02Conducteurs en équilibre new

CONDUCTEURS EN ÉQUILIBRE ÉLECTROSTATIQUE
CONDENSATEURS
Lorsqu’on apporte des charges (par contact) sur un isolant, ces charges restent à l’endroit où on les dépose, alors que sur
un conducteur, elles sont susceptibles de se déplacer et ne restent pas où on les a déposées.
Cette différence de comportement est liée à la différence de structure de la matière : dans un isolant, il n’y a pas
d’électrons libres; alors que dans un conducteur métallique, un électrolyte ou un semi-conducteur, il y a un nombre
important d’électrons libres ou d’ions libres, ou plus généralement de porteurs de charges mobiles.
Dans ce chapitre, nous allons considérer des conducteurs métalliques, mais les résultats s’appliquent aussi aux électrolytes.
I.
Propriétés générales des conducteurs en équilibre électrostatique
Rappel : on appelle conducteur un corps à l’intérieur duquel les charges mobiles peuvent se déplacer sous l’action d’une
force, aussi petite soit-elle.
1.
Définition de l’équilibre électrostatique
Un conducteur est en équilibre dans son propre référentiel s’il n’est le siège d’aucun courant, c’est-à-dire aucun
mouvement d’ensemble des porteurs de charge. L’équilibre est dit de plus électrostatique si la seule cause possible de
mouvement d’ensemble des porteurs de charge est un champ électrostatique.
Aucun courant à l’intérieur d’un conducteur en équilibre
Remarque : Parmi les autres causes possibles de courant, citons un gradient de concentration (générateur électrochimique),
un gradient de température (effets thermoélectriques), un champ électromoteur (induction électromagnétique). Dans ce
chapitre, on ne considèrera aucune de ces causes, on considérera que la seule cause possible de courant est un champ
électrostatique; on n’étudiera donc que des équilibres électrostatiques sans préciser « électrostatiques ».
2.
Conséquences immédiates de la définition
a)
En un point intérieur à un conducteur en équilibre, le champ électrique est
nul
r
r
E int = 0 (d’après la définition ci-dessus et celle d’un conducteur)
b)
r
Puisque E = −gradV
Le volume d’un conducteur en équilibre est équipotentiel
Vint = cst
Remarque : le potentiel étant continu pour toute distribution volumique, la surface d’un conducteur en équilibre est
équipotentielle.
c)
A l’intérieur d’un conducteur en équilibre, la densité volumique de charge
est nulle.
On déduit cette propriété de l’équation locale de Maxwell Gauss.
ρint = 0 : la densité volumique totale de charges est nulle (charges mobiles et fixes)
Conducteurs en équilibre électrostatique. Condensateurs. (elm 2)
1
d)
Les charges excédentaires portées par un conducteur en équilibre ne
peuvent être que superficielles
En effet d’après la propriété précédente, si on apporte une charge Q sur un conducteur initialement neutre, à l’équilibre,
cette charge ne pouvant pas être répartie en volume, elle se répartit nécessairement en surface.
En fait la théorie quantique montre qu’on a une distribution volumique sur une épaisseur très faible (<1nm).
3.
Théorème de Coulomb
La surface du conducteur étant équipotentielle, le champ au voisinage immédiat du conducteur (à l’extérieur), est normal à
la surface du conducteur (propriété des équipotentielles et des gradients). Ceci est cohérent avec la continuité de la
composante tangentielle du champ (nulle à l’intérieur du conducteur, donc à l’extérieur également).
Utilisons la relation de discontinuité (relation de passage) à la traversée d’une distribution surfacique établie au chapitre
r
r
σ
précédent ( E 2 − E1 =
n1→ 2 ), avec ici l’intérieur du conducteur comme côté (1) et l'extérieur comme côté (2).
ε0
Soit Ms un point de la surface du conducteur, σ(Ms) la densité surfacique de charge en ce point, Mext un point situé à
r
r
l’extérieur du conducteur; posons E ext (M s ) = lim E(M ext )
M ext → M s
r
σ( M s ) r
n ext (M s )
Théorème de Coulomb : E ext (M s ) =
ε0
r
Remarque : Il s’agit d’une relation locale : permet de connaître σ connaissant E et inversement. Le champ est d’autant
plus intense que la valeur absolue de la densité de charge est grande.
