Des critères gagnants

Présentation | 1.3 Des critères gagnants
1.3 Des critères gagnants
Étant donné les connaissances et les compétences nécessaires à la
réalisation de cette activité, celle-ci est suggérée pour la 1re année
du premier cycle.
Comme les élèves ont pu le voir dans Show Math, la sécurité de cer-
tains systèmes de cryptage est liée à la factorisation des nombres.
Dans cette activité, les élèves pourront manipuler différents critères
de divisibilité dont certains ne sont pas au programme. Cette activi-
té leur permettra d’approfondir leur compréhension de ce sujet. En-
fin, ils pourront mieux apprécier l’utilité de cet outil mathématique.
L’activité donne également l’occasion de faire des conjectures.
Intentions pédagogiques
• Montrer aux élèves d’où viennent les critères de divisibilité
• Leur faire comprendre pourquoi ils fonctionnent
• Approfondir leur connaissance des critères de divisibilités et leur en
faire découvrir de nouveaux
• Permettre aux élèves de manipuler les différents critères afin de les
apprivoiser et se les approprier
Forme de la production attendue
• Réponses courtes et justifications
Concepts utilisés
• Opérations sur les entiers
• Critères de divisibilité
• Factorisation d’un nombre
Ressources matérielles
• Aucune

Présentation | 1.3 Des critères gagnants
Préparation
• Cette activité peut être vécue sans avoir vu directement les critères
de divisibilité en classe.
• Avant de commencer, il pourrait être de mise de rappeler ce qu’est
un diviseur d’un nombre.
Réalisation
• L’ensemble de l’activité peut se vivre de façon individuelle. Toute-
fois, on conseille de faire des retours en grand groupe à la fin de
chacune des parties afin de valider le travail des élèves.
• La première partie cherche à tirer profit des connaissances déjà ac-
quises des élèves. Toutefois, on conseille de ne pas laisser les jeunes
travailler individuellement trop longtemps.
• Dans la deuxième partie, les élèves vont découvrir d’où viennent
les critères de divisibilité par 3 et par 4. Ces critères sont beaucoup
moins intuitifs que les critères par 2, 5 ou 10 et cette partie permet-
tra de les démystifier.
• Dans le cas du critère de divisibilité par 3, il est important que les élèves
comprennent qu’il faut aussi montrer que les nombres dont la somme
des chiffres n’est pas divisible par 3 ne sont pas divisibles par 3.
• La troisième partie fera voir qu’on peut appliquer le critère par 3 et
par 9 de façon répétitive pour les très grands nombres.
• Les élèves devront former tous les nombres possibles qui sont divi-
sibles par 3 ou par 9 avec certains chiffres. Cela leur permettra de
voir que si 123 est divisible par 3, alors tous les nombres formés avec
les chiffres 1-2-3 sont également divisibles par 3.
• Dans la quatrième partie, on montre deux critères de divisibilité pour
7, alors que, dans la cinquième partie, on montre un critère pour 11.
• La sixième partie permet à l’élève d’utiliser les critères de divisibi-
lité pour déterminer si oui ou non le quotient est entier.
Intégration
• Dans la partie « Curieux », les élèves pourront avoir besoin d’un peu
d’accompagnement pour comprendre les directives. Cette partie
peut faire l’objet d’une différenciation puisqu’elle est plus complexe.
• Dans la dernière partie, les élèves doivent trouver le reste de la di-
vision pour déterminer le chemin qu’ils doivent prendre. Ils peuvent
fonctionner sans l’aide des critères, mais ils devraient rapidement
s’apercevoir qu’il est beaucoup plus rapide de les utiliser.
• Le dernier problème permet enfin de vérifier la compréhension
des critères.
Commentaires sur l’activité
Pistes de différenciation
• Il serait intéressant que les élèves
vérifient s’il est important que,
dans le cas du critère de divisi-
bilité par 7 ou par 11, lorsqu’on
intercale des + et des – entre les
chiffres du nombre, l’on com-
mence par un + ou par un -.
Annexes
• Des_criteres_gagnants_annexe1 :
Dans cette annexe est présenté
un autre petit truc pour le critère
de divisibilité par 3. Les élèves
qui démontrent de l’intérêt pour
l’activité pourraient l’apprécier
puisqu’il permet de gagner en
efficacité.
• Des_criteres_gagnants_
corrigé_annexe1 : Dans cette
annexe est présenté le corrigé
de l’annexe 1.

Cahier de l’élève | 1.3 Des critères gagnants | 1
1.3 Des critères gagnants
Tu organises une réception pour ton bal
de finissants et tu invites 349 personnes.
Peux-tu les faire asseoir à des tables
de 7 sans qu’il n’y en ait d’incomplètes?
Comment le savoir si tu n’as pas ta cal-
culatrice sous la main ? Il existe différen-
tes méthodes permettant de déterminer si
un nombre est divisible par un autre. Allez,
viens découvrir quels sont les trucs !
Lors de Show Math, vous avez vu l’utilité de crypter certains mes-
sages afin de s’assurer que leur contenu ne pourra être lu que par
le destinataire de l’envoi. La difficulté de trouver des facteurs pour
les grands nombres procure un moyen très sécuritaire d’assurer la
protection de renseignements personnels lors des communications,
via Internet par exemple.
Notre capacité de factoriser un nombre est intimement liée à celle
de détecter si un nombre est divisible par un autre. Venez découvrir
quelques-unes de ces méthodes qui, comme vous le verrez, per-
mettent de gagner beaucoup de temps et d’efficacité.
Nom : _________________________________________________________
Il ne faut pas oublier que les grands
nombres utilisés en cryptographie
doivent avoir plus de 100 chiffres
pour être sécuritaires ! Nous n’uti-
liserons pas de si grands nombres
dans notre activité !

2 | Cahier de l’élève | 1.3 Des critères gagnants
Partie 1 : Les critères
de divisibilité
1.
Vous connaissez certainement des méthodes ou des trucs qui
permettent de dire si un nombre est divisible par un autre.
a) Complétez le tableau suivant pour les méthodes que vous
connaissez déjà.
Divisible
par Méthode Exemple
2 Si le nombre est pair, alors il est divisible par 2. 12345566 est divisible par 2, car ce nombre
est pair.
3
4
5
6
8
9
10
12
25

Cahier de l’élève | 1.3 Des critères gagnants | 3
Connais-tu la différence entre un
nombre et un chiffre ? On peut
dire que les nombres sont com-
me des mots et que les chiffres
sont comme les lettres qui les
composent !
Partie 2 : D’où viennent
les critères ?
Il est parfois très facile de comprendre et de se souvenir de certains critè-
res de divisibilité. C’est le cas des critères de divisibilité par 2 et par 5 par
exemple. Par contre, les critères par 3 et par 4 sont un peu plus surpre-
nants. Nous allons les regarder ensemble afin de mieux les comprendre.
Le critère de divisibilité par 3
Avez-vous trouvé ?
Observons d’abord les premiers multiples de 3.
Multiple de 3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 ...
Somme des
chiffres du
nombre
3 6 9 3 6 9 3 6 9 ...
On remarque que dans chacun des cas, la somme des chiffres du nombre
est un multiple de trois.
Observons les multiples suivants.
Multiples de 3 30 33 36 39 42 45 48 51 54 57 60
Écrits autrement 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 60
+++++++++
3 6 9 12 15 18 21 24 27
b) En équipe, comparez les méthodes que vous avez trouvées et
complétez votre tableau.
2.
Pouvez-vous trouver deux nombres qui sont des multiples de 3
dont la somme n’est pas divisible par 3 ?