96Séquence 4 SÉQUENCE 4 CALCUL LITTÉRAL Ce que tu devais faire Les commentaires du professeur Séance 1 JE RÉVISE LES ACQUIS DE LA 4 1) 3 e 1) On remplace x par 1 dans l’expression x2 – 2x + 1. On obtient : 12 – 2× 1 + 1 = 1 – 2 + 1 = 0. 2 1 0 2) x2 – 6 x2 + x – 6 x2 – 5x + 6 x2 – 5x – 6 2) L’expression (x + 3)(x – 2) est un produit de deux facteurs : x + 3 et x – 2. Elle est sous la forme d’un produit : on dit qu’elle est sous forme factorisée. On cherche à la développer, c’est-à-dire à l’exprimer sous la forme d’une somme. Pour cela, on utilise la double distributivité : (x + 3)(x – 2) = x × x – x × 2 + 3 × x – 3 × 2 (x + 3)(x – 2) = x2 – 2x + 3x – 6 = x2 + x – 6 3(y + 5) 3) Le produit considéré a deux facteurs : 3 et y + 5. Attention : si on écrit 3 × y + 5 , on écrit la somme de 3y et de 5. Il ne faut pas oublier les parenthèses ! 3y + 5 Le produit considéré est donc : 3 (y + 5). 3) 3 + 5y 3 (y + 5) = 3y + 3× 5 = 3y + 15 3y + 15 4) 4) L’expression proposée est une somme de deux termes : 8y2 et 3y 8(y + 3) 3(y + 8) On cherche un facteur commun à ces deux termes. y est un facteur commun à ces deux termes : 8 y× y + 3y y(8y + 3) 8y2 + 3y = y(8y + 3) 11y 96 – Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne Séquence97 4 EXERCICE 1 ● Je calcule le volume Vcylindre en cm3 du cylindre : Le volume d’un cylindre est le produit de l’aire de sa base par sa hauteur. Vcylindre = Abase × 20 = π × 22 × 20 = 4 π × 20 soit Vcylindre = 80 π cm3. ● La base est un disque de 2 cm de rayon. ● La hauteur est 20 cm. ● Je calcule le volume Vcône en cm3 du cône : Vcône = Abase × h 3 où h est la hauteur du cône, soit 30 cm. L’arrondi au dixième du volume en cm3 de ce cylindre est 251,3 cm3. Cet arrondi n’était pas demandé. Le volume d’un cône est le produit de l’aire de sa base par sa hauteur divisé par 3. ● L’aire de la base en cm2 est 4 π. ● La hauteur est 30 cm. L’aire de la base du cône est égale à celle du cylindre, soit 4π cm2. Vcône = 4π × 30 soit Vcône = 40 π cm3. L’arrondi au dixième du volume de ce cône en cm3 est 125,7 cm3. 3 Cet arrondi n’était pas demandé. ● Je calcule le volume V total en cm3 du solide : V = Vcône + Vcylindre = 40 π + 80 π = 120 π. Le volume total est 120 π cm3 soit environ 376,991 cm3 (arrondi au mm3). Le volume du solide est donc inférieur à 377 cm3. Pauline a raison. Pour exprimer simplement le volume total du solide, on factorise par π : ● l’expression 40 π + 80 π est une somme de deux termes, ● π est un facteur commun à ces deux termes. 40 π + 80 π = (40 + 80) π = 120 π. Attention : pour répondre à la question posée dans cet exercice, il est important de déterminer le volume exact du solide (120 π). Il faut pour cela travailler avec une lettre (la lettre π) : cela s’appelle faire du calcul littéral. Si on n’avait pas fait ce travail avec des expressions littérales, et que nous ayons ajouté des valeurs approchées au dixième de cm3 on aurait pu écrire : 251,3 cm3 + 125,7 cm3 = 377 cm3 On aurait pu alors écrire qu’Andry avait raison, mais nous nous serions trompés ! C’est pour cela que l’on travaille avec des valeurs exactes. Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne – 97 98Séquence 4 EXERCICE 2 1) Le problème ne paraît pas facile. Je ne sais pas ! 2) ● Pour x = 0 : (– x + 3)(2x – 5) = 3 × (–5) = –15 –2 x2 + 11x – 15 = –2 × 02 + 11 × 0 – 15 = – 15 Je trouve la même chose. Je ne peux donc pas résoudre le problème. 1) Quand on reste bloqué devant ce type de problème, il faut essayer de chercher de plusieurs façons : On peut commencer par faire des tests avec différentes valeurs. On peut également penser à utiliser le tableur, … Il y a en fait de nombreuses pistes à explorer. Plutôt que d’écrire « Le problème ne parait pas facile. Je ne sais pas », il vaut mieux décrire les tentatives de résolution avec des valeurs, le tableur, etc. 2) Pour la valeur 0, les nombres (– x + 3)(2x – 5) et –2 x2 + 11x – 15 sont égaux. ● Pour x = 2 : (– x + 3)(2x – 5) = (– 2 + 3)(2 × 2 – 5) = 1 × (–1) (– x + 3)(2x – 5) = – 1 –2 x2 + 11x – 15 = –2 × 22 + 11 × 2 – 15 –2 x2 + 11x – 15 = – 8 + 22 – 15 = – 1 Je trouve la même chose. Je ne peux donc pas résoudre le problème. ● Pour x = Pour la valeur 2, les nombres (– x + 3)(2x – 5) et –2 x2 + 11x – 15 sont encore égaux. 1 : 3 1 1 (– x + 3)(2x – 5) = − + 3 2 × − 5 3 3 1 9 2 15 8 −13 (– x + 3)(2x – 5) = − + − = × 3 3 3 3 3 3 104 (– x + 3)(2x – 5) = − 9 2 1 1 –2 x2 + 11x – 15 = −2 × + 11 × − 15 3 3 1 11 –2 x2 + 11x – 15 = −2 × + − 15 9 3 –2 x2 + 11x – 15 = 104 −2 33 15 × 9 + − =− 9 9 9 9 Je trouve la même chose. Je ne peux donc pas résoudre le problème. 98 1 , les nombres (– x + 3)(2x – 5) et 3 2 –2 x + 11x – 15 sont encore égaux. Pour la valeur – Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne Séquence99 4 ● À l’aide d’un tableur On a écrit dans la cellule B2 la formule suivante : « =(–A2+3)*(2*A2–5) » On a écrit dans la cellule C2 la formule suivante : « =–2*A2*A2+11*A2–15 » Pour n’importe quelle valeur rentrée dans A2, les cellules B2 et C2 afficheront alors les deux nombres voulus. Si tu n’arrives pas à utiliser le tableur dans cet exercice, ouvre le fichier d’animation sequence4exercice2corrigé. On remarque que pour de nombreuses valeurs (ici par exemple les entiers de 0 à 16), les deux nombres (– x + 3)(2x – 5) et –2 x2 + 11x – 15 sont encore égaux. On peut essayer avec de nombreux décimaux, on trouve encore que les nombres (– x + 3)(2x – 5) et –2 x2 + 11x – 15 sont égaux. ● Voici ma conjecture : « les nombres : (–x + 3)(2x – 5) et –2 x2 + 11x – 15 sont égaux ». Quand on écrit que les nombres (– x + 3)(2x – 5) et –2 x2 + 11x – 15 sont égaux, on sous-entend que ces nombres sont égaux pour n’importe quelle valeur de x. Ce n’est qu’une conjecture. Il va falloir essayer de la démontrer. 3) (– x + 3)(2x – 5) = –x × 2x + x × 5 + 3 × 2x – 3 × 5 (– x + 3)(2x – 5) = –2x2 + 5x + 6x – 15 (– x + 3)(2x – 5) = –2x2 + 11x – 15 3) On développe (– x + 3)(2x – 5) et on obtient : – 2 x2 + 11x – 15. les nombres : (–x + 3)(2x – 5) et –2 x2 + 11x – 15 sont donc égaux (sous entendu : pour n’importe quelle Cela prouve bien que ces deux nombres sont égaux, c’est-à-dire qu’ils sont égaux pour n’importe quelle valeur de x. valeur de x). On ne peut donc pas trouver une valeur de x pour laquelle les nombres (– x + 3)(2x – 5) et – 2x2 + 11x – 15 sont différents. Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne – 99 100 Séquence 4 EXERCICE 3 a) a) ● Les expressions ci-dessous sont développées : B = x2 + 3 E = 3u + (u+1) ● Les expressions ci-dessous sont factorisées : A = (z + 2)(3 – z) C = (x + 3)2 D = u(u + 1) F = (z + 5)(1 + 3z2) b) A = (z + 2)(3 – z) = z × 3 – z × z + 2 × 3 – 2 × z A = 3 z – z2 + 6 – 2 z A = – z2 + z + 6 C = (x + 3)2 = (x + 3) (x + 3) C=x×x+x×3+3×x+3×3 C = x2 + 3x + 3x + 9 C = x2 + 6 x + 9 B est la somme des deux termes : x2 et 3. E est la somme des deux termes : 3u et u + 1. A est le produit des deux facteurs : z + 2 et 3 – z. C est le produit des deux facteurs égaux : (x + 3) et (x + 3) D est le produit des deux facteurs : u et (u + 1) F est le produit des deux facteurs : (z + 5) et (1 + 3z2) b) Lorsque l’on regroupe les termes en z2, les termes en z, et les nombres, on dit que l’on réduit l’expression. On écrit généralement une expression dans l’ordre des puissances décroissantes : A = – z2 + z + 6 (plutôt que, par exemple : A = 6 – z2 + z) On pense à réduire l’expression C (ici, on peut). D = u(u + 1) = u × u + u × 1 D = u2 + u F = (z + 5)(1 + 3z2) F = z × 1 + z × 3 z2 + 5 × 1 + 5 × 3 z2 F = z + 3 z3 + 5 + 15 z2 F = 3 z3 + 15 z2 + z + 5 On pense à réduire l’expression F (ici, on ne peut pas). EXERCICE 4 A = 3u + 7u = (3 + 7) u = 10 u B=v+ 2 2 v = 7 2 v1 + v 7 C = 7l + 14 = 7(l + 2) B=v×1+v× 2 2 v = v 1 + v 7 7 C = 7 × l + 7 × 2= 7 (l + 2) D = (x + 1)(x + 6) – (x + 1)( –8 + 3x) D = ( x + 1) ( x + 6 − ( −8 + 3x ) ) L’expression D est la plus difficile à factoriser. D est la différence des deux termes : (x + 1)(x+6) et (x+1)(–8 +3x) D = ( x + 1)( x + 6 + 8 − 3 x ) = ( x + 1) ( −2 x + 14 ) (x + 1) est un facteur commun à ses deux termes. (x + 1)(x+6) – (x+1)(–8 +3x) = (x + 1)(x + 6 – (–8 +3x)) Il ne faut pas oublier les parenthèses autour de – 8 + 3x ! En effet, on soustrait le nombre –8 + 3x à x + 6, et pas seulement le nombre (–8). 100 – Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne 101 Séquence 4 Séance 2 EXERCICE 5 PARTIE 1 1) Je calcule l’aire de la surface dorée pour x = 0. Cette surface est un disque de rayon 1 cm. Son aire est donc : π r2 = π × 12 soit π cm2. On ne trouve pas 0, l’aire de la surface dorée n’est donc pas proportionnelle au rayon de la partie argentée. 2) 1er cas Apiece = π (1 + 0,5)2 = π ×1,52 = 2,25 π Aargent = π × 0,52 = 0,25 π Adorée = 2,25 π – 0,25 π soit : Adorée = 2 π cm2. 1) Ce qui est écrit est juste. Si deux grandeurs sont proportionnelles, quand l’une est nulle, l’autre l’est aussi. Ce n’est pas le cas ici : les deux grandeurs ne sont donc pas proportionnelles. On pouvait également remarquer que les grandeurs ne sont pas proportionnelles de bien d’autres façons, nous allons le voir par la suite. 2) Pour calculer l’aire de la surface dorée, on effectue la différence : aire du grand disque – aire du petit disque. L’aire en cm2 d’un disque de rayon r cm est πr2. 2ème cas Apiece = π (1 + 1)2 = π × 22 = 4 π Aargent = π × 12 = π Adorée = 4 π – π soit : Adorée = 3 π cm2. Si on double le rayon de la partie argentée (en passant de 0,5 cm à 1 cm), l’aire de la surface dorée ne double pas (elle n’est pas égale à 2 × 2 π cm2 soit 4 π cm2). L’aire de la surface dorée n’est donc pas proportionnelle au rayon de la partie argentée. On vient de voir une deuxième façon de prouver que l’aire de la surface dorée n’est pas proportionnelle au rayon de la partie argentée. Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne – 101 102 Séquence 4 PARTIE 2 1) Je ne sais pas. 1) Il ne faut pas répondre de cette façon à ce type de question. Il faut écrire les pistes de recherches (même si cela n’a abouti à rien). Par exemple : J’ai essayé de représenter d’autres pièces et de refaire le calcul de l’aire de la surface dorée dans chaque cas. J’ai essayé pour un rayon de 2 cm, 3 cm, 4 cm, mais je n’ai pas trouvé 4π cm2. 2) a) a) Je cherche à déplacer le point A afin d’obtenir une aire dorée égale à 4 π cm2, c’est-à-dire environ égale à 12,57 cm2. La géométrie dynamique permet d’établir une conjecture : « si AB = 1,5 cm l’aire dorée est 4π cm2. Il semble que si AB = 1,5 cm, l’aire dorée soit environ égale à 4 π cm2. b) b) Apiece est l’aire de la pièce en cm2. Apiece = π (1 + x)2 La pièce est un disque de rayon 1 + x. L’aire d’un disque de rayon 1 + x est π (1 + x)2. (1 + x)2 = (1 + x)(1 + x) = 1 × 1 + 1 × x + x × 1 + x × x On développe (1 + x)2 à l’aide de la formule de double (1 + x)2 = 1 + x + x + x2 = x2 + 2x + 1 distributivité. Apiece = π (x2 + 2x + 1) Aargent est l’aire de la partie argentée de la pièce en cm2. Aargent = π x 2 A = Apiece – Aargent A = π × (x2 + 2x + 1) – π × x 2 A = π × (x2 + 2x + 1 – x 2) A = π (2x + 1) 102 La partie argentée est un disque de rayon x. Les termes en x2 s’éliminent. – Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne 103 Séquence 4 c) ● Je résous le problème en résolvant une équation. On a vu dans la question 2c) que l’aire de la partie dorée est π (2x + 1). c) Répondre au problème, c’est résoudre l’équation : π(2 x + 1) = 4π Pour déterminer toutes les solutions du problème (s’il y en a plusieurs), on résout l’équation : π (2x + 1) = 4π. On peut rapidement voir que si x = 1,5 on a : π (2x + 1) = 4π On en déduit donc une solution du problème. π(2 x + 1) = 4π π(2 x + 1) 4π = π π 2x + 1 = 4 2x = 3 3 2 x = 1,5 x= Le problème n’a qu’une solution. La valeur de x pour laquelle l’aire de la surface dorée est égale à 4 π cm2 est 1,5 cm. ● Je résous le problème à l’aide de la méthode graphique. x 0 0,5 1 1,5 2 2,5 A 3,1 6,3 9,4 12,6 15,7 18,9 Pour x = 1,5 on obtient : A = π (2×1,5 + 1) = 4 π Existe-t-il d’autres valeurs de x pour lesquelles l’aire de la surface dorée est égale à 4 π cm2 ? Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne – 103 104 Séquence 4 D’après le graphique, il semble qu’il n’y ait aucune autre valeur que 1,5 cm pour laquelle A est environ égale à 12,6 cm2. Les commentaires du professeur : Les points semblent alignés, mais pas avec l’origine. Les grandeurs x et A ne sont pas proportionnelles car les points ne sont pas alignés avec l’origine du repère. On retrouve à l’aide de ce graphique la réponse au problème de la partie 1. 104 – Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne 105 Séquence 4 Séance 3 EXERCICE 6 1) J’ai calculé les deux expressions pour une 1ère valeur de x. J’ai trouvé le même nombre. J’ai calculé les deux expressions pour une 2ème valeur de x et j’ai à nouveau trouvé le même nombre. J’ai l’impression que les deux nombres sont égaux pour n’importe quelle valeur de x mais je ne sais pas comment le démontrer. 2) ● Pour x = 0 (x + 4)2 = (0 + 4)2 = 42 = 16 x2 + 8x + 16 = 02 + 8×0 + 16 = 16 1) Il est déjà bon d’avoir trouvé une conjecture. Comment la démontrer ? Peut-on développer (x + 4)2 ? 2) On calcule (x + 4)2 et x2 + 8x + 16 pour différentes valeurs de x. ● Pour x = 1 (x + 4)2 = (1 + 4)2 = 52 = 25 x2 + 8x + 16 = 12 + 8×1 + 16 = 1 + 8 + 16 = 25 ● Pour x = 2 (x + 4)2 = (2 + 4)2 = 62 = 36 x2 + 8x + 16 = 22 + 8×2 + 16 = 4 + 16 + 16 = 36 A chaque fois, on obtient des nombres (x + 4)2 et x2 + 8x + 16 égaux. ● Voici ce que j’obtiens à l’aide d’un tableur : On teste un très grand nombre de valeurs à l’aide d’un tableur. On peut aussi tester un grand nombre de valeurs décimales non entières, comme 4,56 ou 7,8 998. On trouve à chaque fois deux nombres égaux. ● Voici ma conjecture : « les deux nombres (x + 4)2 et x2 + 8x + 16 sont égaux pour n’importe quelle valeur de x. » 3) (x + 4)2 = (x + 4)( x + 4) (x + 4)2 = x × x + x × 4 + + 4 × x + 4 × 4 (x + 4)2 = x2 + 4x + 4x + 16 (x + 4)2 = x2 + 8x + 16 Les deux nombres (x + 4)2 et x2 + 8x + 16 sont égaux pour n’importe quelle valeur de x. 3) On développe et on réduit (x + 4)2. Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne – 105 106 Séquence 4 EXERCICE 7 A = (x + 3)2 A = x 2 + 2 × x × 3 + 32 A = x2 + 6x + 9 On applique la 1ère identité remarquable. B = (2u + 5)2 B = (2u)2 + 2 × 2u × 5 + 52 B = 4u2 + 20u + 25 On applique la 1ère identité remarquable. C = (3v + 2)2 C = (3v)2 + 2 × 3v × 2 + 22 C = 9v2 + 12v + 4 On applique la 1ère identité remarquable. D = (z + 1)2 D = z 2 + 2 × z × 1 + 12 D = z 2 + 2 z + 12 On applique la 1ère identité remarquable. EXERCICE 8 1012 = (100 + 1)2 = 1002 + 2 × 100 × 1 + 12 1012 = 10 000 + 200 + 1 1012 = 10 201. EXERCICE 9 Il suffisait de se dire : 101, c’est 100 plus 1 puis d’appliquer la 1ère identité remarquable. On applique la 1ère identité remarquable dans les quatre cas. 2 E = (5y + 3) E = (5y)2 + 2 × 5y × 3 + 32 E = 25y2 + 30y + 9 F = (2 + 3z)2 F = 22 + 2 × 2 × 3z + (3z)2 F = 4 + 12z + 9z2 F = 9z2 + 12z + 4 1 G = 8x + 4 2 1 1 G = (8 x) + 2 × 8 x × + 4 4 1 G = 64 x 2 + 4 x + 16 La 1ère égalité remarquable s’applique également avec des fractions. 2 2 1 H = + 7t 3 2 2 1 1 H = + 2 × × 7t + (7t )2 3 3 1 14 H = + t + 49t 2 9 3 14 1 H = 49t 2 + t + 3 9 106 – Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne 107 Séquence 4 EXERCICE 10 1) 1) J’ai fait de nombreux essais à l’aide d’un tableur. Ma conjecture est la suivante : « le carré d’un nombre impair est un nombre impair ». Pour faire des démonstrations dans ce genre de cas, il faut penser Je ne sais pas comment la démontrer ! au calcul littéral ! 2) 12 = 1 32 = 9 52 = 25 72 = 49 2) Le carré d’un nombre impair semble être toujours impair. Cette idée se confirme en voyant le calcul des carrés des 24 premiers nombres impairs ci-contre (de 1 à 47). Il semble que le carré d’un nombre impair soit un nombre impair. Voici ma conjecture : « le carré d’un nombre impair est impair ». 3) (2n + 1)2 = (2n)2 + 2×2n×1 + 12 = 4n2 + 4n + 1 (2n + 1)2 = 2 × (2n2 + 2n) + 1 3) On développe (2n + 1)2 à l’aide de la 1ère identité remarquable. Comme n est un entier, 2n2 + 2n est un entier. (2n + 1)2 est donc de la forme : 2 × « entier » + 1 2 × « entier » est un nombre pair. 2 × « entier » + 1, c’est-à-dire l’entier que le suit, est donc impair. Le carré d’un nombre impair est donc un nombre impair. Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne – 107 108 Séquence 4 Séance 4 EXERCICE 11 1) 1) La méthode qui consiste à « faire des tests » en construisant différentes figures est bonne. On cherche à construire un triangle rectangle dont un côté de l’angle droit mesure 4 cm et l’autre mesure 3 cm de moins que l’hypoténuse. ● 1er cas : On construit donc un triangle dont un côté de l’angle droit mesure 4 cm, et un autre côté de mesure choisie. Je mesure l’hypoténuse. Je trouve environ 4,5 cm. 4,5 – 2 = 2,5. Je ne trouve pas 3 cm. ●2 ème cas : On construit ensuite l’hypoténuse que l’on mesure. On regarde alors si le dernier côté de l’angle droit tracé mesure 3 cm de moins que l’hypoténuse, c’est-à-dire si la différence entre la longueur de l’hypoténuse et celle de ce côté est égale à 3 cm. Je mesure l’hypoténuse. Je trouve environ 4,1 cm. 4,1 – 1 = 3,1. Je ne trouve pas 3 cm ● 3ème cas : Je mesure l’hypoténuse. Je trouve environ 4,3 cm. 4,3 – 1,5 = 2,8. Je ne trouve pas 3 cm Voici ma conjecture : « Il n’existe pas de triangle rectangle répondant au problème ». Je n’arrive pas à la démontrer ! 2) a) Voir ce qui a été fait ci-dessus. Voici ci-dessous un autre cas : Dans chacun des trois cas, on n’a pas trouvé une différence égale à 3 cm. On est donc tenté de dire que le problème n’a pas de réponse. C’est faux ! La conjecture écrite ci-contre est donc fausse. Il faut donc faire attention et ne pas hésiter à faire un grand nombre de tests. Pour cela, l’idéal est la géométrie dynamique. 2) a) En testant d’autre cas, on peut penser que si le 2ème côté de l’angle droit mesure 1,1 cm, on trouve bien 3 cm de différence entre l’hypoténuse et ce côté. Je mesure l’hypoténuse. Je trouve environ 4,1 cm. 4,1 – 1,1 = 3. Je trouve environ 3 cm. Voici ma conjecture : « Il existe au moins un triangle rectangle répondant au problème. Les côtés adjacents à l’angle droit mesurent 4 cm pour l’un et environ 1,1 cm pour l’autre ». 108 Si on fait le calcul, on peut voir que si l’on choisit exactement 1,1 cm, le triangle ne répond pas au problème. En effet, le triangle étant rectangle, d’après la propriété de Pythagore, le carré de l’hypoténuse est égal à : 42 + 1,12 soit 17,21. L’hypoténuse mesure donc environ 4,15 cm et non 4,1 cm comme mesuré. – Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne 109 Séquence 4 b) b) La géométrie dynamique confirme ce que nous avons vu précédemment : il semble qu’il y ait un seul triangle rectangle répondant au problème. Les côtés adjacents à l’angle droit mesurent 4 cm pour l’un et environ 1,17 cm pour l’autre. Il semble qu’il existe un triangle répondant au problème. Le côté [AC] mesure environ 1,17 cm. 3) a) BC2 = x2 AC2 = (x – 3)2 3) a) b) On a vu en classe de 4e, d’après la propriété de Pythagore et sa réciproque, que le triangle ABC était rectangle seulement dans le cas où : BC2 = AC2 + AB2 c’est-à-dire : On va donc chercher à résoudre l’équation : x2 = (x – 3)2 + 42 x2 = (x – 3)2 + 42 c) Je résous l’équation : [AC] mesure 3 cm de moins que l’hypoténuse. D’où : AC = x – 3 On a donc : AC2 = (x – 3)2 b) c) 2 2 x = (x – 3) + 4 2 x 2 = ( x − 3) 2 + 42 x 2 = ( x − 3)( x − 3) + 16 Je développe (x – 3)2 x 2 = x × x − 3 × x − 3 × x + 3 × 3 + 16 x 2 = x 2 − 6 x + 9 + 16 x 2 = x 2 − 6 x + 25 x 2 − x 2 + 6 x − 25 = 0 6 x = 25 x= Les termes en x2 se simplifient. 25 6 x est donc environ égale à 4,167 cm (arrondi à 10–3 près) 25 25 18 7 x–3= −3= − = 6 6 6 6 Il existe un seul triangle répondant au problème. Ses côtés ont pour longueur : 25 7 4 cm ; cm ; cm. 6 6 L’hypoténuse mesure donc environ 4,167 cm. Le deuxième côté adjacent à l’angle droit mesure environ 1,167 cm. Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne – 109 110 Séquence 4 Séance 5 EXERCICE 12 ( x − y )2 = ( x + (− y ) ) = x 2 + 2 × x × (− y) + (− y ) 2 2 ( x − y ) = x − 2 xy + (− y ) × (− y ) 2 2 ( x − y )2 = x 2 − 2 xy + y 2 Cette première méthode consiste à écrire : (x – y)2 = (x + (– y))2 puis à utiliser la 1ère identité remarquable. On pouvait également procéder de la façon suivante : (x – y)2 = (x – y)(x – y) = x × x – x × y – y × x + y × y (x – y)2 = x2 – xy – yx + y2 (x – y)2 = x2 – xy – xy + y2 = x2 – 2xy + y2 Cette égalité est appelée 2ème identité remarquable. EXERCICE 13 A = (u – 5)2 A = u2 – 2 × u × 5 + 5 2 A = u2 – 10u + 25 On applique la 2ème identité remarquable. B = (7 – v)2 B = 72 – 2 × 7 × v + v2 B = 49 – 14v + v2 B = v2 – 14v + 49 On applique la 2ème identité remarquable. C = (3s – 4)2 C = (3s)2 – 2 × 3s × 4 + 42 C = 9s2 – 24s + 16 On applique la 2ème identité remarquable. D = (s – 1)2 + (s + 1)2 D = s2 – 2 × s × 1 + 12 + s2 + 2 × s × 1 + 12 D = s 2 – 2s + 1 + s 2 + 2s + 1 D = 2s 2 + 2 EXERCICE 14 992 = (100 – 1)2 992 = 1002 – 2 × 100 × 1 + 12 992 = 10 000 – 200 + 1 992 = 9 801 On applique la 2ème identité remarquable pour développer (s – 1)2 et la 1ère identité remarquable pour développer (s + 1)2. Il fallait se dire : « 99 c’est 100 – 1 » puis penser à utiliser la 2ème identité remarquable. EXERCICE 15 1) 1) J’ai calculé (x – 1)(x + 1) pour différentes valeurs de x. Voici ma conjecture : « (x – 1)(x + 1) est toujours supérieur ou égal à – 1 ». Le début de réponse proposé ci-contre est très correct. Il aurait fallu toutefois écrire les calculs de (x – 1)(x + 1) pour différentes valeurs de x. (x – 1)(x + 1) = x × x + x × 1 – x × 1 – 1 × 1 (x – 1)(x + 1) = x2 + x – x – 1 (x – 1)(x + 1) = x2 – 1 Le développement de (x – 1)(x + 1) est juste. Je n’arrive pas à conclure. Il reste à étudier si x2 – 1 est bien supérieur ou égal à – 1. 110 – Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne 111 Séquence 4 2) 2) Je calcule (x – 1)(x + 1) pour différentes valeurs de x : ● pour x = –1 (x – 1)(x + 1) = (– 2)×0 = 0 ● pour x = 0 (x – 1)(x + 1) = (– 1)×1 = – 1 On a calculé ci-contre (x – 1)(x + 1) pour quatre valeurs différentes de x. ● pour x = 1 (x – 1)(x + 1) = 0 × 2 = 0 ● pour x = 2 (x – 1)(x + 1) = 1 × 3 = 3 Sur ces exemples, je n’ai jamais trouvé moins de – 1. Je calcule (x – 1)(x + 1) pour différentes valeurs de x à l’aide d’un tableur : On pouvait également tester des valeurs décimales non entières : – 2,478 ; 10,002 345. On trouve à chaque fois un nombre (x – 1)(x + 1) plus grand ou égal à – 1. (x – 1)(x + 1) semble être égal à – 1 uniquement quand x est égal à 0. Il semble que l’on ne puisse jamais obtenir moins de – 1. Voici ma conjecture : « le nombre (x – 1)(x + 1) ne peut pas être inférieur à – 1 ». Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne – 111 112 Séquence 4 3) a) (x – 1)(x + 1) = x × x + x × 1 – x × 1 – 1 × 1 (x – 1)(x + 1) = x2 + x – x – 1 (x – 1)(x + 1) = x2 – 1 b) Un « nombre x au carré » est toujours positif ou nul. Ainsi, quel que soit le nombre x : x2 ≥ 0. 3) a) Les termes en x s’éliminent. b) x2 ≥ 0 donc : x2 – 1 ≥ 0 – 1 soit : x2 – 1 ≥ – 1 Un « nombre au carré » moins 1 est supérieur ou égal à – 1. c) (x – 1)(x + 1) = x2 – 1 (x – 1)(x + 1) est donc toujours plus grand ou égal à – 1. c) Bilan de l’exercice : On a réussi à résoudre un problème en utilisant l’égalité : (x – 1)(x + 1) = x2 – 1 EXERCICE 16 (x + y)(x – y) = x × x – x × y + y × x – y × y (x + y)(x – y) = x2 – xy + yx – y2 (x + y)(x – y) = x2 – xy + xy – y2 (x + y)(x – y) = x2 – y2 Les termes en xy s’éliminent. Nous appellerons cette égalité la 3ème identité remarquable. EXERCICE 17 98 × 102 = (100 – 2)(100 + 2) 98 × 102 = 1002 – 22 98 × 102 = 10 000 – 4 98 × 102 = 9 996 112 Il suffisait de voir que 98 = 100 – 2 et 102 = 100 + 2. On pouvait aussi calculer le produit 98 × 102 de la façon suivante : 98 × 102 = 98 × (100 + 2). – Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne 113 Séquence 4 Séance 6 EXERCICE 18 périmètre en cm du carré ABCD Le côté de ce carré est : x + 2. Le périmètre est donc : 4(x + 2) 1) On calcule le périmètre du carré ABCD en fonction de x. Le périmètre d’un carré est quatre fois son côté. On n’oublie pas les parenthèses : c’est 4(x + 2) et non 4x + 2. périmètre en cm du rectangle KLMN Deux côtés consécutifs de ce rectangle ont pour longueur x et 3 Le périmètre est donc : 2(x + 3) On calcule le périmètre du rectangle KLMN en fonction de x. Si l et L sont la largeur et la longueur d’un rectangle, son périmètre est 2 (l + L). On cherche x tel que : 4(x + 2) = 2(x + 3) On traduit le problème à l’aide d’une équation. 4( x + 2) = 2( x + 3) On résout cette équation. 4x + 8 = 2x + 6 4x − 2x = 6 − 8 2 x = −2 x = −1 La seule valeur de x pour laquelle 4(x + 2) est égal à 2(x + 3) est – 1. Ce nombre ne peut pas être une longueur, le périmètre du carré ABCD ne peut donc pas être égal au périmètre du rectangle KLMN. On conclut. EXERCICE 19 1 2 1 x + = 3− x 2 5 3 1 1 2 x + x = 3− 2 3 5 13 1 1 + x = 2 3 5 5 13 x= 6 5 6 13 x= × 5 5 78 x= 25 On regroupe les nombres qui dépendent de x. 2 15 2 13 = − = 5 5 5 5 1 1 3 2 5 + = + = 2 3 6 6 6 3− On factorise par x le membre de gauche. Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne – 113 114 Séquence 4 EXERCICE 20 1) 1) 2) a) (– 2)2 = (–2) × (– 2) = 4 22 = 4 2) a) Il est simple de vérifier que 2 et − 2 sont des solutions de l’équation : x2 = 4. – 2 et 2 sont solutions de l’équation : x2 = 4. b) Clément cherche à résoudre l’équation : x2 = 4 Il paraît « évident » qu’il n’y ait pas d’autres nombres dont le carré soit 4, mais saurais-tu le démontrer ? b) Nous cherchons le lien entre l’équation : x2 = 4 et l’équation que Clément souhaite résoudre : (x − 2)(x + 2) = 0. x2 = 4 x2 − 4 = 0 x 2 − 22 = 0 ( x + 2)( x − 2) = 0 c) ● Si x – 2 = 0 on a : (x + 2) × (x – 2) = (2 + 2) × (2 – 2) = 4 × 0 = 0 On factorise l’expression x2 − 22 à l’aide de la 3ème identité remarquable : a2 − b2 = (a + b)(a − b). Ici, on a : a égal à x b égal à 2. On trouve : (x + 2)(x − 2). c) ● Si x − 2 = 0, alors on a : (x + 2)(x − 2) = 0 Si x + 2 = 0 on a : (x + 2) × (x – 2) = (– 2 + 2) × (– 2 – 2) = 0 × (– 4) = 0 Si x + 2 = 0, alors on a : (x + 2)(x − 2) = 0 ● Le produit de deux nombres différents de 0 semble ne jamais être égal à 0. Je l’admets. ● On admettra que le produit de deux nombres différents de 0 est différent de 0. Le produit (x + 2)×(x – 2) ne peut donc être égal à 0 que si : x + 2 = 0 ou : x – 2 = 0. Les deux seules solutions de l’équation : (x + 2)×(x – 2) = 0 sont donc – 2 et 2. Les deux seules solutions de l’équation : x2 = 4 sont donc – 2 et 2. 114 Bilan de l’exercice : On a réussi à résoudre une équation à l’aide d’une factorisation. Pour factoriser, on a utilisé la 3ème identité remarquable : a2 – b2 = (a + b)(a – b). Ensuite, on a vu que pour résoudre une équation du type : (a + b)(a – b) = 0 on résolvait séparément les équations : ● a+b=0 ● a–b=0 – Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne 115 Séquence 4 EXERCICE 21 a) a) x = 36 2 x − 36 = 0 2 On applique la méthode détaillée dans la rubrique : « Je comprends la méthode » précédente. x 2 − 62 = 0 On factorise x2 – 62 ( x + 6)( x − 6) = 0 x+6=0 d’où : x = – 6 On résout les équations : x + 6 = 0 et x–6=0 d’où : x = 6 Je vérifie : (– 6)2 = 36 62 = 36 Les deux solutions de l’équation : x2 = 36 sont – 6 et 6. b) (2y + 1)(3y – 2) = 0 2y +1 = 0 2 y = −1 y=− x – 6 = 0. On vérifie que – 6 et 6 sont solutions de : (x + 6)(x – 6) = 0. On conclut. b) On applique la méthode détaillée dans la rubrique : « Je comprends la méthode » précédente. 3y − 2 = 0 3y = 2 1 2 y= 2 3 Je vérifie : 1 1 1 2 2 2 2 2 2 ● 2 × + 1 3 × − 2 = (2 × + 1) × 0 = 0 3 3 3 ● 2 × (− ) + 1 3 × (− ) − 2 = 0 × 3 × (− ) − 2 = 0 Les deux solutions de l’équation : 2 1 (2y + 1)(3y – 2) = 0 sont − et − . 3 2 c) 1 1 − z + 4 8 − z = 0 4 3 1 1 8− z =0 − z+4=0 3 4 1 1 − z = −4 8= z 3 4 z = 4×8 z = (−3) × (−4) z = 32 z = 12 Je vérifie : 1 1 1 ● − × 12 + 4 8 − × 12 = 0 × 8 − × 12 = 0 4 4 3 1 1 1 ● − × 32 + 4 8 − × 32 = − × 32 + 4 × 0 = 0 4 3 3 c) On applique la méthode détaillée dans la rubrique : « Je comprends la méthode » précédente. 12 et 32 sont les solutions de l’équation : 1 1 − 3 z + 4 8 − 4 z = 0 . Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne – 115 116 Séquence 4 EXERCICE 22 ( x − 2) 2 = 9 ( x − 2) 2 − 9 = 0 ( x − 2) 2 − 32 = 0 On écrit le membre de gauche sous la forme a2 – b2. On a : ● a égal à (x – 2) ● b égal à 3 On écrit des parenthèses autour de x – 2 puis dans un deuxième temps, on les enlève en utilisant les règles de suppression des parenthèses. ( ( x − 2) − 3)( ( x − 2) + 3) = 0 ( x − 2 − 3)( x − 2 + 3) = 0 ( x − 5)( x + 1) = 0 x−5=0 x=5 On obtient alors une équation produit. x +1 = 0 x = −1 Je vérifie : ● (5 – 2)2 = 32 = 9 ● (– 1 – 2)2 = (– 3)2 = 9 – 1 et 5 sont les solutions de l’équation : (x – 2)2 = 9. On conclut. 116 – Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne 117 Séquence 4 Séance 7 EXERCICE 23 1) 1) J’ai construit différentes figures. J’ai remarqué que si M était au milieu de [AB], on avait la figure suivante : Cette réponse est tout à fait correcte ! On pouvait également le voir à l’aide de la géométrie dynamique. On en reste par contre avec cet outil à une conjecture. Les carrés AMNO et MBRS ont le même côté ( AB 2 soit 5 cm). L’aire de chacun de ces carrés est donc 25 cm2. La somme des deux aires est égale à 50 cm2. C’est bien la moitié de 100 cm2, qui est l’aire du grand carré. On voit grâce à la géométrie dynamique que cette solution semble être la seule. On va dans la suite de l’exercice démontrer que le seul cas pour lequel la somme des aires du carré AMNO et MBRS est égale à la moitié de l’aire du carré ABCD est celui où M est au milieu de [AB]. 2) a) 2) a) MB = 10 – x Attention ! L’aire en cm2 du carré MBRS n’est pas 10 − x2. ● AAMNO = x2 ● AMBRS = (10 – x)2 b) b) AABCD = 102 = 100 Le carré ABCD est un carré de 10 cm de côté. c) La moitié de l’aire en cm2 du carré ABCD est 50. c) AAMNO + AMBRS = x2 + (10 – x)2 On calcule la somme des aires des carrés AMNO et MBRS. On cherche donc x tel que : x2 + (10 – x)2 = 50 On traduit le problème à l’aide d’une équation. x 2 + (10 − x) 2 = 50 x 2 + 102 − 2 × 10 × x + x 2 = 50 x 2 + 100 − 20 x + x 2 = 50 2 x 2 − 20 x + 50 = 0 1 1 × (2 x 2 − 20 x + 50) = × 0 2 2 2 x − 10 x + 25 = 0 On multiplie par 1 les deux membres de l’équation. 2 On trouve bien l’équation proposée. Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne – 117 118 Séquence 4 3) a) – 2 × x × 5 = – 10 x 52 = 25 3) a) D’où : x2 – 10x + 25 = x2 – 2 × x × 5 + 52 b) x2 – 2 × x × 5 + 52 = (x – 5)2 Les deux nombres x2 − 10x + 25 et x2 − 2 × x × 5 + 52 sont égaux. b) On utilise la 2ème égalité remarquable : a2 − 2ab + b2 = (a − b)2 avec : • a égal à x • b égal à 5 On trouve : (a − b)2 soit (x − 5)2 D’où : x2 – 10x + 25 = (x – 5)2 c) L’équation : (x − 5)2 = 0 est une équation produit particulière : les deux facteurs sont égaux. c) 2 (x – 5) = 0 (x – 5) × ( x – 5) = 0 x−5=0 x−5=0 x=5 x=5 À l’avenir, on ne sera pas obligé de résoudre deux fois la même équation comme on l’a fait ci-contre : on peut très bien l’écrire une seule fois. Je vérifie : (5 – 5)2 = 02 = 0. 5 est l’unique solution de l’équation : (x – 5)2 = 0. d) d) D’après la question précédente, 5 est l’unique solution Résoudre le problème, c’est déterminer s’il existe une valeur de l’équation : (x – 5)2 = 0. 2 D’après la question 2c), 5 est donc l’unique solution de l’équation : x2 – 10 x + 25 = 0. 5 est donc l’unique solution au problème : La somme des aires du carré AMNO et du carré MBRS est égale à la moitié de celle du carré ABCD uniquement si la longueur AM est de 5 cm. 118 positive de x pour laquelle : x − 10 x + 25 = 0, C’est-à-dire : (x − 5)2 = 0. Conclusion : On vient de voir qu’une identité remarquable pouvait permettre de résoudre un problème ! En effet, la 2ème identité remarquable nous a permis de factoriser une expression et d’obtenir alors une équation produit que l’on sait résoudre ! – Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne 119 Séquence 4 EXERCICE 24 a) a) 9 x 2 − 24 x + 16 = 0 (3 x)2 − 2 × (3 x) × 4 + 42 = 0 On essaie de voir si l’on peut écrire 9x2 − 24x + 16 sous la forme a2 − 2ab + b2. 9x2 = (3x)2 16 = 42 24x = 2 × (3x) × 4 Oui, on a bien une expression de la forme a2 − 2ab + b2 avec : a = 3x et b = 4 (3x − 4) 2 = 0 3x − 4 = 0 3x = 4 4 x= 3 b) b) On essaie de voir si l’on peut écrire 4y2 + 20y + 25 comme une expression de la forme a2 + 2ab + b2. 