CHAP 5 : DIVISEURS, MULTIPLES ET PUISSANCES 2016/2017 Plan de ce chapitre : 1. Diviseurs et multiples 2. Nombres carrés et racines carrées 3. Nombres premiers 4. Caractères de divisibilité 5. Décomposition en facteurs 6. Puissances et priorités Pour se lancer… prends ton manuel de math à la page 47, lis l’introduction au chapitre et réponds aux questions suivantes : 1. Cite 3 autres multiples de 15 supérieurs à 100 : ……………………………………………………… 2. Cite deux autres diviseurs de 175 : …………………………………………………………………………… 3. Qu’est-ce que l’arithmétique ? ……………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… 4. Quelle sera la nouvelle opération que l’on va apprendre ? …………………………………………………………………………………………………………………………………………… 1ère année 1 CHAP 5 : DIVISEURS, MULTIPLES ET PUISSANCES 2016/2017 J’apprends… 1. Diviseurs et multiples Activité 1 : Observe et complète 4. 44. .3 . 33 .1 .0 . 2 22. . 12 .121 .6 11 . 55. Exemple : Exemple : 33 est ………………………………………………………………… 3 est ……………………………………………………………………… car ……………………………………………………………………… car ………………………………………………………………………… Un nombre est ……………………………………………………… Un nombre est …………………………………………………… si ce nombre est le résultat d’une …………………… si, quand on ………………………………………………… par ………………………………………………………………………………… ce nombre, on obtient ……………………………………… ……… est l’ensemble des ………………………………… ……… est l’ensemble des …………………………………… 1 ………………………………………………………………………… 1 ………………………………………………………………………… 0 ………………………………………………………………………… 0 …………………………………………………………………………… Un naturel multiple de 2 est un naturel ………… Tous les multiples de 3 sont impairs ? Vrai ou faux ? Justifie 1ère année 2 CHAP 5 : DIVISEURS, MULTIPLES ET PUISSANCES 2016/2017 Activité 2 : Barre les expressions qui sont mal utilisées. Puisque 18 = 3 x 6 ou 18 = 6 x 3, tu peux dire 18 est diviseur de 3 Puisque 21 = 7 x 3 = 3 x 7 tu peux dire : 21 est diviseur de / divise 7 18 est multiple de 6 6 est divisible par 18 3 divise 18 21 divise / est divisible par 3 3 est multiple de / divise 21 7 est diviseur de / est divisible par 21 Puisque a = b x c ou a = b x c ou a = b. c ou a = c. b Tu peux dire que a est diviseur de ; est multiple de, divise ; est divisible par de b. c est diviseur de ; est multiple de, divise ; est divisible par de a. Complète les pointillés mais tu ne peux pas utiliser deux fois la même expression. Vocabulaire : 3 est ………………………………………… OU …………………………………… de 15 15 est ……………………………………… OU ……………………………………… de 3 Activité 3 : Avec des lettres ! 3.0 = ………… 3.1 = ………… 3.2 = ………… 3.3 = ………… 3.4 = ………… … 3.11 = ………… … 3.25 = ………… Les multiples de 3 sont tous les nombres qui sont présents dans ………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… Le calcul effectué est ……………………………………………… En code, nous noterons un multiple de 3 ………………… ou …………………… avec ………………………………… Par contre l’ensemble des multiples de 3 se note ………………………………………………………………………… 1ère année 3 CHAP 5 : DIVISEURS, MULTIPLES ET PUISSANCES 2016/2017 Ecritures et notations a) Comment notes-tu l’ensemble des multiples de 12 ? ………………………………………………………… b) Comment codes-tu un multiple de 12 ? ………………………………………………………………………………… c) Comment notes-tu l’ensemble des diviseurs de 12 ? …………………………………………………………… d) Cite les 3 premiers diviseurs de 100 (par ordre croissant) : …………………………………………… e) Cite les 3 premiers multiples de 100 (par ordre croissant) : …………………………………………… f) Quels sont les diviseurs de 84 strictement inférieurs à 21 ? …………………………………………… g) Quels sont les multiples de 3 inférieurs à 20 ? …………………………………………………………………… Activité 4 : Cherchons les diviseurs … Observe la technique pour travailler 2 fois moins ! 