Chapitre Nombres entiers et rationnels 3

Chapitre
Nombres entiers et rationnels 3
èm
➢ Opérations sur les nombres en écriture fractionnaire.
➢ Déterminer si deux entiers donnés sont premiers entre
eux.
➢ Simplifier une fraction donnée pour la rendre
irréductible.
Chapitre
Nombres entiers et rationnels 3
ème
1) Diviseurs communs et P.G.C.D
a) Définition
Un diviseur commun à deux nombres entiers naturels (c'est-à-dire positifs ou nuls) est un
nombre entier qui divise chacun de ces deux nombres.
Exemples:
 3 est un diviseur commun à 27 et 45.
 Les diviseurs de 27 sont: 1, 3, 9 et 27.
Les diviseurs de 45 sont: 1, 3, 5, 9, 15 et 45.
Les diviseurs communs à 27 et 45 sont: 1, 3 et 9.
9 est le plus grand diviseur commun à 27 et à 45.
Le plus grand diviseur commun à plusieurs nombres est appelé le « P.G.C.D » de ces nombres .
Pour calculer le P.G.C.D de deux entiers naturel, on peut utiliser un algorithme.
Remarque: « Algorithme » signifie « procédé de calcul », ce mot vient du nom du mathématicien arabe
Al-Khwarizmi (780-850 après J.-C.).
b) Algorithme d'Euclide
Méthode de calcul permettant de trouver le Plus Grand Commun Diviseur de deux
entiers naturels.
Exemple 1: Calculer le P.G.C.D de 2002 et 420.
On effectue des divisions euclidiennes successives.
2002= 4 ×420  322 (le P.G.C.D de 2002 et 420 divise également le reste 322)
420= 1× 322 98
(le P.G.C.D de 420 et 322 divise également le reste 98)
322= 3 ×98  28
(le P.G.C.D de 322 et 98 divise également le reste 28)
98= 3 × 28[14]
(le P.G.C.D de 98 et 14 divise également le reste 14)
28= 2 ×14 0
(le P.G.C.D de 2002 et 420 est donc le dernier reste non nul qui est 14)
On note P.G.C.D (2002 ; 420)=14.
Vérification:
2002
420
= 143 et
= 30 .
14
14
Exemple 2: Calculer le P.G.C.D de 1 573 et 11 022.
On effectue des divisions euclidiennes successives.
11 022= 7 ×1 573 11 (le P.G.C.D de 11 022 et 1 573 divise également le reste 11)
1 573= 143×11  0 (le P.G.C.D de 11 022 et 1 573 est donc le dernier reste non nul qui est 11)
On note P.G.C.D (11 022 ; 1 573)=11.
Vérification: 11 022= 11×1 002 et 1 573 =11 ×143 .
Remarque:
On utilise l'algorithme d'Euclide surtout pour déterminer le P.G.C.D de grands nombres.
2) Nombres premiers entre eux et fractions irréductibles:
a) Définition
On dit que deux entiers naturels sont « premiers entre eux » lorsque leur seul diviseur
commun est 1.
Exemple:
Les diviseurs de 12 sont: 1, 2, 3, 4, 6 et 12.
Les diviseurs de 25 sont: 1, 5 et 25.
Le seul diviseur commun à 12 et à 25 est 1.
Les nombres 12 et 25 sont donc premiers entre eux.
Remarque:
Deux entiers naturels sont premiers entre eux lorsque leur P.G.C.D est égal à 1.
b) Définition
On dit qu'une fraction est « irréductible » lorsque son numérateur et son dénominateur
sont premiers entre eux.
Exemples:
 Les nombres 12 et 25 sont premiers entre eux donc
 La fraction
221
294
12
25
est irréductible.
est-elle irréductible?
On cherche le P.G.C.D(294 ; 221):
294= 1× 221 73
221= 3 ×73  2
73 = 36 × 2 1
2= 2 ×1 0
Le P.G.C.D de 294 et 221 est donc le dernier reste non nul qui est 1.
Le seul diviseur commun à 221 et à 294 est 1 donc La fraction
 Peut-on réduire la fraction
85
221
221
294
?
On cherche le P.G.C.D de 221 et 85:
221= 2 ×85  51
85 = 1× 51 34
51 =1 × 34 17
34 =2 ×17  0
P.G.C.D (221 ; 85)=17.
On a
85
85 : 17
5
=
=
221 221 : 17 13
et on obtient une fraction irréductible.
est irréductible.
3) Nombres entiers, nombres rationnels:
Définition
Un nombre « rationnel » est un nombre qui peut s'écrire sous la forme d'un quotient de
deux nombres entiers relatifs.
Exemples:
 Les nombres décimaux sont des nombres rationnels.
 Les nombres 0 ;
en effet
0=
−3
0
2
;
;
7
11
−2
3
−3
−3 =
1
;
et 3,2 sont des nombres rationnels,
3,2=
;
32
.
10

2 ne sont pas des nombres rationnels,
 Les nombres  et
on dit que ces nombres sont « irrationnels ».
Remarque:(pour votre culture générale)
Les démonstrations permettant de prouver qu'un nombre est irrationnel sont souvent subtiles.
Par exemple, pour prouver que
« Supposons que
 2 n'est pas un nombre rationnel:
 2 est un nombre rationnel »: (on veut prouver que cette proposition est fausse)
Il existerait, dans ce cas, une fraction irréductible telle que:
 2= ab
avec
a et b
On aurait alors
Le nombre
a
2
entiers.
  22 =
2

a
b
donc
a2
= 2 et finalement a2 = 2× b 2 .
2
b
serait pair.
a serait également pair puisque seul un entier pair peut avoir un carré pair.
On pourrait écrire a = 2× k avec k entier .
2
2
En reportant cette valeur dans l'égalité a = 2× b , on obtiendrait:
 2 × k  2 = 2× b 2 soit 4 × k 2 =2 × b2 d'où en divisant par 2 les deux membres de cette égalité,
2× k 2 = b2 . Le nombre b2 serait lui aussi pair.
Par le même raisonnement, on en déduirait que b serait pair.
a
Or, si a et b étaient tous les deux pairs, la fraction
pourrait être simplifiée en divisant par 2 son
b
L'entier
numérateur et son dénominateur , cette fraction ne serait donc pas irréductible.
On a donc une contradiction !C'est donc que la supposition de départ est fausse,
nombre rationnel, c'est un nombre « irrationnel ».
 2 n'est pas un

Cette démonstration de l'irrationalité de 2 dite « par le pair et l'impair »
date d'Aristote (384-322 avant J.-C.) et a été reprise par Euclide (vers 300 avant J.-C.).
Remarques:
La démonstration ci-dessus est une démonstration par contradiction (on dit aussi « par l 'absurde »),
ce type de preuve est souvent utilisé en mathématique.
Vous verrez d'autres propriétés des nombres irrationnels au lycée...