4y2 = (2y)2 25 = 52 20y = 2 × (2y) × 5 Oui, on a bien une expression de la forme a2 + 2ab + b2 avec : a = 2y et b = 5 4 y 2 + 20 y + 25 = 0 (2 y ) 2 + 2 × (2 y ) × 5 + 52 = 0 (2 y + 5)2 = 0 2y + 5 = 0 2 y = −5 y=− 5 2 c) c) 4v − 1 = 0 2 On essaie de voir si l’on peut écrire 4v2 − 1 comme une expression de la forme a2 − b2. Oui ! On a bien une expression de la forme a2 − b2 avec : a = 2v et b = 1 (2v) 2 − 12 = 0 (2v − 1)(2v + 1) = 0 2v − 1 = 0 2v = 1 v= 1 2 2v + 1 = 0 2v = −1 v=− 1 2 Je vérifie : 2 1 1 ● 4 × −1 = 4 × −1 = 0 4 2 2 1 1 ● 4 × − −1 = 4 × −1 = 0 4 2 Les solutions de l’équation : 4v2 – 1 = 0 1 1 − et . 2 2 sont Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne – 119 120 Séquence 4 EXERCICE 25 a) a) 25 x 2 − 20 x + 4 = 0 (5 x) − 2 × (5 x) × 2 + 2 = 0 2 2 (5 x − 2)2 = 0 5x − 2 = 0 On applique le « Je comprends la méthode » précédent afin de factoriser le membre de gauche. On obtient alors une équation produit. 5x = 2 2 x= 5 b) ● Je vérifie : 2 4 40 2 2 25 × − 20 × + 4 = 25 × − + 4 = 4 −8+ 4 = 0 5 5 25 5 2 est la seule solution de l’équation : 25 x 2 − 20 x + 4 = 0 . 5 Cette question ressemble à la précédente : il y a juste un « − » au lieu d’un « + » devant le « double produit ». b) 25 x 2 + 20 x + 4 = 0 (5 x) 2 + 2 × (5 x) × 2 + 22 = 0 (5 x + 2)2 = 0 5x + 2 = 0 5 x = −2 2 x=− 5 ● Je vérifie : 2 4 40 2 2 25 × − + 20 × − + 4 = 25 × − + 4 = 4−8+ 4 = 0 25 5 5 5 2 − est la seule solution de l’équation : 25 x 2 + 20 x + 4 = 0 . 5 EXERCICE 26 120 – Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne 121 Séquence 4 EXERCICE 27 a) a) x + 8 x + 16 = 0 2 x + 2 × x × 4 + 42 = 0 2 ( x + 4) 2 = 0 x+4=0 x = −4 Je vérifie : (−4) 2 + 8 × (−4) + 16 = 16 − 32 + 16 = 0 – 4 est la seule solution de l’équation : x 2 + 8 x + 16 = 0 . b) b) x − 10 x + 25 = 0 2 x − 2 × x × 5 + 52 = 0 2 ( x − 5)2 = 0 x−5=0 x=5 Je vérifie : 52 − 10 × 5 + 25 = 25 − 50 + 25 = 0 5 est la seule solution de l’équation : x 2 − 10 x + 25 = 0 . c) 3x + 5 x = x − 1 − x 2 3x + x + 5 x − x + 1 = 0 2 2 2 c) Dans un premier temps, on regroupe tout dans le membre de gauche. On réduit le membre de gauche. On essaie ensuite de la factoriser. 4x2 + 4x + 1 = 0 (2 x) 2 + 2 × (2 x) × 1 + 12 = 0 (2 x + 1)2 = 0 2x + 1 = 0 2 x = −1 x=− 1 2 Je vérifie : 2 7 1 1 3 5 3 10 3× − + 5 × − = − = − = − 4 2 2 4 2 4 4 2 3 1 6 1 7 1 1 − −1 − − = − − = − − = − 2 4 4 4 4 2 2 1 est la seule solution de l’équation : 2 3x 2 + 5 x = x − 1 − x 2 . − Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne – 121 122 Séquence 4 Séance 8 EXERCICE 28 J’ai construit la figure dynamique. L’aire du disque semble être égale à celle « de la partie hachurée » uniquement quand x est environ égal à 1,91 cm. Voici ma conjecture : « L’aire du disque peut être égale à l’aire de la partie hachurée ». La conjecture est juste. ● L’aire du disque est : π x2. ● L’aire du rectangle ABCD est 6 × 2x soit 12x. ● L’aire de la partie hachurée est : 12x – π x2. L’aire d’un disque de rayon x est πx2. On a : AB = 2x car le disque est tangent aux côtés [AD] et [BC]. On cherche x tel que : π x2 = 12x – π x2. πx 2 = 12 x − πx 2 πx 2 + πx 2 − 12 x = 0 L’aire de la partie hachurée est l’aire du rectangle ABCD moins l’aire du disque. On cherche une valeur de x pour laquelle l’aire du disque est égale à l’aire de la partie hachurée. On résout l’équation. 2πx 2 − 12 x = 0 x(2πx − 12) = 0 x=0 On obtient une équation produit. 2πx − 12 = 0 2πx = 12 12 2π 6 x= π x= Je vérifie : ● 0 × (2π × 0 − 12) = 0 6 6 6 6 ● × (2π × − 12) = × (12 − 12) = × 0 = 0 π π π π 122 – Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne 123 Séquence 4 Il y a donc deux solutions à l’équation : 6 π x2 = 12x – π x2 qui sont 0 et . π Le disque est un « vrai » disque quand x est différent 6 de 0. L’unique solution au problème est donc . π L’aire du disque peut donc être égale à l’aire de la partie hachurée. On entend ici par « vrai disque » un disque dont le rayon est non nul. EXERCICE 29 a) a) y 2 = 81 y 2 − 81 = 0 On factorise en appliquant la 3ème identité remarquable : a2 − b2 = (a + b)(a − b) On obtient alors une équation produit. y 2 − 92 = 0 ( y + 9)( y − 9) = 0 y+9=0 y = −9 Je vérifie : ● (– 9)2 = 81 ● 92 = 81 y −9 =0 y =9 − 9 et 9 sont les solutions de l’équation : y2 = 81. b) b) u 2 − 5u = 0 u (u − 5) = 0 On factorise par u. On obtient une équation produit. u −5=0 u=0 u =5 Je vérifie : ● 02 – 5 × 0 = 0 ● 5×(5 – 5) = 5 × 0 = 0 0 et 5 sont les solutions de l’équation : u2 − 5u = 0. c) c) z2 = 2z z 2 − 2z = 0 z ( z − 2) = 0 z=0 Je vérifie : ● 02 = 0 ● 22 = 4 On factorise par z. On obtient une équation produit. z−2=0 z=2 2×0=0 2×2=4 0 et 2 sont les solutions de l’équation : z2 = 2z. Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne – 123 124 Séquence 4 d) d) z + 2z + 1 = 0 2 On factorise à l’aide de la 1ère identité remarquable : a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 z + 2 × z × 1 + 12 = 0 2 ( z + 1)2 = 0 z +1 = 0 z = −1 Penser que : (z + 1)2 = (z + 1)(z + 1) − 1 est l’unique solution de l’équation : z2 + 2z + 1 = 0. EXERCICE 30 a) a) 7v = 0 2 7v 2 0 = 7 7 2 v =0 v=0 0 est l’unique solution de l’équation : 7v 2 = 0 . b) b) 9 =s s 9 = s×s On a l’égalité des produits en croix. s2 − 9 = 0 s2 − 9 = s2 − 32 On factorise à l’aide de la 3ème identité remarquable : a2 − b2 = (a + b)(a − b) ( s + 3)( s − 3) = 0 s+3=0 s = −3 s −3= 0 s =3 Je vérifie : 9 = −3 ● −3 9 ● =3 3 – 3 et 3 sont les solutions de l’équation : 124 9 = s. s – Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne 125 Séquence 4 c) x( x + 1)( x + 2) = 0 x=0 x +1 = 0 x = −1 x+2=0 c) Cette équation est également une équation produit. Si un produit de trois facteurs est nul, alors un au moins de ses facteurs est nul. x = −2 Je vérifie : ● 0 × 1× 2 = 0 ● (– 1) × 0 × 1 = 0 ● (– 2) × (– 1) × 0 = 0 – 2 ; – 1 et 0 sont les solutions de l’équation : x ( x + 1)( x + 2) = 0 . Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne – 125 126 Séquence 4 EXERCICE 31 1) J’ai fait des tests pour différentes valeurs de x à l’aide d’un tableur : je trouve à chaque fois le même nombre pour E et pour F. Voici ma conjecture : « E = F ». Je n’arrive pas à la démontrer ! Les commentaires du professeur : Même si tu n’arrives pas à faire la démonstration, il faut écrire des « essais » ou tes recherches. 2) E = (3x – 2)(13x – 8) E = 3x × 13x – 3x × 8 – 2 × 13x + 2 × 8 E = 39x2 – 24x – 26x + 16 E = 39x2 – 50x + 16 F = (3x – 2)2 + (5x – 3)(– 4 + 6x) F = (3x)2 – 2 × (3x) × 2 + 22 – 5x × 4 + 5x × 6x + 3 × 4 – 3 × 6x F = 9x2 – 12x + 4 – 20x + 30x2 + 12 – 18x F = 9x2 + 30x2 – 12x – 20x – 18x + 4 + 12 F = 39x2 – 50x + 16 D’où : E = F Les commentaires du professeur : Comme E et F ont exactement la même expression une fois développées, on a donc : E = F. 3) F = (3x – 2)2 + (5x – 3)(– 4 + 6x) F = (3x – 2)2 + (5x – 3)(6x – 4) F = (3x – 2)2 + (5x – 3) × 2 × (3x – 2) F = (3x – 2)(3x – 2) + (5x – 3) × 2 × (3x – 2) F = (3x – 2)(3x – 2) + (3x – 2) × (5x – 3)× 2 F = ( 3x − 2 ) [ (3x − 2) + (5 x − 3) × 2] F = ( 3x − 2 )( 3 x − 2 + 10 x − 6 ) F = ( 3 x − 2 ) ( 13 x − 8 ) On a également : E = (3x – 2)(13x – 8). On retrouve à l’aide d’une factorisation le résultat de la question précédente : E = F Les commentaires du professeur : On peut, pour ne pas avoir des parenthèses imbriquées dans d’autres parenthèses, utiliser des crochets. On écrit ainsi : (3x – 2)[(3x – 2) + (5x – 3) × 2] au lieu de : (3x – 2)((3x – 2) + (5x – 3) × 2). Un crochet n’est rien d’autre qu’une parenthèse dessinée autrement. 126 – Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne 127 Séquence 4 4) Comme d’après le 3), on a : F = (3x – 2)(13x – 8). Je résous : (3x – 2)(13x – 8) = 0 3x − 2 = 0 3x = 2 x= 13 x − 8 = 0 13 x = 8 2 3 x= 8 13 Je vérifie : 2 2 2 3 × − 2 × 13 × − 8 = (2 − 2) × 13 × − 8 = 0 3 3 3 8 8 8 3 × − 2 × 13 × − 8 = 3 × − 2 × ( 8 − 8 ) = 0 13 13 13 2 8 et sont les solutions de l’équation : F = 0. 3 3 Les commentaires du professeur : Il fallait penser à utiliser l’expression factorisée de F ! EXERCICE 32 a) a) (2 x + 1)2 + (−3 + x)(2 x + 1) = 0 (2 x + 1)(2 x + 1) + (2 x + 1)(−3 + x) = 0 ( 2 x + 1) [ (2 x + 1) + (−3 + x)] = 0 ( 2 x + 1)( 2 x + 1 − 3 + x ) = 0 ( 2 x + 1)( 3x − 2 ) = 0 2x + 1 = 0 2 x = −1 x=− 3x − 2 = 0 3x = 2 1 2 x= 2 3 Je vérifie : 2 1 1 1 2 7 2 × − + 1 + −3 + − 2 × − 2 + 1 = (−1 + 1) + − 2 × (−1 + 1) = 0 2 2 2 2 2 2 2 7 7 7 49 49 − 2 × + 1 + −3 + 2 × + 1 = + − × = 3 3 3 9 3 3 3 9 (2x + 1) (2x + 1)+ (2x + 1) (− 3 + x) = 0 On factorise par (2x + 1) Remarque : On utilise l’égalité : k × a + k × b = k × (a + b) Ici, : • k est égal à (2x + 1) • a est égal à (2x + 1) • b est égal à (− 3 + x) On trouve : (2x + 1) [(2x + 1) + (− 3 + x)]. On écrit les parenthèses autour de 2x + 1 et de − 3 + x. On applique ensuite les règles de suppressions des parenthèses : On trouve : (2x + 1) (2x + 1 − 3 + x). 1 2 et sont des solutions de l’équation : 2 3 (2x + 1)2 + (–3 + x)(2x + 1) = 0 plutôt que l’équation : On vérifie que − (2x + 1)(3x – 2) = 0. − 1 2 et sont les solutions de l’équation : 2 3 (2 x + 1)2 + ( −3 + x )(2 x + 1) = 0 . Cela permet de « vérifier » toutes les étapes de calcul depuis le début. Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne – 127 128 Séquence 4 b) ( x − 5)( x + 1) − ( x − 5)2 = 0 ( x − 5)( x + 1) − ( x − 5)( x − 5) = 0 ( x − 5) [( x + 1) − ( x − 5)] = 0 ( x − 5)( x + 1 − x + 5) = 0 6 ( x − 5) = 0 On factorise par (x − 5) On applique les règles de suppression des parenthèses. Attention : − (x − 5) = − x + 5 x−5= 0 x=5 Je vérifie : (5 – 5)(5 + 1) – (5 – 5)2 = 0 × 6 – 02 = 0. 5 est l’unique solution de l’équation : ( x − 5)( x + 1) − ( x − 5)2 = 0 . c) (4 x − 3) 2 − (2 x + 1) 2 = 0 [(4 x − 3) + (2 x + 1)][(4 x − 3) − (2 x + 1)] = 0 ( 4 x − 3 + 2 x + 1)( 4 x − 3 − 2 x − 1) = 0 ( 6 x − 2 )( 2 x − 4 ) = 0 2x − 4 = 0 6x − 2 = 0 6x = 2 x= Je factorise (4x −3)2 − (2x + 1)2 à l’aide de la 3ème identité remarquable : a2 − b2 = (a + b)(a − b). a est égal à (4x − 3) b est égal à (2x + 1). On n’oublie pas les parenthèses ! 2x = 4 x=2 2 1 = 6 3 Je vérifie : 2 2 2 2 1 1 5 5 25 25 ● 4 × − 3 − 2 × + 1 = − − = − = 0 3 3 3 3 9 9 ● ( 4 × 2 − 3)2 − ( 2 × 2 + 1)2 = 52 − 52 = 0 1 et 3 2 sont les solutions de l’équation : (4 x − 3)2 − (2 x + 1)2 = 0 . 128 – Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne 129 Séquence 4 Séance 9 EXERCICE 33 L’aire d’un carré de côté 3x – 5 est (3x – 5)2. On exprime l’aire du carré en fonction de x. L’aire d’un rectangle de longueur 3x + 4 et de largeur 3x – 2 est (3x + 4)(3x – 2). On exprime l’aire du rectangle en fonction de x. On cherche x tel que : (3x – 5)2 = (3x + 4)(3x – 2) On traduit le problème à l’aide d’une équation. (3 x − 5)2 − (3x + 4)(3 x − 2) = 0 9 x 2 − 30 x + 25 − (9 x 2 − 6 x + 12 x − 8) = 0 9 x − 30 x + 25 − 9 x + 6 x − 12 x + 8 = 0 2 2 On n’oublie pas les parenthèses. On applique la propriété de suppression des parenthèses. 9 x 2 − 9 x 2 − 30 x + 6 x − 12 x + 25 + 8 = 0 −36 x + 33 = 0 −36 x = −33 33 36 11 x= 12 x= Le résultat est-il possible ? Le côté du carré est 3x – 5 soit 3 × 11 33 60 27 −5 = − =− 12 12 12 12 C’est impossible car le côté d’un carré est un nombre positif ! L’aire d’un carré de côté 3x – 5 ne peut pas être égale à l’aire d’un rectangle de longueur 3x + 4 et de largeur 3x – 2. Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne – 129 130 Séquence 4 EXERCICE 34 1) A = (5x + 2)2 – (3x – 1)(5x + 2) A = (5x)2 + 2 × 5x × 2 + 22 – (3x × 5x + 3x × 2 – 1 × 5x – 1 × 2) A = 25x2 + 20x + 4 – (15x2 + 6x – 5x – 2) A = 25x2 + 20x + 4 – 15x2 – 6x + 5x + 2 A = 10x2 + 19x + 6 2) A = (5x + 2)2 – (3x – 1)(5x + 2) A = (5x + 2) (5x + 2) – (3x – 1)(5x + 2) A = (5 x + 2) ( (5 x + 2) − (3 x − 1) ) A = (5 x + 2)(5 x + 2 − 3 x + 1) A = (5x + 2)(2x + 3) Les commentaires du professeur : Si on développe (5x + 2)(2x + 3), on doit trouver 10x2 + 19x + 6. Ceci est une façon de vérifier que l’on ne s’est pas trompé. 3) Pour x = 0 J’utilise l’expression développée : A = 10 × 02 + 19 × 0 + 6 soit A = 6. 3 2 J’utilise par exemple l’expression factorisée. 3 3 15 15 A = 5 × − + 2 2 × − + 3 = − + 2 ( −3 + 3) = − + 2 × 0 soit A = 0. 2 2 2 2 Pour x = − 4) Je résous l’équation : A = 0 Je résous donc : (5x + 2)(2x + 3) = 0 5x + 2 = 0 5 x = −2 x=− 2 5 2x + 3 = 0 2 x = −3 x=− 3 2 Je vérifie : 2 2 4 ● 5 × − + 2 2 × − + 3 = 0 × − + 3 = 0 5 5 5 3 ● On a vu dans la question 3 que − est solution. 2 3 2 Les solutions de l’équation : A = 0 sont − et − . 2 5 130 – Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne 131 Séquence 4 JE M’ÉVALUE 1) 1) sous forme factorisée. x2 + 45x est une somme de deux termes : x2 et 45x. sous forme développée. 2) 2) sous forme factorisée. x(x + 45) est un produit de deux facteurs : x et x + 45. sous forme développée. 3) 4x2 + 28x + 49 4x2 + 28x + 14 4x2 + 49 4x2 + 14x + 49 4) oui non 5) 3) (2x + 7)2 = (2x)2 + 2 × 2x × 7 + 72 = 4x2 + 28x + 49 4) (u + 1)2 = u2 + 2 × u × 1 + 12 = u2 + 2u + 1 u2 + 2u + 1 et u2 + 1 ne sont pas égales : pour u = 1 u2 + 2u + 1 = 12 + 2 × 1 + 1 = 4 u2 + 1 = 12 + 1 = 2 5) 9y2 – 12y – 4 3y2 – 12y + 4 9y2 – 12y + 4 9y2 – 4 (3y – 2)2 = (3y)2 – 2 × 3y × 2 + 22 = 9y2 – 12y + 4 6) 6) 9y2 – 4 9y2 – 12y + 4 9y2 – 12y – 4 3y2 – 6y + 4 7) (z – 1)2 (z + 1)2 (z + 1)(z – 1) 2(z + 1) (3y – 2)(3y + 2) = (3y)2 – 22 = 9y2 – 4 7) z2 – 2z + 1 = z2 – 2 × z × 1 + 12 = (z – 1)2 8) 8) 8(z – 1)(z + 1) (8z – 1)2 (z – 1)(8z + 1) (8z – 1)(8z + 1) 64 z2 – 1 = (8z)2 – 12 = (8z – 1)(8z + 1) Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne – 131 132 Séquence 4 9) 9) (u + 10)2 (5u + 1)2 (5u + 10)2 25(u + 2)2 25u2 + 100u + 100 = (5u)2 + 2 × (5u) × 10 + 102 25u2 + 100u + 100 = (5u + 10)2 (5u + 10)2 = [5(u + 2)]2 = 52 (u + 2)2 = 25(u + 2)2 10) 10) x 2 = −2x − 1 0 1 1 et – 1 –1 x 2 + 2x + 1 = 0 ( x + 1 )2 = 0 x+1=0 x = −1 132 – Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne 133 Séquence 5 SÉQUENCE 5 RACINES CARRÉES Ce que tu devais faire Les commentaires du professeur Séance 1 JE RÉVISE LES ACQUIS DE LA 4e 1) BC² = AB² + AC² AC² = 16 AC² = 34 1) Le triangle ABC est rectangle en B. On applique la propriété de Pythagore : AC² = AB² + BC² AC² = 3² + 5² AC² = 9 + 25 AC2 = 34 AC ≈ 5,8 cm AC ≈ 5,8 cm 2) –8×8 (– 8) × (– 8) 2) Le carré d’un nombre s’obtient en multipliant ce nombre par luimême. (–8)² = (–8) × (–8) = +64 = 64 64 – 64 3) – 10 10 50 3) (–10)² = (–10) × (–10) = 100 10² = 10 ×10 = 100 Attention ! Le carré de 100 est égal à 10 000. Le carré de 10 000 est égal à 100 000 000. 100 est le double de 50 et non son carré. 10 000 4) vrai faux 4) On utilise la règle des signes de la multiplication des nombres relatifs. Le produit d’un nombre positif par un nombre positif est positif. Quand on élève au carré un nombre positif, on obtient donc un nombre positif. Le produit d’un nombre négatif par un nombre négatif est positif. Quand on élève au carré un nombre négatif, on obtient donc aussi un nombre positif. Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne – 133 134 Séquence 5 EXERCICE 1 1) 134 – Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne 135 Séquence 5 Les commentaires du professeur : Il existait d’autres constructions qui permettaient d’obtenir un carré dont l’aire est deux fois plus grande que celle d’ABCD. Par exemple la construction ci-contre. Toutefois, on ne pouvait pas procéder ainsi car il n’y avait pas de place sur la feuille. 