Les quadrilatères

[ Les quadrilatères \
Table des matières
I
Trapèze
1
II Parallélogramme
2
III Losange
2
IV Rectangle
3
V Carré
4
Cours
Les quadrilatères
I Trapèze
Définition
Un trapèze est un quadrilatère qui a deux côtés parallèles.
Les côtés parallèles s’appellent les bases du trapèze.
C
D
ABCD est un trapèze
[AB] et [CD] sont les bases
B
A
Définition
Un trapèze rectangle est un trapèze qui a un angle droit .
C
#
D
"
ABCD est un trapèze rectangle
!
B
A
Définition
Un trapèze isocèle est un trapèze qui a un axe de symétrie.
&
C
D
%
'
B
ABCD est un trapèze isocèle
$
A
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Cours
II
Les quadrilatères
Parallélogramme
Définition
Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés parallèles deux à deux.
C
D
(AB) Ë (CD)
(AD) Ë (BC)
B
A
Propriétés
P
1
P
2
P
3
Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu.
Un parallélogramme a ses côtés opposés de la même longueur.
Un parallélogramme a ses angles opposés égaux.
"
D
C
Si ABCD est un parallélogramme alors
– (AB) Ë (CD) et (AD) Ë (BC) ;
– AB=CD et AD=BC ;
– O est le milieu de [AC] et de [BD].
!
O
$
#
B
A
Propriétés caractéristiques
P’ Si les diagonales d’un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors c’est un parallélogramme.
1
P’2 Si un quadrilatère non croisé a ses côtés opposés de la même longueur alors c’est un parallélo gramme.
P’3 Si un quadrilatère a deux côtés parallèles et de la même longueur alors c’est un parallélo gramme.
P’4 Si les angles opposés d’un quadrilatère sont égaux alors c’est un parallèlogramme.
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Cours
III
Les quadrilatères
Losange
Définition
Un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés ont la même longueur.
Propriétés
P
1
P
2
Un losange a ses côtés parallèles deux à deux, c’est donc un parallélogramme particulier.
Un losange a ses diagonales perpendiculaires.
"
D
!
O
$
#
B
C
Si ABCD est un losange alors
– AB=BC=CD=DA ;
– (AB)/ /(CD) et (AD)/ /(BC) ;
– O est le milieu de [AC] et de [BD] :
– (AC) perpendiculaire à (BD)
A
Propriétés caractéristiques
P′
1
P′
2
IV
Si les diagonales d’un parallélogramme sont perpendiculaires, alors c’est un losange.
Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur alors c’est un losange.
Rectangle
Définition
Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits
Propriétés
P
1
P
2
Un rectangle a ses côtés parallèles deux à deux, c’est donc un parallélogramme particulier.
Un rectangle a ses diagonales de même longueur.
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Cours
Les quadrilatères
C
"
D
O
#
!
$
Si ABCD est un rectangle alors
– (AB) Ë (CD) et (AD) Ë (BC) ;
– AB=CD et AD=BC ;
B – O est le milieu de [AC] et de [BD] ;
– (AB)⊥(BC),
(BC)⊥(CD),
(CD)⊥(DA)
(DA)⊥(AB) ;
– OA=OB=OC=OD.
et
A
Propriétés caractéristiques
P′
1
P′
2
P′
3
V
Si un quadrilatère a trois angles droits alors c’est un rectangle.
Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs perpendiculaires alors c’est un rectangle.
Si les diagonales d’un parallélogramme sont de même longueur, alors c’est un rectangle.
Carré
Définition
Un carré est un quadrilatère qui à quatre angles droits et quatre côtés de même longueur.
Propriétés
Un carré a toutes les propriétés d’un rectangle et celles d’un losange.
C
&
D
'
O
)
%
Si ABCD est un carré alors
– (AB) Ë (CD) et (AD) Ë (BC) ;
– AB = CD = AD = BC ;
– O est le milieu de [AC] et de [BD] ;
– (AB)⊥(BC),
(BC)⊥(CD),
(CD)⊥(DA)
(DA)⊥(AB)
;
B
– OA = OB = OC = OD.
et
(
A
Propriétés caractéristiques
Pour prouver qu’un quadrilatère est un carré il faut prouver que c’est un losange et un rectangle.
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