Conséquences : Dans le cas d’un système de plusieurs conducteurs en équilibre (séparés par le vide), une ligne de champ
part nécessairement d’une région chargée positivement de certains conducteurs, et se dirige, soit vers l’infini, soit vers des
régions chargées négativement d’un autre conducteur. En effet, elle ne peut pas se refermer sur le même conducteur
puisqu’il est équipotentiel et que le potentiel décroît constamment le long d’une ligne de champ.
Effet de pointe (Hors programme) : Pour une sphère unique de rayon R, de potentiel V, de densité de charge σ, on a
V=Q/(4πε0R)=(σ4πR2) /(4πε0R)=σR/ε0. Soit maintenant un conducteur en équilibre présentant deux zones de courbures
très différentes (zone 1 de rayon de courbure R1, de densité de charge σ1, zone 2 de rayon de courbure R2, de densité de
charge σ2). S’agissant de 2 zones d’un même conducteur en équilibre, le potentiel est le même pour les deux zones. On
admettra qu’en première approximation, il s’exprime comme précédemment pour chaque zone avec les rayons de
courbure : V ̴ σ1R1/ε0 ̴ σ2R2/ε0 : plus le rayon de courbure est faible (zone « pointue »), plus la densité surfacique de charge
est élevée, et donc, d’après le théorème de Coulomb, plus le champ au voisinage est intense : c’est au voisinage des pointes
qu’on atteint plus facilement la valeur du champ disruptif de l’air et donc qu’on aura des étincelles.
4.
Théorème des éléments correspondants
Définition : Soient deux conducteurs A et B. On appelle « éléments correspondants », deux portions de leurs surfaces
respectives qui se font face aux extrémités d’un même tube de champ T.
Théorème des éléments correspondants :
Les éléments correspondants de deux conducteurs en équilibre portent des charges opposées.
Conducteurs en équilibre électrostatique. Condensateurs. (elm 2)
2
Démo : appliquons le théorème de Gauss, à la surface fermée Σ=T+Σ1+Σ2 constituée entre les deux conducteurs, du tube
de champ T et complétée à l’intérieur des conducteurs par deux surfaces quelconques Σ1 et Σ2. Soit qA et qB les charges des
deux éléments correspondants ainsi délimités. Le champ en chaque point de Σ1 et Σ2 est nul (intérieur du conducteur), le
champ en chaque point de T est tangent à T donc perpendiculaire à la normale. Le flux sortant de Σ est donc nul.
T
Conducteur A
Conducteur B
Charge qA
Σ1
r r
∫∫ E.dS =
Σ
II.
Qint
⇔
ε0
r r
r r
r r
∫∫ E.dS + ∫∫ E.dS + ∫∫ E.dS =
Σ1
Σ2
T
Charge qB
Σ2
qA + qB
q + qB
⇔0= A
⇔ q A = −q B
ε0
ε0
CQFD
Condensateur
1.
Phénomène de condensation de l’électricité
Lorsqu’on maintient une tension U=V1-V2>0 de l’ordre du kV entre deux disques métalliques parallèles 1 et 2, tout en les
rapprochant, on observe pour une distance de l ≈1mm l’apparition d’étincelles. Cette apparition d’étincelles indique que la
norme du champ atteint la valeur du champ disruptif de l’air EM=3.106V/m.
D’après le théorème de Coulomb, si, quand on rapproche les deux conducteurs, le champ au voisinage des conducteurs
atteint une valeur importante, c’est que la valeur absolue de la densité surfacique de charge sur les deux conducteurs atteint
également des valeurs importantes (les densités étant opposées sur les deux faces en regard) : il y a eu accumulation
importante de charges sur les deux faces en regard.
Il s’agit d’un phénomène observé et analysé dès 1782 par Volta et baptisé par lui « condensation de l’électricité » : deux
surfaces métalliques en regard entre lesquelles on maintient une différence de potentiel, sont aptes à condenser l’électricité,
i.e. à accumuler des charges (opposées), de grande valeur absolue. Elles forment un condensateur. Cette aptitude à
condenser l’électricité est quantifiée par ce qu’on appelle la capacité du condensateur.
2.
Condensateur
On appelle condensateur un système de deux conducteurs (1) et (2) en état d’influence totale, c’est-à-dire tel que toute
ligne de champ issue de (1) aboutisse sur (2). Les faces en regard A1 et A2 des deux conducteurs sont appelées
armatures du condensateur.
Remarques :
Cette définition correspond à une idéalisation : la condition de définition ne serait vérifiée strictement que si (2)
entourait entièrement (1), ce qui n’est jamais exactement réalisé ne serait-ce qu’en raison des fils de jonction avec la
source.