2) a) ABCD est un carré donc le triangle ABD est rectangle en A. J’applique la propriété de Pythagore : BD² = AD² + AB² BD² = 1² + 1² BD2 = 2 b) ABCD est un carré de 1 dm de côté donc : A 2) a) b) A = 1² soit : ABCD = 1 dm². L’aire du carré que l’on doit construire est le ABCD double de celle de A ABCD soit 2 dm². c) c) On construit le carré EBDF. A A = BD × BD = BD² = 2 soit EBDF = 2 dm². Le carré EBDF répond bien au problème posé. EBDF 3) a) Je mesure le côté du carré EBDF. Je trouve environ 14,1 cm soit 1,41 dm. Le nombre dont le carré est 2 est environ 1,41. J’utilise ma calculatrice : Je trouve : 1,414 (arrondi au millième) 3) Attention : le carré de 1,4 n’est pas égal à 2. En effet : 1,412 = 1,988 1 J’utilise une calculatrice. Je tape : La calculatrice affiche : 1.414213562 2 Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne – 135 136 Séquence 5 b) J’ai l’impression qu’il n’y a qu’un seul nombre positif dont le carré est égal à 2 : celui dont on a trouvé une valeur approchée dans la question précédente. b) Effectivement, on a cette impression car il paraît impossible de trouver un deuxième nombre positif dont le carré est 2 : ● si ce nombre est compris entre 0 et BD, son carré est plus petit que 2. ● si ce nombre est plus grand que BD, son carré est plus grand que 2. On peut le voir de façon rigoureuse à l’aide d’encadrements : Si 0 < x < BD alors : ● x × x < BD × x soit : ● d’où : x2 < BD × x x2 < BD2 ● BD × x < BD × x ● BD × x < BD2 soit : x2 < 2 On pourrait prouver de la même façon que si x > BD, alors : x2 > BD2 soit x2 > 2. c) c) x x² 0 0 1 1 2 4 3 9 4 16 02 = 0 12 = 1 22 = 4 32 = 9 42 = 16 d) On cherche en fait à tracer l’ensemble de tous les points dont l’abscisse est un nombre positif et l’ordonnée le carré de ce nombre positif. d) Si on le fait avec 20 nombres, on obtient ceci : Si on le fait avec 100 nombres, on obtient ceci : Comme on ne peut pas représenter à la main autant de points sur une feuille, on place quelques points (ici 5), puis on les relie par un tracé à main levée. 136 – Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne 137 Séquence 5 e) e) f) Il y a un nombre positif dont le carré est 2. Il est environ égal à 1,4. f) On rappelle que ce nombre positif dont le carré est 2 n’est pas 1,4 car : 1,42 = 1,96. 4) En choisissant d’afficher quatre décimales, le logiciel affiche : 2 ≈ 1,4142. Si tu n’as pas réussi à faire la construction dynamique, ouvre le fichier : sequence5exercice1question4. La calculatrice affiche : 2 ≈ 1,414213562. Les deux valeurs approchées sont « en accord ». La valeur approchée donnée par la calculatrice est plus précise que la mesure effectuée par le logiciel de géométrie. Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne – 137 138 Séquence 5 Séance 2 EXERCICE 2 1) 1) Résoudre un problème n’est pas toujours une chose simple ! Ce La question n’est pas évidente ! J’ai essayé d’utiliser qu’il faut que tu apprennes, c’est à acquérir des méthodes te permettant de chercher à résoudre des problèmes. ma calculatrice, mais je n’arrive pas à conclure. Ici, on pouvait essayer de voir si la valeur affichée par la calculatrice lorsqu’on tape 2 est bien la racine carrée de 2. 1.414213562 n’est pas la racine carrée de 2 car si on multiplie ce nombre par lui-même, le dernier chiffre sera 2× 2 (le dernier chiffre de 1,414 213 562 multiplié par lui-même) donc 4. On ne peut donc pas trouver 2. 2) a) La calculatrice affiche : 1.414213562 On peut affirmer que 2 n’est pas un nombre entier. On ne peut pas affirmer que ce nombre n’est pas un décimal : rien ne prouve que ce nombre ne possède pas 15 chiffres après la virgule. 2) a) La calculatrice travaille avec des valeurs approchées, affichant 10 chiffres seulement. Attention, elle peut parfois afficher des résultats qui peuvent induire en erreur. Par exemple, si tu tapes : 15 + 10–12, la calculatrice affiche 15. Pourtant, 15 + 10–12 n’est pas un nombre entier. Il est égal à : 15 + 0 , 0... ...0 1 . 01 soit 15, 0 11 zéros 12 zéros b) « dernier chiffre non nul du nombre 2 » « dernier chiffre non nul du carré du nombre 2 » 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 4 9 6 5 6 9 4 1 b) 2² = 4 3² = 9 1² = 1 4² = 16 donc le dernier chiffre est 6 5² = 25 donc le dernier chiffre est 5 … Le carré de 2 est 2 par définition. Le dernier chiffre non nul du carré de 2 doit être 2. Or le chiffre 2 n’apparaît pas dans la deuxième ligne de notre tableau. C’est une contradiction. Cela signifie que ce qu’on avait supposé au départ était faux. C’est-à-dire : 2 n’est pas un nombre décimal. On a fait un raisonnement par l’absurde. Cela signifie qu’on suppose quelque chose, puis qu’on montre que ce n’est pas possible. On en déduit alors que ce qu’on avait supposé au départ était faux. On vient de démontrer que 2 n’est pas un nombre décimal. On montrera dans la séance 9 que ce n’est pas non plus un nombre rationnel. On dit que 2 est un nombre réel. 138 – Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne 139 Séquence 5 EXERCICE 3 1) a) Deux nombres ont pour carré 9 : 3 et – 3. b) Deux nombres ont pour carré 7 : un positif (environ 2,6) et un négatif (environ – 2,6). 1) a) En effet : 32 = 9 (–3)2 = 9 b) c) Un seul nombre a pour carré 0 : 0. c) d) Aucun nombre n’a pour carré – 2. d) La droite horizontale ne coupe pas la représentation graphique. 2) Cela dépend de a : ● Si a est négatif : il n’y a aucun nombre dont le carré est égal à a. 2) D’après le graphique, si a est négatif, la droite ne coupe pas la représentation graphique. Il n’y a donc pas de nombre dont le carré est a. On connaissait déjà ce résultat : d’après la règle des signes, un carré ne peut pas être négatif. ● Si a est positif : il y a deux nombres dont le carré est égal à a. ● Si a = 0 : il n’y a qu’un seul nombre dont le carré est 0, c’est 0. 3) Si a est positif (et différent de 0), il y a d’après le graphique un seul nombre positif dont le carré est a. 4) Il existe un nombre positif dont le carré est a seulement quand a est positif ou nul. a est donc défini quand a est positif ou nul. 3) Cet unique nombre est appelé a . 4) En résumé : ● Si a < 0 il n’y a pas de nombre dont le carré est a. Le nombre a n’existe pas. ● Si a = 0 le seul nombre dont le carré est 0 est 0 lui-même. 0 =0 ● Si a > 0 il existe deux nombres dont le carré est a : un négatif et un positif. Ces nombres sont opposés. Le nombre positif s’appelle a . Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne – 139 140 Séquence 5 Séance 3 EXERCICE 4 ● ● L’unique nombre positif dont le carré est 0 est 0. 0 =0 ● 1 =1 ● 1 et –1 ont pour carré 1. Le nombre positif dont le carré est 1 est 1. D’où : 1=1. ● 4=2 ● 2 et –2 ont pour carré 4. Le nombre positif dont le carré est 4 est 2. D’où : 4 = 2. ● 9=3 ●3 et –3 ont pour carré 9. Le nombre positif dont le carré est 9 est 3. D’où : 9 =3. etc. ● 16 = 4 ● 25 = 5 ● 36 = 6 ● 49 = 7 ● 64 = 8 ● 81 = 9 ● 100 = 10 EXERCICE 5 100 – 16 0 20 1 La racine carrée n’est définie que pour les nombres positifs ou nuls. Les commentaires du professeur : On se souvient que le carré d’un nombre ne peut pas être négatif. La racine carrée d’un nombre négatif n’a donc aucun sens. EXERCICE 6 ● A = ( 3)² = 3 ● B = − 5² = − 25 = – 5 ● C = 11 × (− 11) = −( 11)² = −11 ● D = 16 + 36 = 4 + 6 = 10 ● Pour calculer D, on calcule dans un premier temps 16 et 36 . ●E= 98 = 2 49 = 7 ● Pour calculer E, on calcule dans un premier temps le quotient 98 . 2 140 – Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne 141 Séquence 5 EXERCICE 7 ● Pour x = 3 A = ( 3)² + 7 × 3 − 8 A = = 3+ 7× 3 −8 ● 7 × 3 est le produit de 7 et de 3 . On peut écrire (et c’est plus rapide) ce produit sans le signe « × ». On le note ainsi 7 3 . A = −5 + 7 3 Attention ! Comme la multiplication a priorité par rapport à l’addition : –5 + 7 3 n’est pas égal à 2 3 . Tu peux t’en convaincre en utilisant ta calculatrice. La situation est comparable à un calcul littéral : –5 + 7x n’est pas égal à : (–5 + 7) x ● Pour x = 2 5 ● A = (2 5)² + 7 × 2 5 − 8 On doit écrire (2 5 )2 et non 2 A = 2 5 ×2 5 + 7×2 5 −8 différents : 2 5 = 2 × A = 4× ( 5) 2 2 5 × 2 5 . Ces deux nombres sont 5 = 2 × 5 = 10 + 7×2 5 −8 A = 4 × 5 + 14 5 − 8 7×2 5 =7× 2× 5 = 14 × 5 = 14 5 A = 20 + 14 5 − 8 A = 12 + 14 5 Attention : 12 + 14 5 n’est pas égal à 26 5 . EXERCICE 8 A= ●A+B= 7 + 1 et B = 3 7 7 + 1+ 3 7 = 4 7 + 1 ● Pour calculer 7 + 3 7 , on factorise par 7 : 7 + 3 7 = 1 × 7 + 3 7 = 7 × (1 + 3 ) = 4 7 ●A–B= 7 + 1 – 3 7 = −2 7 + 1 ● Pour calculer 7 − 3 7 , on factorise par 7 : 7 − 3 7 = 1 × 7 − 3 7 = 7 × ( 1 − 3 ) = −2 7 ● A × B = ( 7 + 1) × 3 7 A × B = 3( 7)² + 3 7 = 21 + 3 7 ● ( 7 +1) × 3 7 = 7 × 3 7 + 1× 3 7 = 3 ( 7) Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne 2 +3 7 – 141 142 Séquence 5 EXERCICE 9 ●A= 3 × (5 − 3) = 3 × 5 − ( 3)² = 5 3 − 3 ● B = ( 2 + 1) × (3 − 5 2) ● On utilise la formule de double distributivité. (a + b)(c – d) = ac – ad + bc – bd B = 2 × 3 − 2 × 5 2 + 1× 3 − 1× 5 2 B = 3 2 − 5 × ( 2)² + 3 − 5 2 B = 3 2 − 10 + 3 − 5 2 B = −2 2 − 7 ● C = ( 6 − 10) − (8 + 6) = C = –18 6 − 10 − 8 − 6 ● Attention : – ( b + c) = – b – c ● D = (5 − 7)² + ( 7 + 5)² D = 5² − 2 × 5 × 7 + ( 7)² + ( 7)² + 2 × 5 × 7 + 5² ● On utilise des identités remarquables : (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 D = 25 − 10 7 + 7 + 7 + 10 7 + 25 D = 64 ● On utilise une 3ème identité remarquable : (a + b)(a – b) = a2 – b2 ● E = (2 5 − 8) × (2 5 + 8) E = (2 5)² − 8² = 4 × 5 − 64 = 20 − 64 E = –44 EXERCICE 10 Cas du rectangle ABCD ● P = 2×2 + 3 5 × 2 = 4 + 6 5 ● A= 2×3 5 On utilise les formules du périmètre et de l’aire d’un rectangle : P = 4+6 5 A = 6 5 cm² cm P = 2 × L + 2 × l A=L×l Cas du rectangle EFGH EFH est un triangle rectangle en E. J’applique la propriété de Pythagore : Pour calculer le périmètre et l’aire du rectangle EFGH, on calcule la longueur EH. C’est ce que l’on fait avec la propriété de Pythagore. EF² + EH² = FH² 20² + EH² = ( 10 5 )² 400 + EH² = 500 EH² = 500 – 400 = 100 EH = 100 soit : EH = 10 cm. P = 10 × 2 + 20 × 2 = 20 + 40 ● A = 10 × 20 = 200 ● Indique-le sur ta figure. P = 60 cm A = 200 cm² 142 – Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne 143 Séquence 5 EXERCICE 11 D’après des valeurs approchées données par ma calculatrice, le plus long côté est [BC]. On peut utiliser la calculatrice pour déterminer des valeurs approchées de BC, AB et AC. Ainsi, on en déduit que le côté le plus long est [BC]. BC² = ( 2 2 )² = 4 × 2 = 8 AB² + AC² = ( 5 )² + ( 3 )² = 5 + 3 = 8 BC² = AB² + AC². D’après la réciproque de la propriété de Pythagore, on déduit que le triangle ABC est rectangle en A. Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne – 143 144 Séquence 5 Séance 4 EXERCICE 12 1) Je détermine une valeur approchée de 3 à l’aide 1) Cette méthode permet bien d’obtenir un segment qui mesure d’une calculatrice. Je trouve environ 1,7. environ 3 cm, mais ce n’est pas une vraie construction. Ce qu’on entend par vraie construction, c’est une construction Je trace un segment d’environ 1,7 cm de longueur. utilisant une règle non graduée et un compas. 2) a) Le triangle EFG est rectangle en E. D’après la propriété de Pythagore : GF² = EF² + EG² ( 3 ) = EF² + EG² 2) Dans la séance 1, on a construit un triangle rectangle dont l’hypoténuse mesure 2 cm. L’idée est donc de construire un triangle rectangle dont l’hypoténuse mesure cette fois 3 cm. 2 3 = EF² + EG² Si on choisit : EF² = 1 et EG² = 2 on aura : EF² + EG² = 3 Si EF² = 1, alors : EF = 1 = 1. Si EG² = 2, alors : EG = 2 . EFG est alors un triangle rectangle en E tel que : ● EF = 1 et ● EG = BC = 2 . On choisit EF² = 1 et EG² = 2. On aurait également pu choisir EF² = 2 et EG² = 1. L’idée est de trouver deux nombres dont la somme des carrés est 3… En appliquant la propriété de Pythagore dans le triangle EFG rectangle en E, on montre que le segment [FG] mesure bien 3 cm. b) On se sert du triangle ABC pour tracer un segment de longueur 2 . On place le point G en C et le point E en B, ainsi on a : EG = 2 . Je construis ensuite le segment [EF] tel que : (EF) ⊥ (EG) et EF = 1, comme ci-contre. Le segment [FG] mesure bien 3 cm. 3) De la même façon, on se sert du segment [FG] mesurant 3 cm pour construire un triangle rectangle en F tel que l’autre côté de l’angle droit mesure 1 cm. Ainsi, l’hypoténuse de ce triangle rectangle mesure 4 cm (c’est-à-dire 2 cm). On poursuit la construction en utilisant le même raisonnement. On construit ainsi successivement des segments mesurant 5 cm, 6 cm et enfin 3) En appliquant la propriété de Pythagore dans le triangle rectangle ainsi construit, on montre que la longueur de l’hypoténuse au carré est égale à 1² + ( 3 )² = 1 + 3 = 4. Donc la longueur de l’hypoténuse est bien égale à Et ainsi de suite … 4 cm (c’est-à-dire 2 cm). Cette méthode permet de construire un segment mesurant n’importe quelle racine carrée d’un nombre entier positif. L’inconvénient de cette méthode, par exemple si on veut construire un segment mesurant 13 cm, c’est qu’il faut construire 12 triangles rectangles pour y parvenir. On va donc chercher dans les exercices suivants une autre méthode de construction plus astucieuse. 7 cm. 144 – Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne 145 Séquence 5 EXERCICE 13 1) ● Je mesure la longueur AH. Je trouve environ 2,2 cm. 1) La construction n’est pas évidente : On trace un segment [CB] de 6 cm. On place H sur [CB] tel que CH = 1 cm. On trace le cercle de diamètre [CB] : si le point A est sur ce cercle, alors le triangle CAB est rectangle en A. On trace la demidroite perpendiculaire à (CB) passant par H. Le point A est le point d’intersection de cette demi-droite et du cercle. ● A l’aide d’une calculatrice, je trouve : 5 ≈ 2,236067977 Il semble que la longueur AH soit proche de 5 cm. 2) En utilisant un logiciel de géométrie dynamique, je remarque également que la longueur AH semble être égale à 5 . AH est peut-être égale à 5 cm. 2) ● Lorsque je déplace le point B de façon à ce que [HB] mesure 7 cm, la longueur AH est environ égale à 2,645 cm. Lorsque je tape 7 à la calculatrice, je trouve aussi un nombre proche de la longueur AH. ● Lorsque je déplace le point B de façon à ce que [HB] mesure 10 cm, la longueur AH est environ égale à 3,162 cm. Lorsque je tape 10 à la calculatrice, je trouve aussi Il semble après avoir testé l’expérience avec trois longueurs HB un nombre proche de la longueur AH. différentes que la longueur HA soit égale à HB cm. Ceci est une conjecture. Nous allons voir dans l’exercice suivant si on peut ou non démontrer cette conjecture. Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne – 145 146 Séquence 5 EXERCICE 14 1) J’essaie de démontrer la conjecture suivante : « AH = a ». Je vois trois triangles rectangles : AHC, AHB et ACB. J’ai appliqué la propriété de Pythagore dans chacun de ces trois triangles rectangles, mais je n’arrive pas à déterminer AH uniquement en fonction de a. 2) Le triangle AHC est rectangle en H. En appliquant la propriété de Pythagore : Autrement dit : HA² + 1 = AC² Le triangle AHB est rectangle en H. En appliquant la propriété de Pythagore : Autrement dit : HA² + a² = AB² HA² + HC² = AC² HA² + HB² = AB² 3) a) Le triangle ABC est rectangle en A. En appliquant la propriété de Pythagore : AB² + AC² = BC² b) Dans l’égalité : AB² + AC² = BC² je remplace AB2 par HA² + a² et AC² par HA² + 1. On a : HA² + a² + HA² + 1 = BC2 Soit : BC² = 2 HA² + a² + 1 c) BC² = (1 + a)² = 1² + 2 × 1 × a + a² = 1 + 2a + a² Je remplace BC2 par 1 + 2 a + a² dans l’égalité BC² = 2 HA² + a ² + 1. J’obtiens : 1 + 2a + a 2 = 2HA 2 + a 2 +1 1 + 2a + a 2 = 2HA 2 + a 2 + 1 2a = 2HA 2 a = HA 2 AH 2 = a 4) a est un nombre positif. On cherche la longueur AH, c’est-à-dire un nombre positif. Le nombre positif dont le carré est a est par définition a . On a donc : AH = a . Pour construire cette figure : ● on commence par construire un segment [CB] de 8 cm, ● on place H sur [CB] tel que : CH = 1 cm, ● on trace la perpendiculaire à (BC) passant par H, ● on construit le cercle de diamètre [CB]. Il coupe la perpendiculaire précédente en A. Le triangle ABC ainsi construit est rectangle en A car A est sur le cercle de diamètre [CB]. 5) AH = 7 cm Les commentaires du professeur : La figure comporte trois triangles rectangles. On se sert de la propriété de Pythagore appliquée à ces trois triangles pour montrer la conjecture de l’exercice précédent. 146 – Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne 147 Séquence 5 Séance 5 EXERCICE 15 1) Le carré de 3 est 3. Ceci étant, ce nombre n’est pas le seul 1) dont le carré est 3 : nous le verrons par la suite. 3 est un nombre positif dont le carré est 3. Tu t’es donc trompé(e) ! Je pense que ce nombre est le seul nombre dont le carré est 3 mais je ne sais pas comment le démontrer ! 2) • Si je remplace x par 3 : ( 3) 2 2) On trouve assez facilement deux nombres dont le carré est 3. =3 • Si je remplace x par − 3 : (− 3) = (− 3) × (− 3) = 2 3× 3 =3 3 et − 3 sont donc des solutions de cette équation. 