24 49 1 24 2 12 65 101 315 Complète ensuite : div 24 =………………………………………………………………………… div 49 =………………………………………………………………………… div 65 =………………………………………………………………………… div 101 =………………………………………………………………………… Certains diviseurs sont présents à plusieurs reprises. Exemple : ………………………………… …………………………………………… Nous dirons que ……………………… ……………………………………………… div 315 =………………………………………………………………………… Quel(s) nombre(s) ne possède(nt) qu’un nombre impair de diviseurs ? …………………… Nous les appellerons des nombres …………………………………………………… Autres exemples : …………………………………………………………………………………………………………… Quel(s) nombre(s) ne possède(nt) que deux diviseurs ? ……………………………………… Nous les appellerons des nombres …………………………………………………… Autres exemples : …………………………………………………………………………………………………………………………………… 1ère année 4 CHAP 5 : DIVISEURS, MULTIPLES ET PUISSANCES 2016/2017 Activité 5 : Diviseurs et diviseurs communs. a) Ecris tous les diviseurs de 48 et de 32. Cherche ensuite leurs diviseurs communs. div 48 = ……………………………………………………………………………………………………………………… div 32 = ……………………………………………………………………………………………………………………… Diviseurs communs = ……………………………………………………………………………………………… b) Ecris tous les diviseurs de 25 et de 46. Cherche ensuite leurs diviseurs communs. div 25 = ……………………………………………………………………………………………………………………… div 46 = ……………………………………………………………………………………………………………………… Diviseurs communs = ……………………………………………………………………………………………… Nous dirons que 25 et 46 sont ………………………………………………………………………………………… c) Invente d’autres exemples dans ce cas : 16 et …………………… ; 1083 et …………………… 2. Nombres carrés et racines carrées Activité 6 : Livre page 49, n°2 : Rectangles et carrés a. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… b. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… c. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… d. La racine carrée de 9 est ………… La racine carrée de 36 est ………… La racine carrée de 1 est ………… La racine carrée de 121 est ………… La racine carrée de 81 est ………… La racine carrée de 49 est ………… La racine carrée de 64 est ………… 1ère année 5 CHAP 5 : DIVISEURS, MULTIPLES ET PUISSANCES 2016/2017 e. La racine carrée de 144 est ……………………………………………………………………………………… La racine carrée de 169 est ……………………………………………………………………………………… Le carré de 50 est ……………………………………………………………………………………… Le carré de 500 est ……………………………………………………………………………………… Le carré de 0,5 est ……………………………………………………………………………………… La racine carrée de 0,04 est ……………………………………………………………………………………… L’aire d’un carré d’1,5cm de côté est ……………………………………………………………………………………… Le côté d’un carré dont l’aire vaut 0,09m² est ……………………………………………………………………… Activité 7 : Petit défi ! Juju a 3 ans et essaie de tracer un carré plein à l’aide de cailloux qu’il a trouvés le long de la rivière. Vaut-il mieux qu’il prenne 7,8, 9 ou 10 cailloux ? Fais un schéma pour justifier ton choix. Nous dirons : 49 est un nombre carré car on peut dessiner un carré de …………………………… de côté. 7 est appelée ………………………………………………………………… de 49. 49 est ……………………………………………de 7 49 7 7 est ………………………………………… de 49 Les carrés à connaître par cœur !! ♥♥ ……………………………… ……………………………… ……………………………… ……………………………… ……………………………… ……………………………… ……………………………… ……………………………… ……………………………… ……………………………… ……………………………… ……………………………… ……………………………… ……………………………… ……………………………… 1ère année 6 CHAP 5 : DIVISEURS, MULTIPLES ET PUISSANCES 2016/2017 Activité 8 : Complète 16 est le carré de ………… 2 est la racine carrée de ……… 81 est le carré de ………… ……… est la racine carrée de 100 25 est le carré de ………… ……… est la racine carrée de 900 ………… est le carré de 6 0,4 est la racine carrée de ……… ………… est le carré de 0,6 ……… est la racine carrée de 0,81 ………… est le carré de 0,06 ……… est la racine carrée de 10 000 0,25 est le carré de ………… 0,03 est la racine carrée de ……… 144 est le carré de ………… 40 est la racine carrée de ……… 3. Nombres premiers Activité 9 : livre page 50, n°4 : Nombres premiers 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 Nous allons rechercher …………………………………………………………………………………………………………………………… par cette ancienne méthode connue depuis ……………………………………………………………… qui s’appelle ………………………………………………………………………………………… Le 1 est barré/entouré car 1 …………………………………………………………………………………………………………… Le 2 est barré/entouré car 2 …………………………………………………………………………………………………………… mais nous allons barrer ensuite tous les ……………………………………………………………………… de 2 qui ne sont pas ………………………………………………………………………………………………… 1ère année 7 CHAP 5 : DIVISEURS, MULTIPLES ET PUISSANCES 2016/2017 Le 3 est barré/entouré car 3 …………………………………………………………………………………………………………… mais nous allons barrer ensuite tous les ……………………………………………………………………… de 3 qui ne sont pas ………………………………………………………………………………………………… Idem avec ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Nombres premiers inférieurs à 100 : ♥♥ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Pourquoi 1 n’est-il pas un nombre premier ? …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 4. Caractères de divisibilité Activité 10 : Sans utiliser ta calculatrice et sans effectuer le moindre calcul écrit : a) Entoure les nombres qui sont divisibles par 2 : 26 - 125 - 329 - 978 - 52 000 - 475 - 9 688 b) Entoure les nombres qui sont divisibles par 3 : 26 - 165 - 463 - 780 - 8 700 111 - 99 199 c) Entoure les nombres qui sont divisibles par 4 : 26 - 288 - 342 - 9 984 - 123 451 - 99 924 d) Entoure les nombres qui sont divisibles par 5 : 45 - 69 - 9 560 - 63 890 - 126 001 - 9 995 e) Entoure les nombres qui sont divisibles par 8 : 38 - 124 - 999 124 - 60 032 - 111 888 - 222 884 f) Entoure les nombres qui sont divisibles par 9 : 36 - 1 036 - 3 033 - 211 905 - 999 000 - 11 007 1ère année 8 CHAP 5 : DIVISEURS, MULTIPLES ET PUISSANCES 2016/2017 Rappels des critères de divisibilité ♥♥♥ Un nombre est divisible par 2 si …………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………. Un nombre est divisible par 4 si …………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………. Un nombre est divisible par 8 si …………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………. Un nombre est divisible par 5 si …………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………. Un nombre est divisible par 25 si ………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. Un nombre est divisible par 125 si ………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………. Un nombre est divisible par 10 si ………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………. Un nombre est divisible par 100 si ……………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. Un nombre est divisible par 3 si ………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. Un nombre est divisible par 9 si ………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………. 1ère année 9 CHAP 5 : DIVISEURS, MULTIPLES ET PUISSANCES 2016/2017 Activité 11 : Les nombres suivants sont-ils divisibles par … (sans calculatrice) … est div par … 2 3 4 5 8 9 10 25 100 125 1000 6240 9004 16 350 125 872 750 875 361 120 1 000 000 3 450 750 Activité 12 : Par quel(s) chiffre(s) peux-tu remplacer le symbole ☺pour que la phrase soit correcte. a) 26☺4 est divisible par 4. Réponse(s) : ………………………………………… b) 369☺ est divisible par 5. Réponse(s) : ………………………………………… c) 95☺7 est divisible par 3. Réponse(s) : ………………………………………… d) 432☺64 est divisible par 8. Réponse(s) : ………………………………………… e) 9563☺5 est divisible par 125. Réponse(s) : ………………………………………… f) 72☺5 est divisible à la fois par 25 et 3. Réponse(s) : ………………………………………… g) 46☺75 est divisible à la fois par 125 et 3. Réponse(s) : ………………………………………… Rendez-vous des curieux !!! Pour voir si un nombre est divisible par 7 : On prend tous les chiffres sauf le dernier On soustrait 2 fois le dernier On vérifie si le résultat est divisible par 7 Exemple : le nombre 215 est-il divisible par 7 ? 