Université Pierre & Marie Curie UE 3M245 – Probabilités élémentaires Licence de Mathématiques L3 Année 2016–2017 TD2. Probabilités sur un ensemble dénombrable. 1. a. Soit (Ω, F , P) un espace de probabilités. Soit n ≥ 1. Soient A1 , . . . , An des événements. Montrer que P(A1 ∪ . . . ∪ An ) = n X (−1)k−1 k=1 X P (Ai1 ∩ . . . ∩ Aik ) . 1≤i1 <...<ik ≤n C’est la formule d’inclusion-exclusion. b. En appliquant cette formule à un espace de probabilités et à des événements bien choisis, calculer le nombre de surjections de {1, . . . , p} dans {1, . . . , n} pour tous n et p entiers. 2. Dans une grande assemblée, on demande à chaque personne d’écrire son nom sur un bout de papier et de le mettre dans un chapeau. On agite le chapeau puis chacun tire un bout de papier (sans le remettre). Quelle est la probabilité que personne ne tire le bout de papier portant son propre nom ? 3. Paradoxe des anniversaires a) Quelle est la probabilité pour que parmi N personnes, au moins 2 aient la même date d’anniversaire ? b) Pour quelle valeur de N cette probabilité est-elle supérieure à 1/2 ? (On négligera l’existence du 29 février ) 4. On tire deux cartes d’un jeu de 32. a) Quelle est la probabilité d’obtenir une paire ? b) Si l’on n’a pas obtenu une paire, on a le choix entre jeter l’une des deux cartes tirées et en retirer une parmi les 30 restantes, ou jeter les deux cartes tirées et en retirer deux parmi les 30 restantes. Quelle stratégie donne la plus grande probabilité d’avoir une paire à la fin ? 1 5. On considère un jeu de pile ou face infini. a) Soit n ≥ 0 un entier. Calculer la probabilité que le premier temps auquel on obtient pile soit le temps n. b) Soit k ≥ 1 un entier. Calculer la probabilité que le k-ième temps auquel on obtient pile soit le temps n. 6. On lance un dé tétraédral dont les faces sont numérotées de 1 à 4 et un dé octaédral dont les faces sont numérotées de 1 à 8. a) Calculer la loi de la somme S. b) Du produit P . c) Du plus grand M des deux nombres obtenus. 7. Soient X, Y, Z trois variables aléatoires à valeurs dans N. On suppose que X et Y ont même loi. Soit f : N → N une fonction. a) Est-il vrai que f (X) et f (Y ) ont même loi ? b) Est-il vrai que X + Z et Y + Z ont même loi ? 8. Un chimpanzé tape à la machine à écrire en appuyant chaque seconde sur une touche choisie au hasard. Quelle est la probabilité qu’il parvienne à écrire Hamlet, c’est-à-dire qu’à un certain moment il écrive d’une traite le texte de cette pièce ? 9. On cherche à montrer qu’il n’existe pas de probabilité sur N telle que pour tout k ∈ N, P(Ak ) = k1 , où Ak = kN. On suppose l’existence d’une telle probabilité. a) Montrer que deux événements Ap et Aq sont indépendants si et seulement si p et q sont premiers entre eux. b) On définit l’évènement B := {n ∈ N/n appartient à une infinité de Ap avec p premier}. On admettra que la série des inverses des nombres premiers diverge. Montrer que B est vide et de probabilité 1. Conclure. 2