3) a) x x² –4 16 –3 9 –2 4 Cela ne prouve pas qu’il n’y en ait pas d’autres … C’est ce que nous allons déterminer par la suite. –1 1 0 0 1 1 2 4 3 9 4 16 Les commentaires du professeur : (− 4)2 = 16 ; (− 3)2 = 9 ; … b) Les commentaires du professeur : On place les points de coordonnées (− 4 ; 16), (− 3 ; 9), (− 2 ; 4), (− 1 ; 1), (0 ; 0), (1 ; 1), (2 ; 4), (3 ; 9) et (4 ; 16) en se servant du tableau de la question a. On trace ensuite à main levée une courbe passant par ces points. Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne – 147 148 Séquence 5 c) J’ai tracé une droite correspondant à tous les points dont l’ordonnée est 3. c) d) La droite tracée coupe deux fois la courbe. Cela signifie qu’il y a deux valeurs de x dont le carré est 3. d) Pour trouver les valeurs de x correspondant, je regarde les points d’intersection entre la courbe et la droite tracée question c). On peut déterminer ainsi, par lecture graphique, une valeur approchée de 3 : 3 ≈ 1,7. e) Les seuls nombres dont le carré est 3 sont 3 et − 3. f) Dans la cellule B3, j’entre la formule : « =B2*B2 ». On obtient les mêmes réponses que précédemment. 4) a) e) 3 et − 3 sont opposés. f) Pour voir comment faire le graphique à l’aide d’un tableur, ouvre le fichier sequence5exercice15corrige. 4) a) x2 = 3 x2 − 3 = 0 2 x2 − 3 = 0 Je factorise en utilisant une identité remarquable : ( x − 3 )( x + 3 ) = 0 b) Si un produit est nul, alors au moins l’un des facteurs est nul. On a donc : x − 3 = 0 ou : x + 3 = 0 ● x − 3 = 0 , c’est-à-dire : x= ● x + 3 = 0 , c’est-à-dire : x=− 3 J’utilise l’identité remarquable : a² − b² = (a – b)(a + b) Ici, a = x et b = 3 . b) Je résous l’équation produit. On en déduit donc les deux solutions. 3 L’équation produit a deux solutions : c) Les seuls nombres dont le carré est 3 sont 3 et − 3 . 3 et − 3. 148 – Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne 149 Séquence 5 EXERCICE 16 1) Je cherche tous les nombres x qui vérifient : x² = 0 autrement dit : x × x = 0. Si un produit est nul, alors au moins l’un des facteurs est nul. La seule possibilité est donc 0. Il existe un seul nombre dont le carré est 0. Ce nombre est 0. 1) 2) 2) On applique la règle des signes du produit de nombres relatifs. Je cherche tous les nombres x qui vérifient : x² = − 5. Le carré d’un nombre est toujours positif donc x2 est toujours positif. Quelle que soit la valeur choisie pour x, le nombre x² ne peut pas être égal à − 5. Il n’existe pas de nombre dont le carré est –5. EXERCICE 17 a) x² = 144 144 > 0 donc l’équation admet deux solutions : 144 et − 144 , autrement dit 12 et − 12. On utilise les méthodes de résolution d’une équation pour se ramener à une écriture du type : x² = a On applique ensuite le « Je retiens » précédent vu dans la leçon. b) x² = − 16 − 16 < 0 donc cette équation n’a aucune solution. c) x² + 2 = 2 D’où : x² = 0. 0 est l’unique solution de cette équation. d) x² + 1 = 0 D’où : x² = − 1 −1 < 0 donc cette équation n’a aucune solution. e) x² + 1 = 8 D’où : x² = 7 7 > 0 donc cette équation admet deux solutions : 7 et − 7 . f) 5x² = 75 75 soit : x² = 15 5 15 > 0 donc l’équation : 5x² = 75 admet deux solutions : 15 et − 15 . D’où : x 2 = Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne – 149 150 Séquence 5 EXERCICE 18 L’aire d’un disque de rayon r est π r2. On cherche r tel que : π r2 = 11. D’où : r2 = 11 π 11 11 admet deux > 0 , l’équation r 2 = π π 11 11 solutions : et − . π π Comme Or le rayon d’un cercle est un nombre positif (car c’est une longueur). La seule solution possible est donc 11 soit environ π 1,9 cm. EXERCICE 19 a) ( x − 5)( x + 5) + 25 = 0 c) b) ( x + 2)( x − 7) + 5 x = 2 ( x + 6) 2 + (2 x − 3)2 = 0 x 2 − 52 + 25 = 0 x 2 − 7 x + 2 x − 14 + 5 x = 2 x 2 + 12 x + 62 + 4 x 2 − 12 x + 32 = 0 x 2 − 25 + 25 = 0 x 2 − 14 = 2 5 x 2 + 45 = 0 x = 2 + 14 x =0 x=0 2 2 x 2 = 16 0 est l’unique solution de cette équation. 5 x 2 = −45 x 2 = −9 16 > 0 donc il y a deux solutions : – 9 < 0 donc l’équation n’a pas de solution. 16 (soit 4) et − 16 (soit – 4). Les commentaires du professeur : On développe en utilisant les identités remarquables ou la double distributivité. On utilise ensuite les méthodes de résolution d’une équation pour se ramener à une écriture du type x² = a. On résout alors les équations comme dans l’exercice précédent. EXERCICE 20 a) (x – 5)² = 4 4 > 0 ; il y a donc deux nombres qui ont pour carré 4 : 4 et − 4 . Ainsi : x – 5 = 4 ou : x – 5 = − 4 x–5= 4 x–5=2 x=2+5 x=7 a) On applique le dernier « Je retiens » de la leçon. On trouve donc deux possibilités pour x – 5. On résout ensuite deux équations pour en déduire les valeurs de x solutions de l’équation donnée. x–5=– 4 x–5=–2 x=–2+5 x=3 L’équation a donc deux solutions : 7 et 3. b) (2x + 1)² = – 3 – 3 < 0 donc cette équation n’a aucune solution. b) Le carré d’un nombre est toujours positif. 150 – Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne 151 Séquence 5 c) (3x + 2)² = 7 7 > 0 donc il y a deux nombres qui ont pour carré 7 : 7 et − 7 . Ainsi : 3x + 2 = 3x + 2 = 7 ou : 3x + 2 = − 7 3x + 2 = – 7 3x = 7 –2 x= 7 −2 3 7 3x = – 7 – 2 x= L’équation a deux solutions : − 7 −2 3 7−2 − 7−2 et . 3 3 EXERCICE 21 On remplace dans l’équation E = MC² les lettres par les nombres donnés dans l’énoncé. On obtient : 8,1 × 10–14 = 9 × 10–31 × C² D’où : C² = Donc : C= 8,1 × 10−14 8,1 8,1 = × 1017 = 0,9 × 1017 = 9 × 1016 × 10−14+31 = −31 9 × 10 9 9 9 × 1016 ou : C = – 9 × 1016 Or C est une valeur positive car il s’agit d’une vitesse. D’où : C = 9 × 1016 soit : C = 3 × 108 m/s. Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne – 151 152 Séquence 5 Séance 6 EXERCICE 22 1) J’applique la propriété de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en B. Je trouve : AC2 = 20 Comme AC > 0, on a donc AC = 20 . 1) L’idée d’appliquer la propriété de Pythagore est bonne. 20 > 0 donc l’équation x2 = 20 admet deux solutions : 20 et − 20 . Comme on cherche une longueur, donc un nombre positif, la seule solution possible est 20 . On a donc : AC = J’ai essayé de comparer 20 et 2 × 5 à l’aide d’une calculatrice. J’ai bien l’impression que ces nombres Les nombres sont égaux, mais je n’arrive pas à le démontrer. 20 . 20 et 2 × 5 auraient-ils le même carré ? 2) 2) ● En mesurant sur ma figure, je trouve que la longueur AC est environ égale à 4,5 cm. Lorsque je tape 2 5 à la calculatrice, il s’affiche : 4.472135955. Il semblerait que la longueur AC soit égale à 2 5 cm. ● Je construis la figure à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique. Je mesure AC. Il s’affiche 4.47213 Il semble effectivement que la longueur AC soit égale Lorsqu’on mesure sur la figure, lorsqu’on tape le calcul sur la à 2 5 cm. calculatrice ou lorsqu’on fait mesurer la longueur par un logiciel de géométrie dynamique, on remarque qu’on obtient des valeurs qui semblent égales. On peut donc émettre la conjecture : « AC = 2 5 » On démontre dans les questions suivantes que cette conjecture est vraie. 3) Le triangle ABC est rectangle en B. J’applique la propriété de Pythagore : AC² = AB² + BC² AC² = 2² + 4² AC² = 20 AC > 0 donc : AC = 20 cm. 4) Je ne vois pas comment procéder ! 3) 4) Il fallait penser à comparer les carrés de 20 et de 2 × 5 . 152 – Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne 153 Séquence 5 5) (2 × 5 )² = 2² ×( 5)² = 4 × 5 = 20 5) On utilise ce qu’on a vu dans la séance 3. 2 × 5 et Deux nombres x et y dont les carrés sont égaux sont : ● soit égaux ● soit opposés. En effet : si x2 = y2 alors : x2 – y2 = 0 d’où : (x – y)(x + y) = 0 (équation produit) ●x–y=0 ●x+y=0 donc x = y donc x = – y x et y sont donc bien soit égaux, soit opposés. 20 ont donc le même carré. 2 × 5 est donc égal soit à 20 , soit à – 20 . Comme 2 × 5 est positif, on en déduit que : 2× 5 = La racine carrée d’un nombre étant toujours positive, on en déduit que 2 × 5 est positif. 2 × 5 ne peut donc pas être égal à – 20 . 20 EXERCICE 23 1) ( 7 × 2)² = ( 7)² × ( 2)² = 7 × 2 = 14 Comme 7 × 2 est positif, on en déduit : 7 × 2 = 14 On en déduit que : 7× 2 = 1) Le carré de 7 × 2 est égal à 14. Les nombres 7 × 2 et 14 sont donc soit égaux, soit opposés. Comme les deux nombres sont positifs, ils sont donc égaux. 7×2 . 2) ( a × b )² = ( a )² × ( b )² = a × b a × b est positif a et b étant positifs, a × b est positif. On peut en donc déduire : a×b = a × b EXERCICE 24 Les nombres A et D peuvent s’écrire sous forme de nombres entiers. 75 75 ● A = 2 × 8 = 2 × 8 = 16 = 4 ● D= = = 25 = 5 3 3 On ne peut pas simplifier les écritures de B et de C : il n’existe aucune règle pour la somme et la différence de racines carrées. Je vois à l’aide de la calculatrice que ces nombres ne sont pas des entiers. ● B= 5 + 11 ● C= 30 − 5 Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne – 153 154 Séquence 5 Séance 7 EXERCICE 25 1) ● A = 2 3 = 4 × 3 = 4 × 3 = 12 1) 2= 2² = 4 a× b= Puis on utilise la propriété : 25 × 6 = 25 × 6 = 150 ● B= 5 6 = ● C= 3 5= a×b (a et b positifs) 9 × 5 = 9 × 5 = 45 2) ● D= 567 = ● E = 700 = 100 × 7 = 100 × 7 = 10 7 ● F= 252 = 36 × 7 = 36 × 7 = 6 7 81 × 7 = 81 × 7 = 9 7 2) On cherche à écrire les nombres sous la forme a 7 donc je cherche un nombre qui, multiplié par 7 donne 567. Ici, c’est 81. J’utilise la propriété de la racine carrée d’un produit. Comme 81 = 9, le résultat s’écrit simplement. ● G = 2 28 G = 2 4× 7 = 2× 4 × 7 = 2× 2× 7 = 4 7 EXERCICE 26 ● M = 3 5 − 2 45 + 180 ● N= 108 + 7 12 − 3 75 M = 3 5 − 2 9 × 5 + 36 × 5 N= 36 × 3 + 7 × 4 × 3 − 3 × 25 × 3 M = 3 5 − 2 9 × 5 + 36 × 5 N= 36 × 3 + 7 × 4 × 3 − 3 × 25 × 3 M = 3 5 − 2×3 5 + 6 5 N = 6 3 + 7 × 2 3 − 3× 5 3 M = 3 5 −6 5 +6 5 N = 6 3 + 14 3 − 15 3 M= 3 5 N= 5 3 ● P= 200 − 3 242 − 5 2 P = 100 × 2 − 3 × 121 × 2 − 5 2 P = 100 × 2 − 3 × 121 × 2 − 5 2 P = 10 2 − 3 × 11 2 − 5 2 P = 10 2 − 33 2 − 5 2 P = −28 2 Les commentaires du professeur : On utilise la même méthode que dans le dernier « Je comprends la méthode ». On obtient trois termes avec la même racine carrée ( 5 ) pour le nombre M, ce qui permet de factoriser la somme. Pour le nombre P, une fois que l’on a simplifié les écritures 200 et 242 , on factorise par 10 2 − 33 2 − 5 2 = 2 × ( 10 − 33 − 5 ) = 2 × ( −28 ) = −28 : 2. 2 154 – Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne 155 Séquence 5 EXERCICE 27 1) Soit P 1 le périmètre du triangle ABC en cm. P1 = 3 × 2 12 soit P 1 = 6 12 cm. Soit P 2 le périmètre du rectangle EFGH en cm. P2 = 1) ABC est un triangle équilatéral donc son périmètre est égal à « 3 fois la longueur d’un côté ». EFGH est un rectangle donc son périmètre est égal à « 2 fois sa longueur plus 2 fois sa largeur ». 2 12 + 2 48 cm 2) 2) P 1 = 6 12 cm P 1 = 6× 4×3 = 6× P 1 = 12 3 cm 4 × 3 = 6× 2 3 P 2 = 2 12 + 2 48 P 2 = 2 × 4 × 3 + 2 × 16 × 3 P 2 = 2 × 4 × 3 + 2 × 16 × P 2 = 2× 2× 3 + 2× 4× 3 P2 = 4 3 +8 3 P 2 = 12 3 cm On simplifie les écritures des racines carrées en utilisant la propriété de la leçon. 3 On obtient ainsi le même périmètre pour les deux figures. Les deux périmètres sont égaux. EXERCICE 28 A = ( 27 − 5)² − 30(1 − 3) A = ( 27)² − 2 × 27 × 5 + 5² − 30 × 1 + 30 × 3 A = 27 − 10 27 + 25 − 30 + 30 3 A = 22 − 10 27 + 30 3 On développe en utilisant une identité remarquable et la distributivité vue en classe de 5ème. On simplifie l’écriture de 27 en utilisant la propriété de la racine d’un produit afin de pouvoir encore simplifier l’écriture de A. A = 22 − 10 × 9 × 3 + 30 3 A = 22 − 10 × 9 × 3 + 30 3 A = 22 − 10 × 3 3 + 30 3 A = 22 − 30 3 + 30 3 A = 22 A est un nombre entier. Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne – 155 156 Séquence 5 EXERCICE 29 ● A= 1× 3 1 3 = = 3 3 ( 3)² ● B= −5 × 6 −5 6 −5 = = 6 6 ( 6)² ● C= 5 − 2 (5 − 2) × 2 5 2 − ( 2)² 5 2 − 2 5 2 = = = = −1 2 2 2 2 ( 2)² Les commentaires du professeur : On applique le « Je comprends la méthode » vu précédemment. EXERCICE 30 ● A= A= ● B= 5 3 5 2 3 8 5 2 3 8 20 2 3 8 20 2 + 3 8 = + = + = + = + 2 8 8 8 8 2 8 ( 2)² ( 8)² 20 2 + 3 × 4 × 2 20 2 + 6 2 26 2 13 2 = = = 8 8 8 4 2 3 5 2 7 3 28 5 2 7 3 28 5 + − = + − = + − 7 28 7 7 28 7 ( 7)² ( 28)² 7 B= 8 7 3 28 20 8 7 + 3 28 − 20 8 7 + 3 × 4 × 7 − 20 8 7 + 6 7 − 20 + − = = = 28 28 28 28 28 28 B= 14 7 − 20 7 7 − 10 = 14 28 Les commentaires du professeur : On applique le « Je comprends la méthode » vu précédemment aux différents termes de chaque somme. On écrit les quotients avec le même dénominateur. On simplifie ensuite l’écriture des racines carrées. On pense également à simplifier l’écriture fractionnaire à la fin, lorsque c’est possible. 156 – Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne 157 Séquence 5 Séance 8 EXERCICE 31 1) 1) J’émets les conjectures suivantes : ● Ces trois rectangles ont la même forme. ● Ce sont des agrandissements ou des réductions les uns des autres. On émet des conjectures en observant la figure, c’est-à-dire qu’on énonce des propriétés concernant ces figures qui semblent vraies. On verra par la suite que ces conjectures sont vraies. ● Les longueurs de ces rectangles sont proportionnelles à leurs largeurs. Si je mesure la longueur L et la largeur l de chaque rectangle, j’obtiens : pour le rectangle 1 : L ≈ 4,8 cm et l ≈ 3 cm pour le rectangle 2 : L ≈ 3,2 cm et l ≈ 2 cm pour le rectangle 3 : L ≈ 1,6 cm et l ≈ 1 cm 4,8 3 3,2 2 Un rectangle d’or est un rectangle tel que le rapport de sa longueur sur sa largeur est égal au nombre d’or (≈ 1,618) Il semble que ce soit le cas pour nos trois rectangles ! 1,6 1 4,8 3, 2 1,6 = = = 1,6 3 2 1 Il s’agit bien d’un tableau de proportionnalité. 2) ● Lorsqu’on divise la longueur d’une feuille de papier au format A4 par sa largeur, on obtient : 29,7 : 21 ≈ 1,41. On n’obtient pas environ 1,6. Cette feuille n’est donc pas un rectangle d’or. 2) Pour savoir si un rectangle semble être un rectangle d’or, on divise sa longueur par sa largeur. On regarde si on obtient un nombre environ égal à 1,6 comme dans la question 1. ● Lorsqu’on divise la longueur par la largeur (qui sont égales !), on obtient 1. On n’obtient pas environ 1,6. Un carré n’est donc pas un rectangle d’or. Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne – 157 158 Séquence 5 3) a) On suit le programme de construction indiqué dans l’énoncé. Si tu n’arrives pas à construire la figure, ouvre le fichier : sequence5exercice31. 3) On mesure sur la figure qu’on vient de tracer les longueurs AD et AB. En calculant AB , on obtient une valeur proche de 1,6, c’est-àAD dire proche du nombre d’or. Il semble donc que ce programme de construction permette de construire un rectangle d’or. Sur la figure que j’ai tracée, [AB] mesure environ 7 cm et [AD] mesure environ 4,2 cm. AB ≈ 1,6 AD Il semble donc que le rectangle que j’ai tracé soit un rectangle d’or. b) On construit la figure ci-dessus à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique, on fait afficher les AB longueurs AB et AD, ainsi que le rapport . AD On remarque que lorsqu’on bouge les points de la AB figure, le rapport reste le même et est environ AD égal à 1,618033989. Bien évidemment, tu as choisi au hasard, la longueur du côté du carré AMND. Tu n’as donc peut-être pas trouvé les mêmes mesures que dans la correction ci-contre. Ce n’est pas grave. En 4) a) Le triangle OMN est rectangle en N. 4) a) revanche, le rapport AB doit être environ égal à 1,6. AD En appliquant la propriété de Pythagore, on obtient : OM² = MN² + ON² OM² = 6² + 3² OM² = 45 OM = 45 Or, 45 = 9 × 5 = 9 × 5 = 3 5 . D’où : OM = 3 5 cm. OM = OC (d’après l’énoncé). On a donc : OC = 3 5 cm. DC = DO + OC = 3 + 3 5 . DC 3 + 3 5 3(1 + 5) 1 + 5 = = = . BC 6 3× 2 2 Un rectangle d’or est donc un rectangle dont le rapport « longueur divisé par largeur » est égal à 1+ 5 . 2 158 – Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne 159 Séquence 5 b) NC = DC – DN = 3 + 3 5 – 6 = –3 + 3 5 BC 6 3× 2 2 = = = NC −3 + 3 5 3(−1 + 5) −1 + 5 Pour prouver que ●2×2=4 BC = 6 2 1+ 5 et sont égaux, on peut calculer les produits en croix : 2 −1 + 5 2 ● (−1 + 5)(1 + 5) = ( 5 + 1)( 5 − 1) = 5 − 1 = 5 − 1 = 4 2 1+ 5 et sont égaux. 