21 – 2.5 = 21 – 10 = 11 ⇒ 11 n’est pas divisible par 7 ⇒ 215 n’est pas divisible par 7 Essaie avec 217 ou un autre nombre de ton choix ! Activité 13 : Livre page 52, n°6 : Vrai ou faux ? …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 1ère année 10 CHAP 5 : DIVISEURS, MULTIPLES ET PUISSANCES 2016/2017 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Pour t’exercer – faire les exercices 1 à 9 1ère année 11 CHAP 5 : DIVISEURS, MULTIPLES ET PUISSANCES 2016/2017 Si tu n’as pas compris… tu peux t’exercer sur internet : Adresse internet : http://matoumatheux.acrennes.fr/accueilniveaux/accueil6.htm 1. La 6e en France correspond à la première en Belgique ! Choisir : LA DIVISION Cliquer sur : LES CRITERES DE DIVISIBILITE…. Bon amusement !! 1ère année 12 CHAP 5 : DIVISEURS, MULTIPLES ET PUISSANCES 2016/2017 5. Décomposition en facteurs premiers Activité 14 : En utilisant que des nombres naturels : a) Décompose 12 en une somme de deux termes différents : ………………………………………………… b) Décompose 12 en une différence de deux termes : ………………………………………………… c) Décompose 12 en un produit de deux facteurs : ………………………………………………… d) Décompose 12 en un produit de facteurs premiers : ………………………………………………… Décompose les nombres suivants en facteurs Nouvelle méthode : premiers : 50 = ………………………………………………………………………………… 40 = ………………………………………………………………………………… 72 = ………………………………………………………………………………… Activité 15 : A faire sans calculatrice ! ♦ a) Décompose les nombres suivants en facteurs premiers en utilisant la nouvelle méthode et note ensuite la réponse sous la forme d’un produit de puissances.. 150 300 270 700 150 = ………………… 300 = ………………… 270 = ………………… 700 = ………………… 150 = ………………… 300 = ………………… 270 = ………………… 700 = ………………… 1ère année 13 CHAP 5 : DIVISEURS, MULTIPLES ET PUISSANCES 2016/2017 b) Décompose en facteurs premiers les nombres et écris-les sous forme d’un produit de puissances de nombres premiers : 360 ; 288 ; 2500 ; 392 et 462 Réponses : …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Pour t’exercer – faire l’exercice 10 6. Puissances et priorités Activité 16 : Ecris sous la forme d’une puissance ou d’un produit de puissances. a) 2 x 2 = e) 5. 5. 5 = i) 9.2.2.2.2 = b) 4 x 4 = f) 7.7.7.7 = j) 2.2.2.2.2.2.2.5.5.5.5.5 = c) 3 x 3 x 3 = g) 3.3.4.4.4 = k) 3.3.5.5.5.7.7.7.7.7 = d) 2 x 2 x 2 x 2 = h) 8.5.5 = l) 2.3.5.5.3.5.2.2.5.3.3.3 = Activité 17 : Ecris les puissances sous forme d’un produit et calcule. a) 32 = d) 34 =. g) 63 = j) 106 = b) 24 = e) 72 = h) 82 = k) 26 = c) 53 = f) 103 = i) 15 = l) 50 = 1ère année 14 CHAP 5 : DIVISEURS, MULTIPLES ET PUISSANCES 2016/2017 Activité 18 : Calcule les expressions suivantes (attention à l’opération !!!). a) 6 + 2 = f) 34 = k) 5 + 5 + 5 = p) 103 = b) 62 = g) 43 = l) 5 .5 = q) 10.3 = c) 6.2 = h) 4 + 3 = m) 5 − 5 − 5 = r) 10 − 13 = d) 6 − 2 = i) 3.4 = n) 5 .3 = s) 10² = e) 6 ∶ 2 = j) 3 − 4 = o) 53 = t) 10 ∶ 2 = Priorités des opérations : 1) ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2) …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3) …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 4) …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Activité 19 : Souligne à chaque étape la priorité (c’est obligatoire !!!!) et ensuite calcule. 