D’après le théorème des éléments correspondants, les charges des armatures sont opposées
Q1 notée Q
Q
Symbole :
-Q
Q2=-Q1=-Q
(1)
(2)
V1-V2
L’armature extérieure peut avoir une charge Qext sur sa face externe mais celle-ci n’intervient pas sur le champ inter armatures (ni sur la capacité).
Conducteurs en équilibre électrostatique. Condensateurs. (elm 2)
3
3.
Capacité : définition
Q1
Q2
(égal à
) est une constante, positive, ne dépendant que de la géométrie du
V1 − V2
V2 − V1
système (et de la nature d’un éventuel diélectrique).
On montre que le rapport
Cette constante est appelée capacité du condensateur, elle s’exprime en farad :
Q1
Q2
=
V1 − V2 V2 − V1
C=
grandeur positive, s’exprimant en farad (F)
Attention au signe : le premier potentiel au dénominateur doit être celui de l’armature dont la charge est au numérateur.
Q1 peut se calculer par Q1 =
∫∫
A1
4.
σdS =
∫∫
r r
ε 0 E.dS et V1-V2 par
A2
∫
A2
r r
r r
E.d l V1 − V2 = E.d l (cf. exemples).
∫
A1
A1
A1
Calcul de capacités
a)
Condensateur sphérique
Il est constitué d'une sphère intérieure (notons son centre
O, son rayon R1, son potentiel V1, sa paroi externe
« armature A1 », la charge de celle-ci Q1) et d'une
coquille sphérique concentrique qui l'entoure, le vide les
séparant, (notons son potentiel V2, sa face interne
« armature A2 », le rayon de celle-ci R2, sa charge Q2).
V2
Q2
R1
Q1
V1
R2
D'après le théorème des éléments correspondants :
Q2=-Q1.
r
1ère méthode : On se donne Q1, on calcule le champ E (M) en fonction de Q1, puis la ddp V1-V2, on en déduit C.
Soit M un point de l’espace inter armature. La distribution étant à symétrie sphérique, on déduit que le champ en M,
r
r
est radial et que sa composante radiale ne dépend que de r=OM : E (M) = E r (r )u r
Appliquons le théorème de Gauss à travers une sphère Σ(r) de rayon r∈]R1,R2[ :
r r
∫∫ E.dS =
Σ( r )
Qint
Q
Q1
⇔ 4πr ² E r (r ) = 1 ⇔ E r (r ) =
ε0
ε0
4πε0 r ²
r
Déduisons la ddp entre les deux armatures en calculant la circulation de E :
V1 − V2 =
∫
A2
A1
On déduit C =
r r
E.d l =
∫
A2
A1
E r (r ).dr =
Q1
4πε 0
R
Q1
 1 2
− r  = 4πε
 R1
0
1
1 
 −

 R1 R 2 
Q1
4πε0 R1R 2
=
V1 − V2
R 2 − R1
Conducteurs en équilibre électrostatique. Condensateurs. (elm 2)
4
2ème méthode : On se donne la ddp V1 - V2. On cherche V(M) en résolvant l’équation de Laplace avec conditions aux
r
limites, puis E (M), puis la densité superficielle de charge σ(Ms) et la charge Q1 de l’armature interne. On déduit C.
Vue la symétrie, le potentiel en un point M dans l’espace inter armatures ne peut dépendre que de r=OM
L’équation de Laplace s’écrit en M : ∆V = 0 , soit, d’après l’expression du Laplacien en sphériques :
1 d²
b
(rV) = 0 ⇒ rV = ar + b ⇒ V = a +
r dr ²
r
Déterminons les constantes d’intégration à partir des conditions aux limites V=V1 pour r=R1 et V=V2 pour r=R2.
R R (V − V2 )
b
R V − R 1V1
On trouve : b = 2 1 1
et a = V1 −
= 2 2
R 2 − R1
R1
R 2 − R1
On déduit le champ inter armatures
r
dV r
br
E = −gradV = −
ur = ur
dr
r²
On déduit à l’aide du théorème de Coulomb, la densité surfacique de charge sur l’armature interne :
r r
b
σ1 = ε0 . lim E(r ).u r = ε0 2
r →R1
R1
On déduit ensuite la charge de cette armature : Q1 = σ1 4πR12 = 4πε 0 b =
Enfin, on déduit la capacité : C =
Q1
4πε0 R1R 2
=
V1 − V2
R 2 − R1
Cas particulier : (R2-R1)«R2. Posons R2-R1=e ; C s’écrit alors: C =
Si (R2-R1)«R2 (épaisseur faible) :
b)
R 2 R1 4πε0
(V1 − V2 )
R 2 − R1
C≈
4πε 0 R 2 2
e
ε 0S
où S est la surface des armatures en regard, e la distance entre elles.