2 −1 + 5 D’après la question précédente, le rectangle NMBC est bien un rectangle d’or. Les produits en croix sont égaux donc Les commentaires du professeur : On pouvait également procéder de la façon suivante : −2 − 2 5 −2 × (1 + 5 ) BC 2 × (−1 − 5 ) = = = −4 NC (−1 + 5 ) × (−1 − 5 ) (−1)² − ( 5 )² = −2 × (1 + 5 ) 1 + 5 = −2 × 2 2 5) MUTS et VWST sont deux rectangles d’or. 6) Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne – 159 160 Séquence 5 EXERCICE 32 1) 2 1+ 5 (1 + 5)² 1² + 5² + 2 × 1 × 5 φ² = = = 2² 4 2 6 + 2 5 2( 3 + 5 ) 3 + 5 = = 4 2×2 2 1+ 5 + 2 5 6 + 2 5 3 + 5 φ² = = = 4 4 2 φ + 1= D’où : 1) On calcule séparément φ² et φ+1. On obtient, après simplification, le même résultat. On en déduit l’égalité. 1+ 5 1+ 5 + 2 3 + 5 +1= = 2 2 2 φ² = φ + 1. 2) 2) On calcule séparément 1 1 2 ● = = ϕ 1+ 5 1+ 5 2 ● ϕ −1= 1 ϕ et Pour simplifier l’écriture de 1+ 5 1 + 5 − 2 −1 + 5 −1 = = 2 2 2 φ–1 1 ϕ , on multiplie le numérateur et le dénominateur par 1 − 5 , ainsi il n’y a plus de racine carrée au dénominateur. −1 + 5 2 sont égaux, on et 2 1+ 5 peut calculer les produits en croix : Pour prouver que 2×2=4 (1 + 5)(−1 + 5) = ( 5 + 1)( 5 − 1) 2 (1 + 5)(−1 + 5) = 5 − 1 = 5 − 1 = 4 Les produits en croix sont égaux donc 2 et 1+ 5 −1 + 5 sont égaux. 2 1 D’où : = ϕ − 1. ϕ 160 – Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne 161 Séquence 5 Séance 9 EXERCICE 33 1) 1) On choisit comme nombre 1 au départ et on suit le programme de calcul. On obtient – 6. ● Avec le nombre 1 1² = 1 1² – 7 = – 6 ● Avec le nombre – 5 (– 5)² = 25 (– 5)² – 7 = 18 On fait de même avec – 5. On obtient 18. 2) ● Avec n’importe quel nombre x, j’obtiens successivement : x² x² – 7 Pour savoir quel(s) nombre(s) choisir au départ afin d’obtenir 2,61 à la fin, il suffit de résoudre l’équation : x² – 7 = 2,61 x² = 2,61 + 7 x² = 9,61 9,61 > 0 donc il y a deux solutions : 9,61 et 2) Grâce à la question 1, on comprend comment fonctionne le programme de calcul. Dans la question 2, on ne connaît pas le nombre de départ. On l’appelle x. – 9,61 soit : 3,1 et – 3,1. EXERCICE 34 Départ : x 9 × x = 9x 9x = 9 × x = 3 x Dans cet exercice, on ne connaît pas le nombre de départ. On l’appelle x. On fait fonctionner le programme de calculs avec x. On obtient 3 x − 5 . Arrivée : 3 x − 5 On résout l’équation : 3 x −5= 7 3 x =7+5 12 x= 3 x =4 x = 16 x est le nombre positif dont le carré est égal à x. ( x )² = 4² = 16. D’où : x = 16. Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne – 161 162 Séquence 5 EXERCICE 35 1) 2= p q 2 p On élève au carré les deux membres de cette égalité : ( 2)² = q p² Autrement dit : 2= d’où : 2q² = p² q² 2) dernier chiffre de p dernier chiffre de p² 0 0 1 1 2 4 3 9 4 6 5 5 6 6 7 9 8 4 9 1 dernier chiffre de q dernier chiffre de q² dernier chiffre de 2×q² 0 0 0 1 1 2 2 4 8 3 9 8 4 6 2 5 5 0 6 6 2 7 9 8 8 4 8 9 1 2 3) La seule possibilité pour que le dernier chiffre de p² soit aussi le dernier chiffre de 2q² est lorsque p2 se termine par un 0. Cela signifie que le dernier chiffre de p est 0 et que le dernier chiffre de q est 0 ou 5. 4) Si p se termine par 0 et si q se termine par 0 ou 5, cela signifie que p et q sont tous les deux divisibles par 5. p Dans ce cas, la fraction n’est pas irréductible. q C’est une contradiction puisqu’au départ, on avait supposé qu’elle l’était. Cela signifie que ce que l’on a supposé au départ était faux : d’une fraction. 2 ne peut donc pas s’écrire sous la forme 162 – Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne 163 Séquence 5 JE M’ÉVALUE 1) La racine carrée d’un nombre est toujours positive. On peut calculer la racine carrée de n’importe quel nombre avec la calculatrice. 1) La racine carrée d’un nombre est toujours positive et on ne peut pas calculer la racine carrée d’un nombre négatif. Certaines racines carrées se calculent de tête comme 4 , 9 , 25 … La racine carrée d’un nombre entier positif est un nombre entier positif. La racine carrée d’un entier positif n’est pas nécessairement un nombre entier positif. Par exemple, 2 n’est pas un entier. On peut calculer la racine carrée de certains nombres de tête. 2) 8=4 2) On utilise la définition de la racine carrée. C’est 16 qui est égal à 4. ( 3)² = 3 2² = 4 0 =0 2² est égal à 2. 3) 3) –7 ( −7 )² = 49 = 7 On ne peut pas obtenir – 7 car la racine carrée d’un nombre est toujours positive ! 7 49 n’existe pas 4) L’équation : x2 = 9 4) a deux solutions : 9 et – 9 L’équation : x2 = 0 a une seule solution : 0. L’équation : x2 + 1 = 0 n’a pas de solution. L’équation « x² = 9 » a deux solutions : 3 et – 3. Si on résout : x² + 1 = 0, on obtient : x² = – 1 Il n’y a donc aucune solution. Si on résout : x² – 6 = 0, on obtient : x² = 6 Il existe deux solutions : 6 et − 6 . 6 est l’unique solution de l’équation : x2 – 6 = 0. 5) 6 et – 6 8 et – 8 10 et – 10 5) (x – 8)(x + 8) = 36 On développe le 1er membre : x² – 64 = 36 x² = 36 + 64 x² = 100 Il y a deux solutions : 10 et – 10. Il n’y a aucune solution Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne – 163 164 Séquence 5 6) 6) 29 + 12 5 ( 3 + 2 5 )² = 3² + ( 2 5 )² + 2 × 3 × 2 5 ( 3 + 2 5 )² = 9 + 4 × 5 + 12 5 ( 3 + 2 5 )² = 29 + 12 5 19 + 12 5 29 9 + 16 5 7) 7) 5 3 3 5 75 = 25×3 75 = 25 × 3 25 × 3 75 = 5 3 25 3 8) 14 50 8) ABC est un triangle rectangle en A. En appliquant la propriété de Pythagore, on obtient : BC² = AB² + AC² D’où : BC² = ( 4 3 )² + ( 2 )² BC² = 16 × 3 + 2 = 50 5 2 D’où : BC = On ne peut pas calculer cette longueur 50 = 50 25×2 = 25 × 2 = 5 2 9) 9) 3 216 162 + 3 72 − 18 = 81×2 + 3 36 ×2 − 9×2 162 + 3 72 − 18 = 81 × 2 + 3 36 × 2 − 9 × 2 9 2 + 18 2 − 3 2 162 + 3 72 − 18 = 9 2 + 3 × 6 2 − 3 2 162 + 3 72 − 18 = 9 2 + 18 2 − 3 2 24 2 162 + 3 72 − 18 = 24 2 6+6 6 −2 3 10) 10) 3 5 15 5 5 3 3 5 5 3 3× 5 = 5 5× 5 3 3 5 = 5 5 164 – Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne 165 Séquence 6 SÉQUENCE 6 FONCTIONS Ce que tu devais faire Les commentaires du professeur Séance 1 JE RÉVISE LES ACQUIS DE LA 4e 1) 2c 4c 2) 3) 4c2 c2 x+3×5–2 (x + 3) × (5 – 2) (x + 3) × 5 – 2 3×5–2 25 cm 3 2,5 cm On a exprimé le résultat du programme de calcul en fonction de x. 7,5 cm 1) L’aire d’un carré est le produit de son côté par lui-même. Si le côté est 3 cm, son aire est 3 × 3 soit 9 cm2. Si le côté est 4 cm, son aire est 4 × 4 soit 16 cm2. Si le côté est 5 cm, son aire est 5 × 5 soit 25 cm2. Si le côté est c cm, son aire est c × c soit c2 cm2. 2) x est le nombre choisi. On lui ajoute 3. On obtient : x + 3. On multiplie le résultat par 5. On obtient : (x + 3) × 5. On retranche 2 au résultat. On obtient : (x + 3) × 5 – 2. 3 cm 25 4) 5s 15 s 3s 20 s EXERCICE 1 1) Le périmètre de chacun de ces trois rectangles est égal à 20 cm. 3) La hauteur d’eau en cm est fonction du temps écoulé en seconde. Pour calculer la hauteur d’eau au bout de 2,5 secondes, on remplace t par 2,5 dans l’égalité : h = 3 × t. On obtient : h = 3 × 2,5 = 7,5. D’où : h = 7,5 cm. 4) On cherche pour quelle valeur de t on a : h = 60. Comme h = 3× t, on cherche t tel que 3 × t = 60. On est donc ramené à résoudre une équation. Le nombre qui, multiplié par 3 donne 60 est par définition 60 donc 20. 3 On pouvait aussi dire par exemple que : • la somme des longueurs de deux côtés consécutifs est égale à 10 cm. • le demi-périmètre de chacun des rectangles est égal à 10 cm. 2) a) Les commentaires du professeur : On pouvait construire bien d’autres rectangles KLMN de périmètre 20 cm. Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne – 165 166 Séquence 6 On rappelle que le périmètre de KLMN est la longueur de son contour, soit KL + LM + MN + NK donc : 2 × (KL + LM). b) KL ne peut pas être plus grande que 10 cm. • On a vu dans le 1) que si l’on choisit KL = 9 cm, on peut construire un rectangle KLMN de 20 cm de périmètre. Il suffit de construire [LM] tel que LM = 1 cm. Le périmètre du rectangle est : 2 × (KL + LM) = 2 × (9 + 1) = 20. • Si on choisit KL = 9,99 cm, on peut encore construire un rectangle KLMN de 20 cm de périmètre. Il suffit pour cela de construire [LM] tel que LM = 0,01 cm. Le périmètre du rectangle est : 2 × (KL + LM) = 2 × (9,99 + 0,01) = 20. • Si on choisit KL = 9,999 999 cm, on peut encore construire un rectangle de 20 cm de périmètre. On a alors LM = 0,000 001 cm. Si on choisit KL = 0,001, on peut encore construire un rectangle KLMN de 20 cm de périmètre. On a alors LM = 9,999 cm. KL ne peut pas être plus petite que 0 cm. Pour voir ceci à l’aide d’une animation, et si tu possèdes un ordinateur, lance geogebra et ouvre le fichier sequence7exercice1corrige1. Déplace alors le point K. c) c) Je peux en construire une infinité. Comme : KL + LM = 10 cm, si KL = 1 cm alors LM = 9 cm si KL = 4 cm alors LM = 6 cm si KL = 5,5 cm alors LM = 4,5 cm. Chaque fois que je choisis une valeur pour KL entre 0 et 10, je peux construire un rectangle KLMN de 20 cm de périmètre en prenant LM égal à 10 – KL cm. 3) a) KL 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 LM 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Les commentaires du professeur : On peut compléter rapidement le tableau vu que KL + LM = 10. b) x = KL Le périmètre du rectangle est 2 × (KL + LM) donc 2 × (x + LM). Le périmètre du rectangle KLMN est égal à 20 cm donc on a : 2 × (x + LM) = 20. D’où : x + LM = 10 LM = 10 – x c) • l(x) = 10 – x • l(2,5) = 10 – 2,5 = 7,5 • l(4,1) = 10 – 4,1 = 5,9 166 b) Exprimer LM en fonction de x, c’est écrire une égalité du type : LM = ................ expression où intervient x c) On lit : « l de x est égal à 10 – x ».. Pour calculer l(2,5) (on lit « l de 2,5 »), il suffit de remplacer x par 2,5 dans l’égalité l(x) = 10 – x. On trouve alors l(2,5) = 10 – 2,5 = 7,5 L’image de 4,1 par la fonction l est l(4,1). Pour calculer l(4,1) (on lit « l de 4,1 »), il suffit de remplacer x par 4,1 dans l’égalité : l(x) = 10 – x. – Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne 167 Séquence 6 • l(1) = 10 – 1 = 9 1 est un antécédent de 9 par la fonction l. On cherche un nombre dont l’image par l est 9. On fait des essais et on remarque que l(1) = 9. On pouvait aussi le voir dans le tableau de valeurs. 1 est donc un antécédent de 9 par l. 4) a) Les commentaires du professeur : Ce tracé est un segment : tous les points sont exactement alignés. Si on avait su, on aurait pu ne placer que deux points, cela aurait suffi ! b) b) D’après une lecture graphique, l’image de 4,5 par la fonction l est 5,5. La représentation graphique d’une fonction l est en fait l’ensemble de tous les points de coordonnées (x ; l(x)). Pour lire sur ce graphique l’image de 4,5 on cherche l’ordonnée du point de la représentation graphique dont l’abscisse est 4,5. Pour cela : on trace un segment vertical passant par le point (4,5 ; 0) qui coupe la représentation graphique de l en un point K. On trace ensuite un segment horizontal qui passe par K et qui coupe l’axe des ordonnées. Il faut laisser les tracés apparents. Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne – 167 168 Séquence 6 c) D’après une lecture graphique, 1,5 est un antécédent de 8,5. Il n’y a qu’un seul point de la représentation graphique de l à avoir une ordonnée de 8,5. 1,5 est donc le seul antécédent de 8,5 par l. Pour lire sur ce graphique un antécédent de 8,5 on cherche l’abscisse du point de la représentation graphique dont l’ordonnée est 8,5. Pour cela : on trace un segment horizontal passant par le point L de coordonnées (0 ; 8,5) qui coupe la représentation graphique de l en un point. On trace ensuite un segment vertical qui passe par L et qui coupe l’axe des abscisses. Il faut laisser les tracés apparents. c) • l(4,5) = 10 – 4,5 = 5,5 c) On peut calculer l’image de 4,5 par la fonction l. Le résultat est alors exact. • Recherche de l’antécédent de 8,5 par l : On cherche x tel que : l(x) = 8,5 On résout : 10 − x = 8,5 − x = 8,5 − 10 − x = −1,5 x = 1,5 5) Le logiciel a tracé une droite qui contient et prolonge la représentation graphique de la fonction l pour x compris entre 0 et 10. On peut également dans ce cas calculer les antécédents de 8,5. On montre ainsi que 8,5 a un seul antécédent par l qui est 1,5. 5) Si tu n’as pas réussi à effectuer cette question à l’aide de geogebra, ouvre la figure corrigée : sequence7exercice1corrige2. Comme on n’a pas précisé à l’ordinateur que l’on prenait x compris entre 0 et 10, l’ordinateur a tracé tous les points de coordonnées (x, l(x)) pour n’importe quelle valeur de x (pour x négatif, pour x compris entre 0 et 10, et pour x plus grand que 10). Essaie en te déplaçant à l’aide du bouton « déplacement » de trouver le point de la courbe dont l’abscisse est 30. Si tu ne l’as pas déjà fait, ouvre avec geogebra le fichier sequence7exercice1corrige2. Déplace ensuite le point M sur la droite tracée par l’ordinateur. Tu constates que les coordonnées du point M sont (x, 10 – x) c’està-dire (x, l(x)). Pour avoir à l’aide de geogebra une vision d’ensemble de cet exercice, ouvre le fichier sequence7exercice1corrige3. Déplace le point K. Tu vois alors pour chaque position du point K le rectangle KLMN de périmètre 20 cm obtenu, ainsi que le point de coordonnée (x , l(x)). 168 – Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne 169 Séquence 6 EXERCICE 2 1) La fonction f est définie par : f : x ֏ x2 On peut également écrire pour définir la fonction f : f est la fonction définie par : f(x) = x2. 2) x –3 –2 –1 0 1 2 3 f(x) 9 4 1 0 1 4 9 3) Les commentaires du professeur : Pour représenter graphiquement la fonction f, on place les points de coordonnées (–3 ; 9) , (–2 ; 4) , (–1 ; 1) , (0 ; 0) ; (1 ; 1) , (2 , 4) et (3 ; 9). La représentation graphique d’une fonction est l’ensemble des points de coordonnées (x ; f(x)). Pour la représenter, il faudrait placer tous les points de coordonnées (x ; f(x)). Bien sûr, ce n’est pas possible car il y en a une infinité. On en place donc quelques-uns puis on les relie par un tracé. Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne – 169 170 Séquence 6 Attention : il ne faut pas relier les points par des segments. Pourquoi ? Pour mieux le comprendre, effectuons un grossissement d’une partie du graphique, ce qui donne le nouveau graphique ci-contre. La courbe foncée est celle obtenue en reliant les points par des segments. La courbe claire est celle obtenue en traçant la courbe « à main levée ». Laquelle des deux est la bonne ? Prenons une valeur, par exemple 0,5. f(0,5) = 0,52 = 0,25 L’image de 0,5 est donc 0,25. Si on cherche à déterminer graphiquement l’image de 0,5 par f et qu’on utilise la courbe foncée, on ne trouve pas 0,25 mais 0,5. La courbe foncée n’est donc pas la représentation graphique de f. Conclusion : Lorsqu’on trace la représentation graphique d’une fonction, on place des points de coordonnées (x ; f(x)) puis on les relie en traçant une courbe « à main levée ». 4)a) Les antécédents de 4 par f sont les nombres x tels que f(x) = 4 c’est-à-dire tels que x2 = 4. On a vu cette année que l’équation x2 = a admet deux solutions 2 On sait que l’équation x = 4 admet deux solutions lorsque a est positif : a et − a . qui sont –2 et 2. –2 et 2 sont les antécédents de 4 par f. On retrouve sur le graphique les deux antécédents de 4 par la fonction f. On n’oublie pas de laisser les traits de construction apparents. 170 – Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne 171 Séquence 6 b) b) Les antécédents de 5 par f sont les nombres x tels que f(x) = 5 soit tels que x2 = 5. On sait que l’équation x2 = 5 admet deux solutions qui sont − 5 et 5 . − 5 et 5 sont les seuls antécédents de 5 par f. On retrouve sur le graphique les valeurs approchées des deux antécédents de 5 : –2,2 et 2,2. On n’oublie pas de laisser les traits de construction apparents. c) Les antécédents de –2 par f sont les nombres x tels que f(x) = –2 soit tels que x2 = –2. On sait que l’équation x2 = –2 n’admet aucune solution car –2 < 0. –2 n’a donc pas d’antécédent par f. c) On se souvient que l’équation x2 = a n’admet pas de solution lorsque a est négatif. Cela se visualise graphiquement puisque si a est négatif, la droite parallèle à l’axe des abscisses passant par le point de coordonnées (0 ; –2) ne coupe jamais la représentation graphique de la fonction. Si tu possèdes un ordinateur, ouvre le fichier sequence7exercice2corrige à l’aide de geogebra et déplace le point bleu. Tu verras alors apparaître de façon graphique les solutions de l’équation x2 = a en fonction du nombre a. 5) f(1 + 2) = f(3) = 32 = 9 f(1) + f(2) = 12 + 22 = 1 + 4 = 5. On a : f(1 + 2) ≠ f(1) + f(2) Il faut faire attention à ne pas confondre deux situations : • Si f, a et b sont des nombres, on a : f × (a + b) = f × a + f × b • Si f est une fonction et a et b sont des nombres, f(a + b) et f (a) + f(b) ne sont pas toujours des nombres égaux. Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne – 171 172 Séquence 6 Séance 2 EXERCICE 3 1) a) KL 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 LM 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Aire de KLMN 0 9 16 21 24 25 24 21 16 9 0 Les commentaires du professeur : On a déjà calculé LM pour les valeurs de KL entières de 0 à 10 dans l’exercice 1. L’aire du rectangle KLMN est le produit de KL et de LM. b) 5 cm est la valeur entière de x pour laquelle l’aire de KLMN est la plus grande. L’aire de KLMN pour cette valeur est 25 cm2. 2) a(x) = KL × LM = x × (10 – x) Il suffit de regarder dans le tableau la valeur entière de KL pour laquelle l’aire de KLMN est la plus grande. Cela ne veut pas dire que l’aire de KLMN est la plus grande pour x = 5 car on n’a pas étudié cette aire pour les valeurs non entières de x. On peut développer a(x) si l’on veut : a(x) = 10x – x2 = –x2 + 10x 3) a) La représentation graphique se trouve page suivante ! 172 – Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne 173 Séquence 6 Les commentaires du professeur : On place les points en s’aidant du tableau. On peut en placer d’autres si on veut être plus précis. On trace ensuite à main levée un tracé passant par tous ces points. Ce tracé doit représenter l’ensemble des points de coordonnées (x, a(x)). c) c) D’après une lecture graphique, on voit que l’aire semble maximale D’après une lecture graphique, la valeur de x pour quand le rectangle KLMN est un carré. laquelle a(x) semble être la plus grande est 5. Cela veut dire que l’aire du rectangle est maximale pour KL = 5 cm. L’aire du rectangle est alors 25 cm2. Le rectangle est alors un carré car KL = LM = 5 cm. d) D’après une lecture graphique de la figure à l’écran, la valeur de x pour laquelle a(x) est la plus grande est 5. Cela veut dire que l’aire du rectangle est maximale pour KL = 5 cm. L’aire du rectangle est alors 25 cm2. Le rectangle est alors un carré car KL = LM = 5 cm. Ce résultat n’a pas été démontré : il est constaté en lisant une représentation graphique de la fonction a. Pour être plus sûr du résultat on peut utiliser un logiciel de géométrie dynamique. Si tu n’as pas réussi à faire la construction proposée : ouvre le fichier sequence7exercice3corrige1. On déplace le point sur la courbe tout en lisant ses coordonnées. On voit alors que le point « au sommet de la courbe » a pour coordonnées (5 ; 25). Pour visualiser pour chaque position du point K le rectangle KLMN et le point de coordonnées (x, a(x)), ouvre le fichier Sequence7exercice3corrige2. Pour pouvoir affirmer ce résultat, il faudrait une démonstration. Il en existe, mais elle n’est pas au programme de 3e ! Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne – 173 174 Séquence 6 EXERCICE 4 1) h(0) = 0 h(1) = 6 000 h(4) = 9 000 h(6) = 4 000 h(11) = 0 2) L’altitude au bout de 3 h de vol est h(3). 1) Comme les points sont placés sur le graphique, on peut considérer que les valeurs sont des valeurs exactes. 2) On détermine graphiquement l’image de 3 par la fonction h. On n’oublie pas de laisser les traits de construction apparents. h(3) ≈ 8 700 m 3) 3) L’altitude maximale de vol de l’avion est 9 000 m. Les traits de lecture sont déjà tracés sur le graphique. L’avion a volé à cette hauteur au bout de 4 h de vol. 4) Les antécédents de 6 000 m sont les nombres d’heures de vol auxquelles l’avion a volé à 6 000 m d’altitude. 4) Il y en a deux : 1 h et environ 5,8 h. 174 – Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne 175 Séquence 6 Séance 3 EXERCICE 5 1) On peut également écrire : t est la fonction définie par : t(x) = 1,5 x. 1) t est la fonction définie par : t : x ֏ 1,5x ou bien encore : t est la fonction définie par : t(x) = 3 x 2 2) a) x –3 –2 –1 0 1 2 3 t(x) – 4,5 –3 – 1,5 0 1,5 3 4,5 b) Le tableau ci-dessus est un tableau de proportionnalité : il suffit de multiplier chaque nombre de la 1ère ligne par 1,5 pour obtenir le nombre qui se trouve juste au dessous. Les grandeurs « température à Burg » et « température à Nantes » sont proportionnelles. b) c) Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne – 175 176 Séquence 6 d) La représentation graphique de la fonction t semble être une droite. Je peux même affirmer que c’est une droite passant par l’origine car j’ai vu en 4e qu’une situation de proportionnalité est représentée graphiquement dans un repère par une droite passant par l’origine. e) Il n’y avait donc besoin que de deux points pour pouvoir tracer la représentation graphique de la fonction t car c’est une droite. f) Les températures sont négatives à Burg quand elles sont négatives à Nantes. 3) a) Dans chacun des trois cas, les fonctions définissent des situations de proportionnalités. Pour la fonction g, le coefficient de proportionnalité est –4. Pour la fonction h, le coefficient de proportionnalité est 2. Pour la fonction n, le coefficient de proportionnalité 2 est − . 3 Les représentations graphiques de ces fonctions sont donc des droites qui passent par l’origine du repère. b) g(1) = –4 × 1 = – 4 La représentation graphique Cg est la droite qui passe par O et le point de coordonnées (1 ; – 4). d) On a vu en 4e qu’une situation de proportionnalité est représentée graphiquement dans un repère par des points alignés avec l’origine. e) En plus, comme on sait qu’il y a l’origine du repère, il ne suffit donc que d’un point en plus de l’origine ! On regarde quand les points de la représentation graphiques de t ont une ordonnée négative. C’est le cas lorsque leur abscisse est négative. g(0) = –4 × 0 = 0 h(0) = 2 × 0 = 0 2 n(0) = − × 0 = 0 3 h(1) = 2 × 1 = 2 La représentation graphique Ch est la droite passant par O et le point de coordonnées (1 ; 2). 2 n(3) = − × 3 = −2 3 La représentation graphique Cn est la droite passant par O et le point de coordonnées (3 ; – 2). 176 – Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne 177 Séquence 6 Les commentaires du professeur : Lorsqu’on veut représenter graphiquement une fonction du type : x ֏ « un nombre » × x il suffit de calculer l’image d’un point (autre que 0). On a alors le choix. On essaie de se simplifier les calculs afin d’obtenir des entiers (si cela est possible). C’est pour cela que l’on a calculé n(3) et pas n(1). n(1) = − 2 3 . Le point de coordonnées (1 ; − 2 3 ) est plus difficile à placer que le point de coordonnées (3 ; – 2). EXERCICE 6 1) La fonction f est définie par : f(x) = 2x + 3 f(1) = 2×1 + 3 = 5 Elle n’est donc pas de la forme : f(2) = 2×2 + 3 = 7 La situation n’est pas une situation de proportionnalité : f(x) = « un nombre » × x mais f(2) n’est pas égal à 5 × 2. f(1) = 5 × 1 f n’est pas une fonction linéaire. 2) La fonction g est une fonction linéaire. Sa représentation graphique est une droite qui passe par l’origine du repère et par le point de coordonnées (1 ; 2) car g(1) = 2. Soit x l’abscisse de M1. L’ordonnée de M1 est : g(x) = 2x L’abscisse de N1 est x. L’ordonnée de N1 est : f(x) = 2x + 3 = g(x) + 3. L’ordonnée de N1 s’obtient en ajoutant 3 à l’ordonnée de M1. De même l’ordonnée de N2 s’obtient en ajoutant 3 à l’ordonnée de M2. C’est également la même chose pour n’importe quel point de la représentation graphique de g. La représentation graphique de f est donc une droite. Cette droite s’obtient « en décalant » la représentation graphique de g de 3 cm « vers le haut ». C’est donc la droite (N1 N2). 3) La représentation graphique de f s’obtient « en décalant » la représentation graphique de g de 3 unités « vers le haut ». 4) Les commentaires du professeur : Trace la droite (N1 N2) de la page précédente en traits pleins. Dans la figure sequence7exercice6corrige, on a représenté graphiquement la fonction g, puis en cliquant dessus et en appuyant un certain nombre de fois sur la touche ↑ on a obtenu la représentation graphique de la fonction qui à x associe 2x + 3. Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne – 177 178 Séquence 6 Séance 4 EXERCICE 7 1) Je n’arrive pas à calculer le côté du carré ! 2) Sans ordinateur : (la figure n’est pas à l’échelle 1) Ce problème semble difficile … On commence par construire le triangle ABC à l’aide d’une règle et d’un compas. Ensuite, on cherche à placer EFGH. Il y a de nombreuses façons qui permettent de placer «à peu près » le rectangle EFGH, par exemple la suivante : Pour des raisons de symétrie, le milieu de [HE] doit être le milieu de [BC]. On place le milieu de [BC]. Puis on place un peu au hasard le point E. Ensuite, on construit les points F, G et H à l’aide d’un équerre. On mesure alors HE et EF. S’ils ne sont pas égaux, on efface le rectangle et on place E de façon à chercher à obtenir un carré. Je trouve que le carré a pour côté environ 5 cm mais je n’en suis pas sûr(e). L’aire du carré est donc d’environ 25 cm2. Avec ordinateur : Je déplace lentement le point E sur [BC] en regardant la valeur de x et celle de f(x). Je trouve que les deux sont égales quand x = 4,8 cm. D’après le logiciel de géométrie, il semble que le côté du carré soit 4,8 cm, donc que l’aire du carré soit environ 23,04 cm2. 3) a) Le triangle ABC est isocèle en O donc (AO) la hauteur issue de A est aussi la médiane issue de A. Le point O est donc le milieu de [BC]. D’où : OC = 178 On trouve environ 5 cm de côté, mais c’est juste une valeur approchée… Si tu n’as pas réussi à construire la figure, ouvre la figure corrigée sequence7exercice7corrige1. Tu vois que pour chaque position du point E, on obtient un rectangle EFGH inscrit dans le triangle ABC, et que le rectangle est un carré pour x environ égal à 4,8 cm. On sait que dans un triangle isocèle en A : • la médiane issue de A, • la hauteur issue de A, • la bissectrice de A , • la médiatrice de [BC], sont des droites confondues. BC 12 = soit OC = 6 cm. 2 2 – Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne 179 Séquence 6 Dans le triangle ACO rectangle en O, d’après la propriété de Pythagore : CA2 = CO2 + OA2 102 = 62 + OA2 100 = 36 + OA2 OA2 = 100 – 36 = 64 OA = 64 = 8 OA = 8 cm On en déduit AO à l’aide de la propriété de Pythagore. b) b) x O est le milieu de [HE] donc : OE = . 2 On sait que : • E ∈ [CO) • F ∈ [CA) • (EF) // (OA) car (EF) ⊥ (OC) et (OA) ⊥ (OC) En fait, on devrait démontrer que O est le milieu de [HE]. Voilà comment on pouvait procéder : EFGH est un rectangle donc : (HE) // (GF). Comme de plus G ∈ [AB) et F ∈ [AC), on a d’après la propriété de Thalès : AG AF = AB AC Comme AB = AC on a donc AG = AF. Le triangle AGF est donc isocèle en A. La droite (AO) est perpendiculaire à (GF) car : (AO) ⊥ (BC) et (HE) // (GF). La droite (AO) est la hauteur issue de A du triangle AGF isocèle en A donc (AO) est la médiatrice de [GF]. La médiatrice d’un des côtés d’un rectangle est un axe de symétrie de ce rectangle. (AO) est donc un axe de symétrie de EFGH, c’est donc aussi la médiatrice de [HE]. O est donc le milieu de [HE]. D’après la propriété de Thalès : CE CF EF = = CO CA OA x 2 = CF = EF 6 10 8 6− x 2 = EF 6 8 6− D’où : x 2 = 8 × 12 − x = 4 × 12 − x 6 6 2 2 3 2 6− EF = 8 × EF = 2 × (12 − x ) 3 Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne – 179 180 Séquence 6 c) On cherche à obtenir : HE = EF. 2 (12 − x) 3 On multiplie les deux membres de l’équation par 3. On obtient : 2 3x = 3 × (12 − x) 3 3 x = 2(12 − x) 3 x = 24 − 2 x On résout donc l’équation : x = c) On se sert de l’expression de EF en fonction de x pour résoudre le problème. On traduit le problème à l’aide d’une équation. Ensuite, on résout l’équation. 5 x = 24 24 x= 5 Il y a un seul carré EFGH inscrit dans le triangle 24 cm c’est-à-dire 4,8 cm. ABC, qui a pour côté 5 L’aire de ce carré est 4,82 cm2 soit 23,04 cm2. C’est ce que l’on avait conjecturé à l’aide de la figure dynamique. Cette fois, nous avons fait une démonstration : nous sommes donc sûrs de ce résultat. Il y a un seul carré EFGH inscrit dans le triangle isocèle d’Alkhwarizmi », et ce carré a pour aire 23,04 cm2. Séance 5 EXERCICE 8 1) Ce problème semble difficile. Je pense que l’aire va être maximale quand le rectangle est un carré, mais je ne sais pas pourquoi ! 2) Sans ordinateur : J’ai l’impression que l’aire maximale est environ 24 cm2. Avec ordinateur : Je déplace lentement E sur [BC] en regardant la valeur de l’aire de EFGH. Je trouve que la plus grande valeur de l’aire est 24 cm2. Cette aire correspond à EH = 6 cm. 1) Ce problème semble difficile … 2) Comme dans l’exercice précédent, on construit plusieurs rectangles EFGH inscrits dans le triangle ABC, puis on mesure la longueur et la largeur de chaque rectangle et on calcule son aire. Il semble que l’aire la plus grande soit environ 24 cm2, mais ce n’est pas sûr car ces constructions ne sont pas très précises. On a déjà construit une figure dynamique correspondant à cette situation dans l’exercice précédent. Cette construction ne devrait plus te poser de problème. L’aire maximum semble être atteinte quand le segment [HE] mesure la moitié de [BC]. Cette aire n’est pas l’aire du carré du problème d’« Al-Khwarizmi ». 3) a) Les points affichés ont pour coordonnées (x ; s(x)). Si on déplace E sur le segment [BC], on fait donc apparaître la courbe représentative de la fonction s. 180 3) On peut ainsi visualiser à la fois la figure dynamique correspondant à la situation et le tracé de la représentation graphique de la fonction qui à toute longueur HE associe l’aire du rectangle EFGH. – Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne 181 Séquence 6 b) Lorsqu’on regarde la courbe, on voit que l’ordonnée du point le plus haut de la courbe est 24. s(x) semble être maximal pour x = 6. b) On retrouve à nouveau ce que l’on avait déjà remarqué dans la question précédente. 4) a) HE = x 2 EF = (12 − x) 3 L’aire s(x) du rectangle EFGH est HE × EF soit : 2 2 s(x) = x × (12 − x) = x (12 − x ) 3 3 4) a) On exprime la largeur et la longueur du rectangle en fonction de x. Ensuite, on multiplie ces deux dimensions pour obtenir l’aire du rectangle. b) Je tape dans la barre de saisie : «s(x)=2/3*x*(12-x)» La représentation graphique de la fonction s s’affiche. Si on déplace le point E sur [BC], on remarque que les points placés sont exactement sur la courbe tracée : cela veut dire qu’il y a de fortes chances pour que le calcul de s(x) de la question précédente soit exact. b) Si tu n’a pas réussi à tracer la représentation graphique à l’aide de geogebra, ouvre le fichier sequence7exercice8corrige1. On ne demande pas de développer l’expression de l’aire en fonction de x. On peut donc laisser le résultat sous forme factorisée. Effectivement, la trace rouge de la position du point M coïncide exactement avec le tracé de la courbe représentative de la fonction s. Remarque : on n’a pas démontré que l’aire maximale est 24 cm2. En effet, la démonstration ne peut pas être faite avec les compétences du collège. Par contre, en utilisant la représentation graphique d’une fonction, on a quand même réussi à obtenir graphiquement une solution à ce problème. Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne – 181 182 Séquence 6 Séance 6 EXERCICE 9 1) a) 1) a) Dans le cas où le conducteur réagit instantanément sur une route sèche, la distance d’arrêt en m s’exprime en fonction de la vitesse en m/s de telle sorte que : D(v) = 0,06 v2. Pour calculer la distance d’arrêt à une vitesse donnée, par exemple 10 m/s, on remplace v par 10 dans l’expression D(v) = 0,06 v2. La distance d’arrêt d’une voiture qui roule à 10 m/s est : D(10) = 0,06 × 102 = 6 soit 6 m. Pour mieux se représenter ce que cela représente, convertissons la vitesse en km/h. 3 600 km/h = 36 km/h 10 m/s = 10 × 3 600 m/h = 10 × 1 000 La distance d’arrêt d’une voiture qui roule à 20 m/s est : D (20) = 0,06 × 202 = 24 soit 24 m. 20 m/s =2 × 10 m/s = 2 × 36 km/h = 72 km/h La distance d’arrêt d’une voiture qui roule à 30 m/s est : D (30) = 0,06 × 302 = 54 soit 54 m. 30 m/s = 3 × 10 m/s = 3 × 36 km/h = 108 km/h La distance d’arrêt n’est pas proportionnelle à la On pouvait voir cela directement en regardant l’expression de D. vitesse car par exemple D (20) n’est pas le double de La fonction D définie par : D : v ֏ 0,06 v2 D (10). En effet : 2 × D (10) = 2 × 6 = 12 et D (20) = 24. n’est pas une fonction linéaire car le v « est au carré ». b) On cherche la valeur de v pour laquelle D (v) = 46. On est amené à résoudre : 0,06 v 2 = 46 46 v2 = 0,06 Comme on cherche un nombre positif, on a : 46 v = 0,06 v ≈ 27,69 m/s (arrondi au centième) Si le conducteur conduit à plus d’environ 27,69 m/s, il va percuter l’arbre. 