1) 52 − 42 + 7 − 1 = ………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. 2) (4 + 5)2 − (4² + 52 ) = …………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. 3) 4 + 52 − 42 + 5 = ………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. 4) 34 − 101 . 62 = …………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. 1ère année 15 CHAP 5 : DIVISEURS, MULTIPLES ET PUISSANCES 5) 2016/2017 110 − (15 − 3 . 4)2 = ……………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. 6) 23 . 5 − 4. 32 + 71 = ……………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. 7) 44 − 32 . 5 − 24 . 30 = ……………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. 8) (2. 3. 5)2 − 12. 42 − 52 . 20 = ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. 9) 21 − 62 . 5 − 52 = ………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………….…………… ………………………………………………………………………………………………………. 1ère année 16 CHAP 5 : DIVISEURS, MULTIPLES ET PUISSANCES 2016/2017 Je m’exerce Exercice 1 : « 7 est un diviseur de 21 » a) Donne 3 synonymes de cette expression. ……………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………….. b) Ecris cela en langage mathématique : …………………………………………………………… Exercice 2 : Réponds aux questions suivantes. a) Je suis multiple de tous les nombres. Qui suis-je ? ………………………………… b) Je suis diviseur de tous les nombres. Qui suis-je ? ………………………………… c) Tu tapes sur ta calculatrice « 12 : 0 ». Quelle sera la réponse ? ………………… Exercice 3 : Complète par les mots « diviseur » ou « multiple ». 1) 3 est ………………………………… de 15 6) 36 est ………………………………… de 0 2) 8 est ………………………………… de 1 7) a est ………………………………… de 7a 3) 12 est ………………………………… de 12 8) abc est ………………………………… de a 4) 0 est ………………………………… de 36 9) 3x est ………………………………… de x 5) 1 est ………………………………… de 66 10) b est ………………………………… de abc Exercice 4 : Cite les diviseurs (tous par ordre croissant) des nombres suivants div 12 = ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… div 15 = ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… div 17 = ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… div 18 = ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… div 19 = ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… div 20 = ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… div 21 = ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 1ère année 17 CHAP 5 : DIVISEURS, MULTIPLES ET PUISSANCES 2016/2017 div 22 = ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… div 24 = ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… div 25 = ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… div 27 = ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… div 28 = ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… div 29 = ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… div 30 = ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… div 32 = ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… div 36 = ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… div 40 = ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… div 42 = ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… div 45 = ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… div 48 = ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… div 49 = ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… div 50 = ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Exercice 5 : Donne les multiples des nombres suivants (au moins les 4 premiers) : 6ℕ = ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 11 ℕ = ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Mult 12 = ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 15 ℕ = ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Mult 16 = ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 21 ℕ = ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Mult 25 = …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 75 ℕ = ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 1ère année 18 CHAP 5 : DIVISEURS, MULTIPLES ET PUISSANCES 2016/2017 80 ℕ =……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Mult 90 =……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 700 ℕ = …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Exercice 6 : livre page 63, n°1 : Diviseurs ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Exercice 7 : livre page 65, n°5 : Multiples (sauf j) a. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… b. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… c. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… d. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… e. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 1ère année 19 CHAP 5 : DIVISEURS, MULTIPLES ET PUISSANCES 2016/2017 f. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… g. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… h. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… i. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Exercice 8 : livre page 66, n°10 : Expérimenter ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 1ère année 20 CHAP 5 : DIVISEURS, MULTIPLES ET PUISSANCES 2016/2017 Exercice 9 : livre page 67, n°12 : Paires de diviseurs 1ère année 21 CHAP 5 : DIVISEURS, MULTIPLES ET PUISSANCES 2016/2017 Je relève les défis ! Défi 1 : Livre page 68, n°18 : Répartir ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… Défi 2 : Livre page 68, n° 19 : Avec 36 carreaux ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 1ère année 22 CHAP 5 : DIVISEURS, MULTIPLES ET PUISSANCES 2016/2017 Défi 3 : Livre page 68, n°20 : Un rectangle convient, les autres pas ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… Défi 4 : Livre page 70, n°23 : Vérifier une formule ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 1ère année 23 CHAP 5 : DIVISEURS, MULTIPLES ET PUISSANCES 2016/2017 Défi 5 : Exercice 7 : Livre page 63, n°3 : Vrai ou faux ? a. ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… b. ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… c. ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… d. ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… e. ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… f. ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… g. ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… h. ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… i. ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… j. ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… 1ère année 24 CHAP 5 : DIVISEURS, MULTIPLES ET PUISSANCES 2016/2017 Je dois connaître dans ce chapitre… Au terme de ce chapitre, tu dois être capable d’expliciter les savoirs et les procédures suivantes : - Connaître les expressions : « est diviseur de » ; « est multiple de », « divise » ; « est divisible par » et les utiliser correctement. Les notations de l’ensemble des multiples d’un nombre (2 notations possibles) ; l’ensemble des diviseurs d’un nombre ; un multiple d’un nombre (page 4) Qu’est-ce qu’un nombre premier ? Et les nombres premiers inférieurs à 100. Qu’est-ce qu’un nombre carré (ou un carré parfait) ? et connaître les nombres carrés de la