Spé ψ 2014-2015 Devoir n°5 MÉCANIQUE DES FLUIDES ÉNERGIE HYDROELECTRIQUE L'hydroélectricité consiste à convertir l'énergie potentielle de pesanteur d'une masse d'eau, en énergie cinétique en la mettant en mouvement. Puis en faisant passer l'écoulement d'eau produit à travers une turbine couplée à un alternateur, l'énergie cinétique de l'écoulement est convertie en énergie électrique. 1 Potentiel hydroélectrique a) Une conduite cylindrique amène de l’eau initialement au repos à une altitude zA maintenue constante dans une turbine. On branche à la sortie de la turbine une canalisation évacuant l’eau vers un lac où elle est au repos. Le niveau zB de la surface libre du lac est supposé constant. Le débit volumique traversant la turbine est Q et l’on note H = zA - zB. Exprimer la puissance Phydro reçue par la turbine, en fonction de Q, H, de la masse volumique de l'eau µeau et de l'accélération de la pesanteur à la surface de la Terre g. (On pourra utiliser le résultat d’un bilan d’énergie d’un écoulement parfait sans le démontrer.) b) Quels sont les paramètres à optimiser et comment ? 2 Équilibre hydrostatique d'un P0 barrage dit « poids » Pour réguler, contrôler H l'écoulement, puis le canaliser vers la RESERVE z h D’EAU turbine, il est en général nécessaire d'utiliser une retenue d'eau, en x construisant un barrage. O H1 On modélise un barrage dit H « poids » comme un prisme de CONDUITE FORCEE longueur L et de section triangulaire Fig 1 : Schéma de principe du barrage TURBINE rectangle isocèle de côté H (voir Fig.1). Les dimensions H et L sont de l'ordre de 100 m. Le barrage est constitué d'un mélange béton-granulats de masse volumique homogène µm. On suppose que la retenue d'eau ainsi créée est complètement remplie. On note P0 la pression atmosphérique, dont on néglige la variation avec l'altitude z. La référence z = 0 correspond au fond horizontal de la retenue d'eau. La hauteur d'eau dans le barrage est notée h et est égale à H dans cette partie. a) Démontrer l'expression de la pression hydrostatique dans l'eau en fonction de la pression P0, de l'altitude z, de la masse volumique de l'eau µeau (considérée constante et uniforme) et de l'accélération de la pesanteur g. Pourquoi les variations de pression hydrostatique sont-elles négligées dans l'atmosphère mais pas dans l'eau ? b) Exprimer la résultante des forces de pression hydrostatique s'exerçant sur le barrage due à l'eau sur la face amont , puis celle des forces de pression due à l'air sur la face aval. En déduire l'expression de la force horizontale qui tend à faire céder le barrage. c) Dans un barrage « poids », la force horizontale est compensée par une force de frottement solide entre le barrage et le sol. Cette force est dirigée selon e x et sa norme est modélisée simplement par F frottement ≤ µ R , avec µ un coefficient de frottement et R , la force de réaction normale du sol sur le barrage. Écrire l'équilibre des forces s'exerçant sur le barrage verticalement et horizontalement. En déduire la condition de stabilité du barrage sous forme d'une inégalité. Sachant que µ est de l'ordre de 1/2, la situation paraît-elle réaliste ? Spé ψ 2014-2015 page 1/4 Devoir n°5 d) Les barrages dits « poids » sont un type de barrage de conception particulièrement simple. Les barrages « voûtes » constituent un autre type, où la vallée contenant la rivière est barrée par un mur de béton courbé. Sans faire de calculs, proposer des arguments expliquant leur intérêt par rapport aux barrages « poids ». 3. Écoulement à la sortie du barrage On cherche à déterminer la vitesse V de l'eau entrant dans la turbine. La retenue du barrage est remplie avec une hauteur d'eau h(t) variant au cours du temps t, dont la valeur initiale à t = 0 vaut H. La turbine est reliée par une canalisation au fond du barrage et se trouve plus bas à une altitude z = – H1 (voir Fig.1). La turbine est à l'air libre et la pression au niveau de la turbine est égale à la pression atmosphérique P0. La section de la turbine S vaut 1m2, la surface de la retenue d'eau Sre = 10000 m2. On suppose que le débit volumique d'eau Qe entrant dans la retenue d'eau est négligeable devant le débit de vidange du barrage. De plus quel que soit la valeur de la hauteur d'eau h(t), l'aire de la surface libre de l'eau contenue dans la retenue, reste constante et égale à Sre. La masse volumique de l'eau µeau est considérée comme constante. a) En tenant compte de cette dernière hypothèse, exprimer la vitesse de variation de dh en fonction de V , Sre et S. la hauteur d'eau dans le barrage dt b) Rappeler la relation de Bernoulli. Quelles sont les hypothèses de validité ? Appliquer cette relation au cas du barrage en considérant un point A à la surface de l'eau dans la retenue puis un point B au niveau de la turbine. Évaluer la vitesse de l'eau au point A . Simplifier alors l'égalité obtenue précédemment. En déduire l'équation différentielle : dh S =− 2 g ( h + H1 ) dt S re c) On introduit la nouvelle variable ψ(t) = h(t) + H1. Réécrire l'équation différentielle S précédente en fonction de ψ en introduisant la constante K = 2 g . En déduire