e
Condensateur cylindrique
Il est constitué d'un conducteur intérieur cylindrique (notons son axe Oz, son rayon R1, son potentiel V1, sa paroi externe
« armature A1 », la charge de celle-ci pour une hauteur h, Q1) et d'un cylindre creux coaxial qui l’entoure, le vide les
séparant (notons son potentiel V2, sa face interne « armature A2 », le rayon de celle-ci R2, sa charge pour une hauteur h,
Q2).
On néglige les éventuels effets de bords, i.e. on suppose que A1 et A2 sont des éléments correspondants.
D'après le théorème des éléments correspondants, la charge de la face interne de l'armature extérieure est Q2=-Q1.
V1
Q2
Q1
A2,Q2,
V2,R2
h
R1
R2
A1,Q1,
V1,R1
V2
On se contente d’une seule méthode (la 1ère).
Conducteurs en équilibre électrostatique. Condensateurs. (elm 2)
5
Soit M un point de l’espace inter armature. La distribution étant à symétrie cylindrique, on déduit que le champ en M,
r
r
est radial et que sa composante radiale ne dépend que de la distance de M à H, r=HM : E (M) = E r (r )u r
Appliquons le théorème de Gauss à travers une surface cylindrique fermée, de hauteur h, de rayon r∈]R1,R2[:
∫∫
r r Q
Q
Q1
E.dS = int ⇔ 2πrhE r (r ) = 1 ⇔ E r (r ) =
ε0
ε0
2πε0 rh
Σ( r )
r
Déduisons la ddp entre les deux armatures en calculant la circulation de E :
V1 − V2 =
∫
A2
A1
r r
E.d l =
∫
A2
A1
E r (r ).dr =
Q1
[ln r ]RR 12 = Q1 ln R 2
2πε0 h
2πε0 h R1
On déduit la capacité, pour une hauteur h : C =
Cas particulier : (R2-R1)«R2. Posons R2-R1=e , C =
Si (R2-R1)«R2 (épaisseur faible) : C ≈
c)
Q1
2πε 0 h
=
V1 − V2 ln R 2
R1
2πε0 h
2πε 0 h 2πε0 hR 1
=
=
e
e
e
ln(1 + )
R1
R1
ε 0S
où S=2πhR1 est la surface des armatures en regard, e la distance entre elles.
e
Condensateur plan
Il est constitué de deux armatures planes
parallèles « très grandes » (on néglige les
effets de bord). On note A1 l’armature
d’équation x=0, A2 celle d’équation x=e.
D’après la symétrie de la distribution, les
équipotentielles sont des plans x=cst (on
néglige les effets de bord), les lignes de
champ des segments parallèles à Ox :
r
r
E (M) = E x (M)u x .
V2
x
équipotentielles
e
A2
A1
0
E(M)
M
V1>V2
r
Les armatures étant supposées « infinies », la distribution source de E est invariante par translation parallèlement aux
armatures : La composante Ex en M(x,y,z) ne dépend que de x.
Montrons également que, dans ces conditions (quand on néglige les effets de bords), le champ est uniforme dans l’espace
inter armatures (i.e. Ex est une constante). Considérons un cylindre d’axe normal aux armatures, dont les bases sont
d’équation x=x1 et x=x2 (elles sont chacune équipotentielles). Le théorème de Gauss appliqué à cette surface fermée vide
de charges donne, le flux à travers la paroi latérale (tube de champ) étant nul : Ex(x2)=Ex(x1), CQFD.
Pour le calcul de la capacité, utilisons le 2ème méthode .
L’équation de Laplace s’écrit en un point M de l’espace inter armatures : ∆V = 0 , soit :
d ²V
=0.
dx ²
On déduit V(x)=ax+b
Conducteurs en équilibre électrostatique. Condensateurs. (elm 2)
6
Déterminons les constantes d’intégration à partir des conditions aux limites V=V1 pour x=0 et V=V2 pour x=e :
b = V1 et a =
V2 − V1
e
On déduit le champ inter armatures
r
r
dV r
V − V2 r
E = −gradV = −
ux = 1
u x = E 0 : on retrouve que le champ est uniforme dans l’espace inter armatures.
dx
e
On déduit à l’aide du théorème de Coulomb, la densité surfacique de charge sur l’armature A1 :
σ1 = ε 0
r
r r
r
V − V2
: elle est uniforme sur l’armature A1.