page 7 Qu’est-ce qu’un nombre rectangle ? Qu’est-ce que des nombres premiers entre eux ? Comprendre comment on procède pour déterminer les nombres premiers inférieurs à 100 avec le crible d’Eratosthène ? Comment peux-tu déterminer si un nombre est divisible par 2 ? par 3 ? par 4 ? par 5 ? par 8 ? par 9 ? par 10 ? par 25 ? par 100 ? par 125 ? Les 3 propriétés sur les diviseurs (activité 13 page 11 OU livre page 58) Quelles sont les priorités des opérations ? Au terme de ce chapitre, tu dois être capable d’appliquer les procédures ou résoudre des problèmes concernant : - De trouver l’ensemble des diviseurs d’un nombre. Déterminer l’ensemble des multiples d’un nombre De trouver le nombre de diviseurs d’un nombre De déterminer les diviseurs communs de plusieurs nombres De déterminer si un nombre est un nombre rectangle, carré, premier, premier entre eux De calculer les carrés et les racines carrées de nombres entiers « simples » De déterminer rapidement si un nombre est divisible par 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 25, 100, 125. Déterminer rapidement si un nombre est divisible par 6 ; … grâce aux 3 propriétés des diviseurs Dé décomposer un nombre en facteurs premiers Calculer les puissances d’un nombre Effectuer des calculs en respectant les priorités Vocabulaire : « est diviseur de » ; « est multiple de », « divise » ; « est divisible par » ; nombre pair ; 2𝑛 ; 2ℕ ; mult 2 ; div 2 ; nombre rectangle ; nombre carré ; nombre premier ; racine carrée ; nombres premiers entre eux ; caractères de divisibilité ; diviseurs communs ; somme ; produit ; terme ; facteur ; décomposition en facteurs premiers ; puissance. 1ère année 25 CHAP 5 : DIVISEURS, MULTIPLES ET PUISSANCES 2016/2017 Je révise seul !! Cette partie te permet de t’entrainer seul et de vérifier tes connaissances. 1. Barre la ou les mauvaises expressions : a) 10 est multiple de 30 b) 15 est diviseur de 30 c) 12 est divisible par 4 d) 36 divise 9. 2. Complète : ……………………… est multiple de tous les nombres 3. a) Donne tous les diviseurs des nombres suivants : 72 ; 32 ; 66 b) Quels sont les diviseurs communs de 72 et 32 ? c) Quels sont les diviseurs impairs de 66 ? 4. Cite les multiples (par ordre croissant) des nombres suivants : 7 ; 31 ; 125 ; 40 ; 600 5. a) Qu’est-ce qu’un nombre premier ? b) Cite tous les nombres premiers inférieurs à 30. 6. a) 9 et 12 sont-ils premiers entre eux ? Explique. b) Trouve deux nombres premiers entre eux dont l’un est inférieur à 20 et l’autre est supérieur à 20. 7. Complète : a) ………………… est la racine carrée de 64 b) 100 est la racine carrée de ………………… c) 12 est la racine carrée de …………………… d) ………………… est la racine carrée de 0,0009 8. Tu sais que 8 divise 800 et 16. De cela, tu peux déduire 2 autres nombres que 8 va diviser également. Lesquels ? ……………………………………………………………………………………………… Cite la propriété utilisée que tu viens d’utiliser. 9. Tu sais que le nombre x divise 102. Cite 2 autres nombres que x va obligatoirement aussi diviser :………………………………………… Cite la propriété utilisée que tu viens d’utiliser. 1ère année 26 CHAP 5 : DIVISEURS, MULTIPLES ET PUISSANCES 2016/2017 10. Réfléchis bien ! Entoure les nombres qui sont divisibles par 2 : 76 - 325 - 439 - 971 - 52 000 - 8 741 Entoure les nombres qui sont divisibles par 3 : 375 - 413 - 981 - 2 700 111 - 98 181 Entoure les nombres qui sont divisibles par 4 : 128 - 432 - 5 534 - 12 456 - 9 174 Entoure les nombres qui sont divisibles par 25 : 125 - 9 545 - 63 75 - 126 000 - 9 955 Entoure les nombres qui sont divisibles par 8 : 224 - 999 228 - 21 032 - 222 804 - 333 888 Entoure les nombres