2) a) Le conducteur roule à une vitesse v. Le conducteur voit l’arbre et met 2 s avant de réagir. A la vitesse v, la distance d parcourue en 2 s est : d = v × t = v × 2 soit 2v m. Une fois que le conducteur commence à freiner, la distance parcourue jusqu’à l’arrêt total du véhicule est 0,06 v2 m. b) On résout une équation qui se ramène à une équation du type x2 = a. Il y a en fait deux solutions à l’équation v 2 = 46 qui sont 0, 06 46 46 et − . 0, 06 0, 06 On cherche une vitesse, donc un nombre positif. On ne conserve donc que la solution positive. 27,69 m/s = 27,69 × 3,6 km/h soit environ 99,68 km/h. 2) a) Pendant 2s, le conducteur roule à une vitesse constante égale à v. Il parcourt donc pendant ce temps une distance égale à 2v. La distance d’arrêt est donc : D(v) = 0,06 v2 + 2v 182 – Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne 183 Séquence 6 b) Je n’arrive pas à résoudre le problème car je ne sais pas résoudre l’équation : 0,06 v2 + 2v = 46. b) On ne sait pas, avec les compétences de 3e, résoudre une telle équation ! On peut par contre chercher une solution graphique à ce problème en étudiant la représentation graphique de la fonction D. c) v en m/s D(v) en m x 0 5 10 15 20 25 30 35 D(x) 0 11,5 26 43,5 64 87,5 114 143,5 d) Je trouve environ 15,6 m/s. Si le conducteur roule à moins d’environ 15,6 m/s (c’est-à-dire 56,16 km/h), il ne percutera pas l’arbre. Les commentaires du professeur : Si tu n’as pas réussi à utiliser le tableur, ouvre le fichier sequence7exercice9corrige1 à l’aide de ton tableur. On cherche la vitesse pour laquelle la distance d’arrêt est égale à 46. On cherche donc un antécédent de 46 par la fonction D. Pour cela, on applique la méthode graphique de lecture d’un antécédent. Si tu as imprimé la représentation graphique obtenue à l’aide du tableur, il faut faire attention à l’échelle. En ordonnées : 77 mm représentent 160 m donc 1 mm représente 160 : 77 soit environ 2 m. On a donc tracé ci-dessus un segment horizontal passant par le point A de l’axe des ordonnées situé à 2,3 cm de O. On a fait un autre calcul d’échelle pour l’axe des abscisses. On trouve une distance d’arrêt environ égale à 15,6 m/s. e) On trouve environ 15,65 m/s. Si le conducteur roule à moins d’environ 15,65 m/s (c’est-à-dire 56,34 km/h), il ne percutera pas l’arbre. e) Si tu n’as pas réussi à utiliser le logiciel, ouvre la figure corrigée sequence7exercice9corrige2. Le logiciel de géométrie nous permet d’avoir une estimation un peu plus précise du résultat. Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne – 183 184 Séquence 6 Séance 7 EXERCICE 10 1) a) Le périmètre du tricercle est la somme : • du périmètre du demi-cercle de diamètre [AC], • du périmètre du demi-cercle de diamètre [CB], • du périmètre du demi-cercle de diamètre [AB]. Il est donc égal à : 1 1 1 × ( π × AC ) + × ( π × CB ) + × ( π × AB ) 2 2 2 1 1 1 soit : × ( π × 2 ) + × ( π × 6 ) + × ( π × 8) 2 2 2 c’est-à-dire : π + 3π + 4π donc 8π cm 1) a) On sait que la longueur d’un cercle de diamètre D est π × D. On divise le résultat par 2 pour obtenir la longueur d’un demicercle. Pour calculer le périmètre du tricercle, on calcule la somme des périmètres des trois demi-cercles. Remarque On pouvait aussi utiliser la formule donnant la longueur d’un cercle en fonction du rayon r : L = 2π × r. On calculait alors : 1 AC 1 CB 1 AB × 2π × + × 2π × + × 2π × 2 2 2 2 2 2 On trouve également 8π cm. Le calcul est cependant un peu plus lourd. b) Le périmètre en cm de ce tricercle est : 1 1 1 3 5 8 × ( π × 3 ) + × ( π × 5 ) + × ( π × 8 ) = π × + + = π × 8 = 8π 2 2 2 2 2 2 c) Le périmètre en cm de ce tricercle est : 1 1 1 4 4 8 × ( π × 4 ) + × ( π × 4 ) + × ( π × 8 ) = π × + + = π × 8 = 8π 2 2 2 2 2 2 Les commentaires du professeur : On trouve 8 π dans les trois cas. On se demande si c’est toujours le cas… d) d) Je peux émettre la conjecture suivante : « le périmètre On a écrit une conjecture, mais attention, cela ne veut pas dire qu’elle est toujours vraie ! Pour s’en assurer, il faut faire une en cm des tricercles de Mohr tels que AB = 8 cm est démonstration. égal à 8π ». 184 – Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne 185 Séquence 6 2) a) On a calculé dans les questions a, b et c les nombres : p(2), p(3) et p(4). La conjecture du d est : « pour toute valeur de x comprise entre 0 et 8 on a : p(x) = 8π π. » b) La figure dynamique nous conforte dans l’idée que la conjecture est vraie. Le périmètre semble en effet toujours être égal à un même nombre qui est une valeur approchée de 8π π. c) La représentation graphique de la fonction p est un segment horizontal. 2) a) b) Si tu n’as pas réussi à effectuer la construction dynamique, ouvre le fichier sequence7exercice10corrige1. Le périmètre affiché (25,132 7 cm) est une valeur approchée de 8π. Pour autant, tant que nous ne l’avons pas démontrée, nous ne pouvons pas dire que la conjecture soit toujours vraie. c) En effet, si l’on a bien p(x) = 8π, la fonction ne dépend pas de x. Cela veut dire que l’ordonnée des points de la représentation graphique de p est toujours la même. Cette représentation graphique est donc un segment. 3) 3) a) a) Le point C est sur le segment [AB] donc x est compris entre 0 et 8 cm. b) La longueur du cercle de diamètre [AC] est π x. La longueur du demi-cercle de diamètre [AC] est πx donc . 2 b) c) c) La longueur du cercle de diamètre [BC] est : π×(8 – x) soit (8 – x)π. La longueur du demi-cercle de diamètre [BC] est (8 − x)π . donc 2 d) πx (8 − x)π π × 8 p(x) = + + 2 2 2 πx (8 − x)π 8π p(x) = + + 2 2 2 π ( x + (8 − x) + 8 ) p(x) = 2 π × 16 p(x) = = 8π 2 Pour n’importe quelle valeur de x le nombre p(x) est égal à 8π. d) Ce calcul n’est pas évident. Une bonne méthode consiste à tout mettre au dénominateur 2. On a démontré la conjecture : le périmètre du tricercle de Mohr tel que AB = 8 cm ne dépend pas de x. Il est toujours égal à 8π.. Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne – 185 186 Séquence 6 Séance 8 EXERCICE 11 1) • J’ai fait deux ou trois figures sur ma feuille et j’ai calculé l’aire du tricercle pour les deux figures que j’ai représentées dans l’exercice précédent. Cas où AC = 3 cm L’aire en cm2 du disque de diamètre 8 cm est : π × 42 = 16 π. L’aire en cm2 du demi-disque de diamètre 8 cm est : 16π = 8π . 2 1) Quand on cherche un problème, on commence par essayer d’avoir une idée de la solution. On peut construire des figures et faires des tests, utiliser un logiciel de géométrie dynamique pour essayer d’obtenir une conjecture. Ensuite, pour pouvoir être sûr du résultat, on fait une démonstration. On propose ici une méthode qui consiste à commencer par faire des constructions sur du papier ; ce n’était bien sûr pas obligatoire. On sait que l’aire en cm2 d’un disque de rayon r cm est π r2. Pour obtenir l’aire d’un demi-disque, on divise l’aire ci-dessus par 2. L’aire en cm2 du demi-disque de diamètre 3 cm est : 2 3 9 π× π× 2 = 4 = 9π 2 2 8 L’aire en cm2 du demi-disque de diamètre 5 cm est : 2 5 25 π× π× 2 = 4 = 25 π 2 2 8 L’aire en cm2 du tricercle est donc : 9 25 9 25 64 9 25 8π − π − π = 8 − − π = − − π 8 8 8 8 8 8 8 9 25 30 8π − π − π = π = 3,75π 8 8 8 186 L’aire du tricercle est l’aire du demi-disque de diamètre [AB] moins la somme de l’aire du demi-disque de diamètre [AC] et de celle du demi-disque de diamètre [CB]. – Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne 187 Séquence 6 Cas où AC = 4 cm • L’aire totale en cm2 des deux demi-disques de 4 cm de diamètre est égale à l’aire d’un disque de 4 cm de diamètre soit : π × 22 = 4π • L’aire en cm2 du tricercle est : 8π – 4π = 4π. Conclusion L’aire du tricercle n’est pas constante comme le périmètre. • J’essaie de calculer cette aire en fonction de AC, c’est-à-dire de x, mais ensuite, je n’arrive pas à conclure ! • J’ai réussi à construire la figure dynamique. J’ai l’impression que l’aire maximale est 12,566 4 cm2. Elle est obtenue quand x = 4 cm. 2) a) Comme dans l’exercice précédent, x est compris entre 0 et 8 cm. On aurait pu croire que l’aire, tout comme le périmètre, du cercle, était constante, mais ce n’est pas le cas ! Il semble que l’aire maximale soit environ 12,5 cm2. 2) a) b) L’aire du demi-disque de diamètre AC est : 2 AC AC2 AC 2 π× π× 2 π× 2 2 = 2 = 4 = π × AC 2 2 2 8 Comme AC = x, l’aire du demi-disque de diamètre πx 2 . AC est 8 c) L’aire du demi-disque de diamètre BC est : π × BC 2 π × (8 − x )2 soit . 8 8 Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne – 187 188 Séquence 6 b) d) L’aire f(x) du tricercle est l’aire du grand demidisque moins la somme des aires des deux petits. f(x) = f(x) = f(x) = f(x) = f(x) = f(x) = f(x) = π × 42 π × x 2 π × (8 − x)2 − − 2 8 8 2 π× x π × (8 − x) 2 64 π− − 8 8 8 π 2 2 64 − x − (8 − x) 8 π 64 − x 2 − (64 − 16 x + x 2 ) 8 π 64 − x 2 − 64 + 16 x − x 2 8 π π −2 x 2 + 16 x = × 2 x(− x + 8) 8 8 π π x(− x + 8) = x(8 − x ) 4 4 ( ) ( ) ( ) ( c) ) d) Ce calcul n’est pas évident. Pour essayer de simplifier les calculs, on a factorisé par 188 π 8 . – Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne 189 Séquence 6 e) AC 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 5,5 9,4 11,8 12,6 11,8 9,4 5,5 0 2 Aire du tricercle en cm arrondie au dixième f) Le maximum semble être atteint pour x = 4 cm. L’aire du tricercle est alors environ 12,6 cm2. J’ai ensuite ouvert le logiciel geogebra. J’ai entré « f(x)=pi/4*x*(8-x) » dans le champ de saisie. La courbe représentative de f s’est alors affichée. Ensuite, j’ai créé un point sur cette courbe, j’ai fait afficher ses coordonnées, puis je l’ai déplacé le long de la courbe. Il semble en effet que l’aire du tricercle soit maximale pour x = 4 cm et que l’aire soit alors d’environ 12,6 cm2. 3) On retrouve le résultat précédent : il semble que l’aire du tricercle soit maximale pour x = 4 cm et que l’aire soit alors d’environ 12,6 cm2. Si tu n’as pas réussi à tracer la représentation graphique de f, ouvre le fichier sequence7exercice11corrige1. On a trouvé une solution graphique au problème de l’aire du tricercle. Ceci étant, on n’a pas démontré le résultat. La démonstration est faisable, mais pas avec les compétences de collège ! Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne – 189 190 Séquence 6 Séance 9 EXERCICE 12 Partie 1 : je m’exerce 1) A partir de 0 Andry : ((0 × 5) : 4) – 6 = 0 – 6 = – 6 Nadia : ((0 × 0) : 4) + 3 = 0 + 3 = 3 1) On a écrit des parenthèses inutiles. On aurait pu aussi très bien écrire pour Andry (à partir de 0) : 0×5 0 × 5 : 4 – 6 = –6 ou − 6 = −6 (par exemple) 4 A partir de –1 Andry : ((–1 × 5) : 4) – 6 = (–5 : 4) – 6 = – 7,25 Nadia : ((–1) × (–1)) : 4) + 3 = 0,25 + 3 = 3,25 A partir de 2 Andry : ((2 × 5) : 4) – 6 = (10 : 4) – 6 = – 3,5 Nadia : ((2 × 2) : 4) + 3 = 1 + 3 = 4 2) 2) A(x) = ((x × 5) : 4) – 6 = x × 5 : 4 – 6 = 5 x−6 4 La fonction A est donc une fonction affine. N(x) = ((x × x) : 4) + 3 = x × x : 4 + 3 = x2 +3 4 La fonction N n’est pas une fonction affine. 3) A(1) est le résultat obtenu par Andry s’il part du nombre 1. 5 5 5 24 19 A(1) = × 1 − 6 = − 6 = − = − = −4,75 4 4 4 4 4 N(1) est le résultat obtenu par Nadia si elle part du nombre 1. 12 1 1 12 N(1) = + 3 = + 3 = + = 3,25 4 4 4 4 4) 5 5 18 13 4 5 4 A = × − 6 = − 6 = − = − 3 3 3 3 3 4 3 3) On remarque que pour l’instant, on a calculé : Dans le 1) • A(0) et N(0) • A(–1) et N(–1) • A(2) et N(2) Dans le 3) • A(1) et N(1) On n’a jamais trouvé pour l’instant la même chose (ce qui aurait pu être une réponse au problème posé au début de l’exercice). 4) 2 4 16 4 16 4 27 31 3 N = +3= 9 +3= +3= + = 4 4 4×9 9 9 9 3 190 On a : 4 4 A ≠ N 3 3 – Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne 191 Séquence 6 5) • On cherche x tel que A(x) = 3 c’est-à-dire tel que : 5) • On est amené à résoudre une équation de la forme ax + b = c. 5 x−6=3 4 5 x=9 4 4 x = ×9 5 36 x= 5 x = 7,2 Le seul antécédent de 3 par la fonction A est 7,2. • Nadia, d’après la question 1) a obtenu 3 à partir de 0. A-t-elle obtenu 3 à partir d’un autre nombre ? Si x est le nombre de départ, le résultat de Nadia x2 est + 3. 4 Pour répondre à la question, on cherche donc x tel que : x2 +3=3 4 x2 =0 4 x2 = 0 • On est amené à résoudre une équation de la forme ax2 + b = c. Chercher pour quelle(s) valeur(s) de départ Nadia a obtenu 3 comme résultat revient à déterminer (s’il en existe) le ou les antécédents de 3 par la fonction N. La seule valeur qui permette à Nadia d’obtenir 3 est 0. Partie 2 : je résous le problème 1) Je cherche la ou les valeurs de x pour laquelle (lesquelles) on a : 5 x2 x−6= +3 4 4 Je n’arrive pas à résoudre cette équation ! 1) Rechercher s’il existe un (ou des, ou aucun) nombre(s) de départ pour lequel (lesquels) Andry et Nadia obtiennent le même résultat, c’est chercher un (ou des) nombre(s) x tel(s) que : A(x) = N(x) On n’a pas les compétences pour résoudre cette équation en classe de 3e. Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne – 191 192 Séquence 6 2) J’ai représenté graphiquement les fonctions A et N à l’aide de geogebra. Pour cela, j’ai entré « A(x)=5/4*x-6 » puis « N(x)=x²/4+3 ». J’obtiens une courbe et une droite. Je vois en me déplaçant et en changeant le zoom que la droite et la courbe «ne vont jamais se rencontrer ». Il semble qu’il n’y ait aucune valeur de x pour laquelle : A(x) = N(x) Il semble que le problème n’ait pas de solution ! Les commentaires du professeur : Il suffit de placer deux points pour construire la représentation graphique de la fonction A. En effet, la fonction A est affine donc sa représentation graphique est une droite. On peut essayer de choisir des valeurs de x pour lesquelles le calcul de A(x) est simple. Si x = 0 A(x) = –6 Si x = 4 A(x) = 5 – 6 = –1 On place alors les points de coordonnées (0 ; –6) et (4 ; –1). On trace la droite passant par ces deux points. Pour représenter N, on peut dresser un tableau de valeurs : –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 7 5,25 4 3,25 3 3,25 4 5,25 7 Conclusion : Il semble, en regardant le graphique, que les deux représentations graphiques ne vont pas se couper. D’après une lecture graphique, il semble donc que le problème n’ait pas de solution. 192 – Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne 193 Séquence 6 JE M’ÉVALUE 1) 1) f : x ֏ x3 – 2 f est telle que f(x) = 3 + x – 2 f : x ֏ 3x – 2 f est telle que f(x) = 3x – 2 Le triple de x est 3x. Si on retranche 2 à 3x on obtient 3x – 2. 2) 2) La fonction f n’est pas linéaire car elle n’est pas de la forme : x ֏ ax (où a est un nombre fixé). oui non En effet, elle est de la forme x ֏ ax + b (a est égal à 3 et b est égal à – 2). 3) Revois éventuellement le dernier « Je retiens » de la séance 3. 3) oui non 4) 4) est une droite passant par l’origine. n’est pas une droite. est une droite. 5) 2 3 3 2 − 3 2 –2 La représentation graphique d’une fonction affine est une droite. Comme f n’est pas une fonction linéaire, la droite ne passe pas par l’origine. 6) On cherche le (les) nombre(s) x tel(s) que : 3x − 2 = 0 3x = 2 x= 2 3 Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne – 193 194 Séquence 6 6) 6) 0 1 2 Comme l’équation 3x – 2 = 0 n’a qu’une seule solution, 0 n’a qu’un seul antécédent par la fonction f. oui non 7) La représentation graphique de la fonction n’est pas une droite. On a admis dans la séance 3 que seules les fonctions affines sont représentées par des droites. Cette fonction n’est donc pas une fonction affine. 8) 8) 7) 2 3 1 0 9) 9) 8 4 1 5 10) 10) 6 7 4 3 194 On cherche un ou des antécédent(s) de 6 par f. Il n’y a que 7. – Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne