 et 12 ne sont pas premiers entre eux. www.famillefutee.com 5 Q1 – PGCD (cours + exercices) Exercice 6 : 48 ) 18 48 est divisible par 1, 2, 3, 6, 8, 16, 24, 48 18 est divisible par 1, 2, 3, 6, 9, 18 Leur plus grand diviseur commun est 6 48 48 ÷ = > = = 18 18 ÷ = ? ) 130 78 130 est divisible par 1, 2, 5, 10, 13, 130 78 est divisible par 1, 2, 3, 26, 39, 78 Leur plus grand diviseur commun est 2 130 130 ÷ B =A = = 78 78 ÷ B ?C www.famillefutee.com 6 ) 243 15 243 est divisible par 1, 3, 9, 27, 81, 243 13=5 est divisible par 1, 3, 5, 15 Leur plus grand diviseur commun est 3 243 243 ÷ ? >@ = = A 15 ÷ ? 15