08. Parallélogramme

CH VIII
PARALLÉLOGRAMMES
1. Définition
A
(AB) // (DC)
(BC) // (AD)
B
D
C
:
A) Théorème 1
SI un quadrilatère a ses côtés parallèles 2 à 2 ALORS c’est un parallélogramme.
B) Théorème 2
Si un quadrilatère est un parallélogramme ALORS ses côtés sont parallèles 2 à 2.
Application : Construire avec règle et équerre le point D afin que ABCD soit un parallélogramme.
• B
A •
• C
On trace
la parallèle au côté [BC] passant par le point
D
On trace
la parallèle au côté [AB] passant par le point C.
2. Diagonales d’un parallélogramme
A) Théorème 3 ( admis )
Traçons les deux diagonales du parallélogramme ABCD.
A
On remarque que :
O est le milieu de [AC]
O est le milieu de [BD]
/
O
B
//
//
/
C
D
SI un quadrilatère est un parallélogramme ALORS ses diagonales se coupent en leur milieu.
B) Théorème 4 ( réciproque du théorème 3 )
SI les diagonales d'un quadrilatère se coupent en leur milieu ALORS
c’est un parallélogramme.
Démonstration :
Je sais que O est le milieu de [AC] et BD]. Donc :
Le symétrique du segment [AB] par rapport à O est [CD].
Théorème : SI deux segments sont symétriques ALORS ils sont parallèles.
Donc [AB] // [CD]
B
D'après le théorème 2 , ABCD est un parallélogramme.
Et le point O est son centre de symétrie.
• B
//
D
Application : Finir le parallélogramme ABCD, sans équerre.
A •
• B
• C
A •
/
•
O
/
• C
①
• B
On trace
la diagonale [AC] et on place son milieu O
O
/
//
A •
•
/
//
②
• C
D•
On trace
le symétrique D du point B par rapport à O.
• B
A •
O
/
•
//
le parallélogramme ABCD.
D•
//
③
On trace
C
/
Le symétrique du segment [AD] par rapport à O est [CB].
Donc [AD] // [CB]
O
//
/
A
/
• C
3. Longueur des côtés
Soit un parallélogramme ABCD et son centre de symétrie O.
et
O
//
//
C
/
AB = DC
A
/
Le symétrique de [AB] par rapport à O est [DC]
Le symétrique de [AD] par rapport à O est [BC]
Rappel : SI deux segments sont symétriques
ALORS ils sont de même longueur.
B
D
AD = BC
A) Théorème 5
SI un quadrilatère est un parallélogramme ALORS ses côtés sont égaux 2 à 2.
B) Théorème 6 ( réciproque du théorème 5 )
SI un quadrilatère a ses côtés égaux 2 à 2 ALORS c’est un parallélogramme.
Application : Construire au compas, le point D afin que ABCD soit un parallélogramme
• B
A •
• C
On reporte les
longueurs AB et BC à l'aide du compas pour trouver le point D.
C) Théorème 7 ( On admettra aussi ce théorème )
SI un quadrilatère a deux côtés égaux ET parallèles ALORS c’est un parallélogramme.
Application : Tracé d’un parallélogramme avec le quadrillage.
B
Pour aller de A en B, on se déplace de 5
carreaux vers la droite puis de 1 carreau vers
le haut.
A
F
On fait de même en partant de E pour obtenir
le point F
E
4. Angles d’un parallélogramme
Théorème 8 ( Angles opposés )
B
A




O
Le symétrique de l’angle BAD par rapport à O est l’angle DCA
Le symétrique de l’angle ABC par rapport à O est l’angle CDA
D
Rappel de théorème : SI deux angles sont symétriques ALORS ils sont égaux.


BAD = DCA
et
C
 
ABC = CDA
SI un quadrilatère est un parallélogramme ALORS les angles opposés sont égaux.
B) Théorème 9 ( Angles consécutifs )
B
Voici à nouveau un parallélogramme ABCD et son centre O.

On a prolongé le côté [AB] pour obtenir l’angle B 1 .


Les angles ABC et B 1 sont supplémentaires.


ABC + B 1 = 180° ( égalité 1 )
Donc

1
O
C
A
D

Les angles B 1 et BAD sont correspondants et les droites (AD) et (BC) sont parallèles.


B 1 = BAD
Donc :
L’égalité 1 devient :


ABC + BAD = 180°
SI un quadrilatère est un parallélogramme ALORS deux angles consécutifs sont supplémentaires.