qui sont divisibles par 9 : 3 025 - 6 001 - 312 804 - 199 008 - 102 009 11. Complète les critères de divisibilité suivants : Un nombre est divisible par 4 si ……………………………… Un nombre est divisible par 125 si ……………………………… Un nombre est divisible par 9 si ………………………… 12. Par quel(s) chiffre(s) peux-tu remplacer le symbole ☺ pour que la phrase soit correcte (note toutes les possibilités). a) 5 3☺6 est divisible par 4. Réponse(s) : ………………………………………………… b) 2 59☺ est divisible par 3 et 5. Réponse(s) : ………………………………………………… c) 4 51☺ est divisible par 3 et 4. Réponse(s) : ………………………………………………… 13. Décompose en facteurs premiers et note ta réponse sous forme de produit : 104 ; 2400 ; 216 14. Calcule les expressions suivantes a) b) c) d) 3.7 = 24 = 11 + 6 = 33 = e) f) g) h) 18: 2 = 122 = 53 = 105 = i) j) k) l) 23 − 4 = 13 . 4 = 82 = 114 = 15. Voici une proposition de Mme Collard : « le carré d’un nombre premier possède exactement trois diviseurs ». Illustre son énoncé à l’aide de 3 exemples. 16. Vrai ou faux ? Si l’énoncé est vrai, illustre-le à l’aide de trois exemples ; s’il est faux, cite un contre-exemple : « Si a est un nombre impair, alors a² est aussi un nombre impair ». 1ère année 27 CHAP 5 : DIVISEURS, MULTIPLES ET PUISSANCES 2016/2017 17. Calcule (note les étapes) : a) 𝑎) (5 − 3)3 . 2 − 22 . 7 = 𝑏) 7 − (4.2 − 2.3)4 + (2 + 2.3)2 = Solutions 1. a) faux b) ok c) ok d) faux 2. Le nombre 0 3. a) 𝑑𝑖𝑣 72 = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 9; 12; 18; 24; 36; 72 } 𝑑𝑖𝑣 32 = {1; 2; 4; 8; 16; 32 } 𝑑𝑖𝑣 66 = {1; 2; 3; 6: 11; 22; 33; 66 } b) {1; 2; 4; 8} c) {1; 3; 11; 33} 4. 𝑚𝑢𝑙𝑡 7 = {0; 7; 14; 21; … } 𝑚𝑢𝑙𝑡 31 = {0; 31; 62; 93; … } 𝑚𝑢𝑙𝑡 125 = {0; 125; 250; 375; … } 𝑚𝑢𝑙𝑡 40 = {0; 40; 80; 120; 160; … } 𝑚𝑢𝑙𝑡 600 = {0; 600; 1 200; 1 800; … } 5. a) Un nombre premier est un nombre qui ne possède QUE deux diviseurs : 1 et luimême b) 2 ;3 ;5 ;7 ;11 ; 13 ;17 ;19 ;23 ;29 6. a) Non car ils sont tous les deux divisibles par 1 et par 3. Or les nombres premiers entre eux ne possèdent qu’un seul diviseur commun : 1. b) exemple : 15 et 26. 7. a) 8 b) 10 000 c) 144 d) 0,03 8. 816 (= 800+16) et 784 (=800-16) Si un nombre en divise deux autres, alors ce nombre divise également leur somme et leur différence. 9. 204 ; 306 ; 408 ; …… c’est-à-dire tous les multiples de 102. Si un nombre en divise un autre, alors ce nombre divise tous les multiples de cet autre. 10. Nombres à entourer : par 2 : 76 - 52 000 par 3 : 375 - 981 - 2 700 111 98 181 par 4 : 128 - 432 - 12 456 par 25 : 125 - 63 75 - 126 000 par 8 : 224 - 21 032 - 333 888 par 9 : 312 804 - 199 008 11. Voir cours pages 9 et 10 12. a) 1 ;3 ;5 ;7 ;9 b) 5 c) 6 13. 104 = 23 . 13 2 400 = 25 . 3. 52 216 = 23 . 33 14. a) 21 b)16 c) 17 d)27 e)9 f)144 g)125 h)100 000 i)19 j)52 k)64 l)1 15. 𝑒𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑒 1 ∶ 5² = 25 𝑑𝑖𝑣 25 = {1; 5; 25} 𝑒𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑒 2 ∶ 7² = 49 𝑑𝑖𝑣 25 = {1; 7; 42} 𝑒𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑒 3: 11² = 121 𝑑𝑖𝑣 121 = {1; 11; 121} 16. Vrai. Exemples : 3² = 9 5² = 25 9² = 81 et les nombres 3;9;5;25;9;et 81 sont des nombres impairs (la preuve se fera en 2e et/ou 3e année). 17. a) -12 b) 55 1ère année 28 CHAP 5 : DIVISEURS, MULTIPLES ET PUISSANCES 2016/2017 Le coin des curieux… Source : Sésamath 6e Pour trouver tous les autres caractères de divisibilité : http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Decompos/Di visiGe.htm 1. un site plein de curiosités…. Bon amusement ! CQFD – page 67, n°15 : Multiples de 11 A toi de trouver le critère de divisibilité ! 1ère année 29