E (M ).u x = ε0 E 0 .u x = ε0 1
M → M s1 ∈A1
e
lim
D’après le théorème des éléments correspondants, si la densité superficielle est σ1 en un point Ms de A1, la densité en
son projeté sur A2, parallèlement à Ox est σ2=-σ1.
ε0S
(V1 − V2 ) : on retrouve bien le phénomène de
e
condensation de l’électricité : (V1-V2) étant fixé, Q1 augmente quand la distance inter armatures, « e », diminue.
On déduit la charge d’une surface S de cette armature : Q1 = σ1S =
On déduit la capacité : C =
d)
Q1
εS
= 0
V1 − V2
e
Remarque
La même équation ∆V=0 (équation de Laplace) conduit, suivant la géométrie du problème à des expressions de la capacité
très variées. Ainsi, pour un problème à 3d, le potentiel est en 1/r, pour un problème à 2d, il est en ln(r), pour un problème à
1d (condensateur plan), il est affine.
5.
Groupement de condensateurs
a)
En série
L’armature « interne » de l’un est reliée à l’armature « externe » du suivant par un fil conducteur, les condensateurs étant
déchargés avant d’être ainsi connectés. On applique à l’ensemble une ddp U = VA1 − VB n .
A1
B1 A2
B2
Bn -1An Bn
VA1-VBn
D’après le théorème des éléments correspondants Q A i = −Q Bi
Et d’après la conservation de la charge d’un ensemble (Bi-1Ai) (isolé électriquement du reste par du vide) Q A i = −Q Bi −1
Ainsi : Q A1 = −Q B1 = Q A 2 = −Q B2 = .... = Q Ai = −Q Bi que l’on notera Q.
Conducteurs en équilibre électrostatique. Condensateurs. (elm 2)
7
∑ (VA
n
U = VA1 − VB n =
i =1
) ∑  QCA
 i
n
i
− VBi =
i
i =1
n

1
Q
=Q
=

C
C
éq

i =1 i
∑
Le groupement en série de condensateurs est donc équivalent à un condensateur unique dont la capacité que l’on notera Céq
vérifie :
n
1
1
=∑
association en série
C éq i =1 Ci
b)
En parallèle
Les armatures internes Ai des n condensateurs (capacité Ci), de charges Qi, sont reliées par un fil conducteur, au potentiel
commun VA, les armatures en regard Bi sont également reliées par un fil conducteur, au potentiel commun VB.
La charge totale des armatures de potentiel VA est :
Q = ∑ Qi = ∑ Ci (VA − VB ) = (VA − VB )∑ Ci = (VA − VB )C éq
Le groupement en parallèle de condensateurs est donc équivalent à un condensateur unique dont la capacité que l’on notera
Céq vérifie :
n
Céq = ∑ Ci association en parallèle
i =1
On conçoit intuitivement, que dans cette configuration, les « capacités à condenser l’électricité » s’ajoutent.
Ainsi, par exemple, deux condensateurs identiques en parallèle ont une capacité équivalente égale au double de leur
capacité individuelle.
6.
Condensateurs avec diélectrique
Un diélectrique est un milieu isolant. On considère ici uniquement les diélectriques linéaires, homogènes et isotropeselm 2
(LHI). Un tel milieu est caractérisé par sa permittivité, notée ε, laquelle est toujours supérieure à celle du vide; on pose
ε=εrε0 avec εr>1, permittivité relative du milieu.
On admettra, que pour un condensateur dont l’espace inter armatures est rempli d’un diélectrique LHI, sa capacité est
donnée par les mêmes expressions que si le diélectrique est le vide, à condition de remplacer la permittivité du vide ε0
par celle du milieu, ε.
Pour une géométrie donnée, l’utilisation d’un diélectrique permet d’obtenir des capacités plus grandes qu’avec le vide ou
l’air (dont la permittivité est très proche de celle du vide).
7.
Rappel : énergie d’un condensateur
Un condensateur dont la charge est Q, soumis à la ddp V (avec Q=Q1, V=V1-V2), possède l’énergie électromagnétique :
W=
1
1
1
Q2
Q1 (V1 − V2 ) = QV = CV 2 =
2
2
2
2C
Conducteurs en équilibre électrostatique. Condensateurs. (elm 2)
8