Représentation numérique de l`information : les entiers relatifs

Représentation numérique de l’information : les entiers relatifs
Introduction Addition de deux nombres binaires
Pour ajouter deux nombres binaires, on procède comme en base 10 :
3
autre exemple
0011
+1
+
4
3
0001
+3
0100
6
0011
+
0011
0110
Comment représentier les entiers négatifs ?
Pour représenter les entiers négatifs (par exemple sur 8 bits), on a d’abord pensé à réserver le bit le
plus à gauche ( appelé bit de poids fort) pour le signe ( 0 pour positif et 1 pour négatif).
Ainsi on écrirait 0000 0010 = 2 et 1000 0010 = -2
bits de poids fort
Malheureusement, l’algorithme d’addition de deux nombres binaires conduirait à une erreur :
3
+ (-2)
1
0000 0011
+
1000 0010
1 0 0 0 0 1 0 1 = -5 !!
De plus il existerait 2 zéros : 0000 0000 = 0 et 1000 0000 = -0
Pour cette raison, une autre méthode a été choisie. Avec 8 bits, on peut coder 28 = 256 nombres. On
peut donc coder 128 nombres « positifs »( de 0 à 127) et 128 nombres négatifs ( de -1 à -128).
Sur 8 bits :
 Si l’entier x est positif ou nul, on le représente comme l’entier naturel x ;
 Si l’entier x est négatif, on le représente comme l’entier naturel x + 28.
Exemples :
125 est positif et compris entre 0 et 127. On le représente comme l’entier naturel 125 : 0111 1101(2)
-128 est un nombre négatif compris entre -128 et -1. On le représente comme l’entier
naturel -128+28 = 128 : 1000 0000(2).
Exercice 1 :


Trouver la représentation binaire sur huit bits des entiers 0 et -1.
Trouver la représentation binaire sur huit bits des entiers 127 et -127.
Sur 8 bits :
Si un entier x est donné par un mot binaire m, on commence par calculer l’entier
naturel p représenté par ce mot.
 Si 0 ≤p ≤127 alors l’entier cherché est x est égal à p ;
 Si 127≤ p ≤ 255 alors l’entier recherché est p – 28 = p – 256.
Exemple :
Trouver la représentation décimale des entiers relatifs dont les représentations binaires sur 8 bits sont
0000 0111 et 1000 1101
0000 0111 est la représentation de l’entier 7 qui est compris entre 0 et 127. L’entier est donc 7.
1000 1101 est la représentation de l’entier 141 qui est compris entre 127 et 255. C’est donc un
nombre négatif égal à 141 – 256 = -115.
Exercice 2 :
Trouver la représentation décimale des entiers relatifs dont les représentations binaires sur 8 bits sont
0111 1111 et 1000 0001
Si un entier x est représenté par un mot binaire m, on obtient la représentation de
l’opposé de x en réalisant « le complément à 2n » :
 On inverse chaque bit ;
 on ajoute 1 au résultat.
Exemple :
1111 0111
8 = 0000 1000. On inverse les bits : 1111 0111 et on ajoute 1 :
+
1
1 1 1 1 1 0 0 0 = -8