l'expression de h S re en fonction de t, puis celle de V en fonction de t. Quel peut être l'intérêt de placer la turbine à un niveau plus bas que le barrage ? Par la suite, on adoptera les valeurs numériques suivantes pour simplifier les calculs, H = 100 m et H1 = 0 m. d) Exprimer le temps TH nécessaire pour vider complètement le barrage, puis faire de même pour le temps TH/2 correspondant à une diminution de la hauteur initiale de moitié. Donner l'ordre de grandeur numérique de TH et évaluer le rapport TH/2/TH. e) En utilisant l'expression de Phydro établie dans la question 1, exprimer la puissance disponible pour la turbine en fonction du temps t et constantes µeau, g, K, Sre et H. Application numérique : Quel est l'ordre de grandeur numérique de la puissance disponible au début de la vidange ? f) En déduire l'énergie hydrodynamique Ehydro(T) récupérable par la turbine correspondant à une vidange entre t = 0 et t = T. Ensuite exprimer Ehydro pour T = TH et pour TH/2. Évaluer le rapport Ehydro(TH/2) / Ehydro(TH) et commenter par rapport à la valeur du TH/2/TH. Pourquoi, lors d'une exploitation commerciale du barrage, est-il intéressant de ne vider la retenue que de la moitié de la hauteur maximale ? 4.Conduite forcée Dans cette question, on tient compte de la viscosité du fluide et de ses effets. Une conduite forcée en acier soudé a une longueur de 500 m, un diamètre constant de 900 mm. Le débit de l’écoulement dans la conduite est Q = 2,3 m3⋅s–1. La viscosité dynamique de l’eau dans la conduite est η = 1,8×10–3 Pa⋅s et sa masse volumique µεαυ = 1,0×103 kg⋅m–3. À l’aide des données fournies en annexe, évaluer les pertes de charge régulières par unité de longueur et en déduire la perte de charge totale de la conduite ∆h. (exprimée en hauteur d’eau). Spé ψ 2014-2015 page 2/4 Devoir n°5 5.Étude de la turbine Pelton La turbine est le dispositif permettant de récupérer l'énergie hydraulique en créant le mouvement de rotation à partir de l'écoulement sortant de la canalisation. L'axe de rotation entraîne un alternateur qui convertit l'énergie mécanique en énergie électrique. Les turbines Pelton sont utilisées pour des débits modérés et des hauteurs de chute importantes et se rencontrent dans les petites usines hydroélectriques de montagne. Ce type de turbines se compose de plusieurs godets hémisphériques appelés augets et placés à la périphérie d'une roue pouvant tourner autour d'un axe. Un jet d'eau de débit volumique Qj alimenté par la vidange du barrage, agit sur les augets et fait ainsi tourner la roue (voir Fig. 2). Figure 2 À gauche, schéma d'une turbine Pelton mise en rotation par un jet d'eau (le nombre d'augets sur un système industriel est beaucoup plus grand). À droite, agrandissement sur un auget en contact avec le jet d'eau, dans le référentiel tangent de l'auget en translation uniforme à la vitesse uc. Le système est émergé et se trouve sous la pression atmosphérique P0. La pesanteur est négligée dans cette étude. Le fluide est supposé parfait. Pour déterminer la fréquence de rotation de la turbine en régime stationnaire, il suffit d'effectuer un bilan de quantité de mouvement sur l'axe horizontal sur l'auget le plus bas en contact avec le jet d'eau. On suppose que le nombre d'augets est suffisamment grand pour que le mouvement de rotation soit régulier. On considère donc cet auget se déplaçant à une vitesse horizontale de norme uc. L'eau du jet arrive horizontalement sur la coupe avec une vitesse de norme uj et l’on suppose que, grâce à la géométrie de l'auget, l'eau suit la forme hémisphérique et quitte la coupe avec une vitesse de norme us parallèlement au jet incident. uc, uj et us sont positifs, définies dans le référentiel terrestre. a) Exprimer dans le référentiel tangent à l'auget u c ' et u j ' les vitesses de sortie et d’arrivée du jet. Montrer alors que la vitesse de sortie s'écrit us = u j − 2uc en appliquant (en le justifiant) la relation de Bernoulli dans le référentiel de l'auget. b) En effectuant un bilan de quantité de mouvement dans le référentiel terrestre où l’auget peut être considéré comme fixe dans ce calcul car constamment remplacé par un autre identique, exprimer la force exercée par le fluide sur l'auget en fonction de la masse volumique de l'eau µeau, du débit Qj et des normes des vitesses uj et uc. On pourra négliger la résultante des forces de pression exercée par l’air. c) Montrer que la puissance mécanique transférée à l'auget dans le référentiel terrestre s'écrit PC = 2µ EAU Qj ( u j − uC ) uC . uj étant fixé par le débit du barrage, donner l'allure de Pc en fonction de uc/uj. Pour quelle valeur de uc , cette puissance est-elle maximale ? Dans ce cas que peut-on dire sur l'efficacité du transfert ? Annexe Spé ψ 2014-2015 page 3/4 Devoir n°5 matériau de conduite ε (mm) polyéthylène 0,003 acier commercial sans soudure (neuf) 0,025 acier commercial sans soudure (légèrement rouillé) 0,250 acier commercial sans soudure (galvanisé) 0,150 acier soudé 0,600 fer de fonderie 0,120 béton 0,180 ciment amianté 0,025 Tableau 1 :rugosité moyenne ε pour quelques matériau Spé ψ 2014-2015 page 4/4 Devoir n°5