3e RACINE CARREE DEFINITION L’équation x² = 16 a deux solutions : 4 et -4. En effet, 4² = 16 et (-4)² = (-4) × (-4) = 16 (règle des signes …) Cette équation a donc deux solutions qui sont opposées. 4 est la solution positive : on l’appelle la racine carrée de 16 et on note cela : 4 = 16. Si a est un nombre positif, alors l’équation x² = a possède deux solutions opposées : a (se lit : racine carrée de a) désigne la solution positive (le symbole … s’appelle radical) ; la solution négative est donc - a. Exemple : 144 = 12 car 12 est la solution positive de l'équation x² = 144. Par contre -4 est impossible puisque l’équation x² = - 4 n’a pas de solution ; en effet le carré d’un nombre positif ou d’un nombre négatif ne peut pas donner un nombre négatif (encore la règle des signes…) ! Remarque : un nombre dont la racine carrée est un nombre entier s’appelle un carré parfait. Par exemple 16 est un carré parfait puisque 16 = 4. Par contre 20 n’en est pas un car 20 ≈ 4,4 (troncature au dixième). RACINE CARREE D’UN PRODUIT Si a et b sont deux nombres positifs, alors on a : a× b = a × b . Exemple : 3 × 5 = 3 × 5 = 15. RACINE CARREE D’UN QUOTIENT Si a et b sont deux nombres positifs avec b ≠ 0, alors on a : a = b 21 a . Exemple : = b 3 21 = 7. 3 RACINE CARREE D’UNE SOMME OU D’UNE DIFFERENCE Il n’existe aucune formule pour calculer a + b ou a – b. En effet, 9 + 16 = 3 + 4 = 7 alors que 9 + 16 = 25 = 5, donc 9 + 16 ≠ 9 + 16. De même 25 – 16 = 5 – 4 = 1 alors que 25–16 = 9 = 3, donc 25 – 16 ≠ 25–16. RACINE CARREE D’UN CARRE / CARRE D’UNE RACINE CARREE Si a est un nombre positif alors on a : ( a )² = a .et a² = a Exemple : ( 3 )² = 3 et 7² = 7. DANS LA PRATIQUE 2 sous la forme d’une fraction dont le dénominateur est entier : 3 2 2× 3 2 3 Je multiple le numérateur et le dénominateur par 3 (les deux fractions restent donc égales) : = = . 3 3 3× 3 Ecrire la fraction Ecrire 75 sous la forme a b avec a et b entiers et b le plus petit possible : Je décompose 75 en essayant d’extraire le plus grand carré parfait possible : 75 = 25 × 3. J’applique la formule a× b = a × b : 75 = 25 × 3 = 25 × 3 = 5 × 3 = 5 3 Ecrire 5 2 + 17 32 sous la forme a b avec a et b entiers et b le plus petit possible : 5 2 + 17 32 = 5 2 + 17 16 × 2 = 5 2 + 17 × 16 × 2 = 5 2 + 17 × 4 × 2 = 5 2 + 68 2 = 73 2. Ecrire 2 6 × 5 12 sous la forme a b avec a et b entiers et b le plus petit possible : 2 6 × 5 12 = 2 × 5 × 6 × 12 = 10 × 72 = 10 × 36 × 2 = 10 × 36 × 2 = 10 × 6 × 2 = 60 2. Collège Ambrussum M. CHAPON