Proportionnalité

Proportionnalité
I.Rappel
Il y a proportionnalité dans un tableau lorsque les nombres de la deuxième ligne s'obtiennent en multipliant ceux de
la première par un même nombre non nul.
2
3
3
4,5
5
7,5
8
12
× 1,5
1,5 dans ce tableau s'appelle le coefficient de proportionnalité permettant de passer de la première à la seconde ligne.
On dit que les nombres de la seconde ligne sont proportionnels à ceux de la première.
On dit aussi que les deux lignes sont proportionnelles.
remarque 1: Dans le tableau suivant, on ne passe pas de la première à la seconde ligne en multipliant par
un même nombre non nul: on passe de 2 à 4 en multipliant par 2 et de 20 à 30 en multipliant par 1,5. Ce
tableau n'est donc pas un tableau de proportionnalité.
2
4
II.
3
6
5
10
20
30
Proportionnalité et graphique
Commentaire des programmes: les élèves peuvent démontrer que si les points sont alignés
avec l'origine, alors il y a proportionnalité entre les suites définies par les abscisses et les
ordonnées de ces points. La réciproque est admise.
Théorème: si les points obtenus à l'aide du tableau sont alignés avec
C
l'origine du repère, alors le tableau est tableau de proportionnalité.
6
Démonstration:
B
On se place dans un repère (O, I, J)
4,5
On considère deux points A (xA; yA) et B (xB; yB) alignés avec l'origine du repère et
A
de coordonnées positives.
3
On considère les points M (xA; 0) et N (xB; 0).
Les droites (AM) et (BN) sont parallèles.
On peut donc appliquer le théorème de proportionnalité dans le triangle dans OAM
1
et OBN.
OA OM MA
0
1 2 3 4
=
=
.
OB ON BN
En particulier,
x
y
OM MA
=
soit A = A.
ON BN
xB yB
Donc xA × yB = xB × yA
x
x
Donc A = B
yA yB
On note k ce rapport.
on a yA = k xA et yB = k xB
Les ordonnées des points sont donc bien proportionnelles aux abscisses (rapport de proportionnalité: k).
réciproque (admis): si le tableau est un tableau de proportionnalité , alors les points obtenus à
l'aide du tableau sont alignés avec l'origine du repère.
exemple 1:
3 4,5 6
2 3
4
=
= donc le tableau est un
2 3 4
3 4,5
6
tableau de proportionnalité. Le coefficient de
11
proportionnalité du tableau est 1,5.
C
9
Le graphique est une droite passant par l'origine du repère.
Sur le graphique, si on augmente l'abscisse d'une unité, alors
B
7
on augmente l'ordonnée de 1,5 unités.
A
5
On dit que 1,5 est le coefficient directeur de la droite.
Le coefficient directeur de la droite et le coefficient de
proportionnalité du tableau associé sont égaux.
1
0
1
4
6
8
D
10
exemple 2:
4 6 8 10
5 7 9 11
5 7
≠
4 6
le graphique est une droite mais elle ne passe pas par l'origine du repère.
Le tableau n'est pas un tableau de proportionnalité:
exemple 3:
1 2 3 4
1 4 9 16 1 ≠ 4 donc le tableau n'est pas un tableau de
1 2
proportionnalité
Le graphique passe par l'origine du repère mais n'est pas une droite.
1)
C
9
B
4
1
III.
D
16
A
1
2
3
4
Applications de la proportionnalité
Déterminer un quatrième proportionnelle. dans le socle
a
c
b
d
bc
ad
ad
bc
b=
c=
d=
d
c
b
a
Effectivement si ce tableau est un tableau de proportionnalité, alors son coefficient est b/a ou d/c.
c
Donc b = a × Donc b × d = a × c
d
Par le théorème du produit en croix du chapitre sur les égalités d'écritures fractionnaires, on a toutes les
relations cherchées.
2) Pourcentages dans le socle
Si ce tableau est un tableau de proportionnalité, alors a =
a) Calculer une grandeur dont on connaît le pourcentage
Pour calculer p % d'une grandeur, on multiplie cette grandeur par
p
.
100
exemple 1:
calcul de la TVA estimée à 19,6 %
19,6
La taxe s'obtient en multipliant le prix hors taxe par 100 .
Calcul du prix TTC
19,6
PTTC = PHT + PHT × 100
PTTC
19,6
= PHT (1 + 100 )
19,6
Le prix TTC s'obtient en multipliant le prix hors taxe par (1 + 100 ).
b) Déterminer le pourcentage relatif à un caractère
Pour déterminer le pourcentage d'un caractère:
effectif du caractère
Si P est ce pourcentage, P =
× 100
effectif total
exemple 1:
Dans une entreprise de 3000 employés, il y a 1200 femmes. Calculer le pourcentage
de femmes travaillant dans l'entreprise.
Effectif
3000 1200
Il y a 1200 femmes sur 3000 employés, donc
pourcentage
100
x
1200 × 100
x=
x
=
40
3000
3)
échelle.
reprise du cours de cinquième. Devient un exigible du socle.
Les distances sur le plan et les distances réelles sont proportionnelles.
L'échelle est le nombre par lequel on multiplie les distances réelles pour obtenir les distances sur le
plan. Elles s'écrit généralement sous forme d'un quotient.
remarque 1:
exemple 2:
distance réelle (en m)
Pour calculer un échelle, les distances sont toutes exprimées dans la même unité.
réduction.
7
12
distance sur le plan (en m)
0,7
1,2
L'échelle est 1/10 ou 1:10.
exemple 3:
agrandissement.
distance réelle (en m)
0,4 0,7
distance sur le plan en m)
2
3,5
1
× 10
×5
L'échelle est 5/1 ou 5:1.
4) vitesse.
Le travail exigible sur le socle se distingue de celui du programme par son niveau de complexité. Il ne doit porter que sur des
situations de la vie courante, sur des unités et des nombres familiers aux élèves sans ajouter de difficultés techniques.
On attend d'un élève qu'il trouve la vitesse moyenne connaissant la distance parcourue et la durée.
a) calculer une vitesse.
La vitesse v d'un corps est égale au rapport de la distance parcourue d par le temps t. v =
d
t
exemple 1:
calculer la vitesse d'une voiture parcourant 321 km en 3 heures.
321
On note v la vitesse de la voiture:
v=
soit v =107
3
La voiture roule à 107 km.h− 1.
On en déduit que:
d
d=v×t
t=
v
exemple 2:
calculer la distance parcourue par une voiture pendant 2,5 heures à 70 km.h−1:
On note d la distance parcourue:
d = 70 × 2,5
soit d = 175
La voiture a parcouru 175 km.
calculer le temps mis par une moto pour parcourir 540 km à 90 km.h−1.
540
On note t le temps mis: t =
soit t = 6
90
La moto met 6 heures pour parcourir la distance.
exemple 3:
b) Changements d'unités.
Pour passer d'une unité de vitesse à une autre, on convertit les unités de longueurs, puis les unités de temps.
Convertir 60 km.h − 1 en m.s− 1: 1 km = 1 × 103 m
1 h = 3600 s
m
103
v = 60 × 3600
m.s– 1
100
v= 6
s
v % 16,67.
60 km.h − 1 correspondent à environ 16,67 m .s−